山东省临沂市临沂经济开发区2024届中考二模数学试题含解析

山东省临沂市临沂经济开发区2024届中考二模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．已知：如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点(A、C除外)，作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F，设正方形ABCD的边长为x，矩形PEBF的周长为y，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是()A． B． C． D．2．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后第七位，这一结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算半径为1的圆内接正六边形的面积S6，则S6的值为（）A． B．2 C． D．4．“保护水资源，节约用水”应成为每个公民的自觉行为．下表是某个小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是（）月用水量（吨）4569户数（户）3421A．中位数是5吨 B．众数是5吨 C．极差是3吨 D．平均数是5.3吨5．下列各数中是有理数的是（）A．π B．0 C． D．6．若a与﹣3互为倒数，则a=（）A．3 B．﹣3 C．13 D．-7．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密后传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为，明文a，b对应的密文为a＋2b，2a－b，例如：明文1，2对应的密文是5，0，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是()A．3，－1 B．1，－3 C．－3，1 D．－1，38．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（）A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和299．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是（）A．一直增大 B．一直减小 C．先减小后增大 D．先增大后减小10．计算：得（）A．- B．- C．- D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为_____．12．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为_________．13．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．14．一个正四边形的内切圆半径与外接圆半径之比为：_________________15．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．（1）线段BE与AF的位置关系是，＝．（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD＝6﹣2，求旋转角a的度数．16．已知菱形的周长为10cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是_____cm1．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒8个单位长度的速度运动，在BC上以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）当点P在AB边上运动时，求PQ与△ABC的一边垂直时t的值；（3）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，直接写出t的值．19．（8分）某手机店销售部型和部型手机的利润为元，销售部型和部型手机的利润为元.(1)求每部型手机和型手机的销售利润；(2)该手机店计划一次购进，两种型号的手机共部，其中型手机的进货量不超过型手机的倍，设购进型手机部，这部手机的销售总利润为元.①求关于的函数关系式；②该手机店购进型、型手机各多少部，才能使销售总利润最大？(3)在(2)的条件下，该手机店实际进货时，厂家对型手机出厂价下调元，且限定手机店最多购进型手机部，若手机店保持同种手机的售价不变，设计出使这部手机销售总利润最大的进货方案.20．（8分）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，CD=，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．（1）求圆O的半径；（2）如果AE=6，求EF的长．21．（8分）已知抛物线，与轴交于两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．（1）抛物线的表达式；（2）若抛物线与抛物线关于直线对称，抛物线与轴交于点两点（点在点左侧），要使，求所有满足条件的抛物线的表达式．22．（10分）如图，一次函数y=k1x+b(k1≠0)与反比例函数的图象交于点A(-1，2)，B(m，-1)．求一次函数与反比例函数的解析式；在x轴上是否存在点P(n，0)，使△ABP为等腰三角形，请你直接写出P点的坐标．23．（12分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．24．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=DC，E为AB边的中点，（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）连接EF，若BD=4，求EF的长．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】由题意可得：△APE和△PCF都是等腰直角三角形．∴AE=PE，PF=CF，那么矩形PEBF的周长等于2个正方形的边长．则y=2x，为正比例函数．故选A．2、A【解题分析】【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．【题目详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG=90°，则DG==8，又∵EF=8，∴DG=EF，∴，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=，故选A．【题目点拨】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．3、C【解题分析】

根据题意画出图形，结合图形求出单位圆的内接正六边形的面积．【题目详解】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，△AOB是边长为1的正三角形，所以正六边形ABCDEF的面积为S6=6××1×1×sin60°=．故选C．【题目点拨】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，关键是根据正三角形的面积，正n边形的性质解答．4、C【解题分析】

根据中位数、众数、极差和平均数的概念，对选项一一分析，即可选择正确答案．【题目详解】解：A、中位数＝（5+5）÷2＝5（吨），正确，故选项错误；B、数据5吨出现4次，次数最多，所以5吨是众数，正确，故选项错误；C、极差为9﹣4=5（吨），错误，故选项正确；D、平均数=（4×3+5×4+6×2+9×1）÷10=5.3，正确，故选项错误．故选：C．【题目点拨】此题主要考查了平均数、中位数、众数和极差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．5、B【解题分析】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数的定义进行判断即可得答案．【题目详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误；B、0是有理数，故本选项正确；C、是无理数，故本选项错误；D、是无理数，故本选项错误，故选B．【题目点拨】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键．6、D【解题分析】试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1，∴a=13故选C.考点：倒数．7、A【解题分析】

根据题意可得方程组，再解方程组即可．【题目详解】由题意得：，解得：，故选A．8、D【解题分析】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.【题目详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，处于最中间是数是28，∴这组数据的中位数是28，在这组数据中，29出现的次数最多，∴这组数据的众数是29，故选D．【题目点拨】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.9、C【解题分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，∴S△ACM=S△BCM=S△ABC，开始时，S△MPQ=S△ACM=S△ABC；由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=S△ABC；结束时，S△MPQ=S△BCM=S△ABC．△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大．故选C．10、B【解题分析】

同级运算从左向右依次计算，计算过程中注意正负符号的变化．【题目详解】-故选B.【题目点拨】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、x≤1【解题分析】

根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【题目详解】由题意可知：1﹣x≥0，∴x≤1故答案为：x≤1．【题目点拨】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数解答即可．12、6【解题分析】

过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，先根据“AAS”证明△DAM≌△BAN,再证明四边形AMCN为正方形,可求得AC=6,从而当BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.【题目详解】如下图，过A作AM⊥CD于M，过A作AN⊥BC于N，则∠MAN＝90°,∠DAM＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠BAN＝90°,∴∠DAM＝∠BAN.∵∠DMA＝∠N＝90°，AB＝AD,∴△DAM≌△BAN,∴AM＝AN,∴四边形AMCN为正方形,∴S四边形ABCD＝S四边形AMCN＝AC2,∴AC=6,∴BD⊥AC时BD最小，且最小值为6.故答案为：6.【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.13、．【解题分析】

解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）=；故答案为．【题目点拨】本题考查概率的计算及等腰三角形的判定，熟记等要三角形的性质及判定方法和概率的计算公式是本题的解题关键．14、2【解题分析】

如图，正方形ABCD为⊙O的内接四边形，作OH⊥AB于H，利用正方形的性质得到OH为正方形ABCD的内切圆的半径，∠OAB＝45°，然后利用等腰直角三角形的性质得OA＝2OH即可解答.【题目详解】解：如图，正方形ABCD为⊙O的内接四边形，作OH⊥AB于H，则OH为正方形ABCD的内切圆的半径，∵∠OAB＝45°，∴OA＝2OH，∴OHOA即一个正四边形的内切圆半径与外接圆半径之比为22故答案为：22【题目点拨】本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．理解正多边形的有关概念．15、（1）互相垂直；；（2）结论仍然成立，证明见解析；（3）135°．【解题分析】

（1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；

（2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案；

（3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4-（6-2）=2-2，进而得出BH=-1，DH=3-，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．【题目详解】解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，

∴AC=2，

∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴=；（2））如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴EC=BC，FC=AC，

∴，

∵∠BCE=∠ACF=α，

∴△BEC∽△AFC，

∴，

∴∠1=∠2，

延长BE交AC于点O，交AF于点M

∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2

∴∠BCO=∠AMO=90°

∴BE⊥AF；（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60°过点D作DH⊥BC于H∴DB=4-（6-2）=2-2，∴BH=-1，DH=3-，又∵CH=2-（-1）=3-，∴CH=BH，∴∠HCD=45°，∴∠DCA=45°，α=180°-45°=135°．16、14【解题分析】

根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【题目详解】解：如图，在菱形ABCD中，BD＝2．∵菱形的周长为10，BD＝2，∴AB＝5，BO＝3，∴AC＝3．∴面积故答案为14．【题目点拨】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）20%；（2）能.【解题分析】

（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)(1+x)，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可．（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可.【题目详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．【题目点拨】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．18、（1）4﹣t；（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0或或；（3）S与t的函数关系式为：S=；（4）t的值为或．【解题分析】分析：（1）根据勾股定理求出AC的长，然后由AQ=AC-CQ求解即可；（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直，有三种情况：当Q在C处，P在A处时，PQ⊥BC；当PQ⊥AB时；当PQ⊥AC时；分别求解即可；（3）当P在AB边上时，即0≤t≤1，作PG⊥AC于G，或当P在边BC上时，即1＜t≤3，分别根据三角形的面积求函数的解析式即可；（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：①当P在边AB上时，作PG⊥AC于G，则AG=GQ，列方程求解；②当P在边AC上时，AQ=PQ，根据勾股定理求解.详解：（1）如图1，Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8，∴BC=AB=4，∴AC=，由题意得：CQ=t，∴AQ=4﹣t；（2）当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直，有三种情况：①当Q在C处，P在A处时，PQ⊥BC，此时t=0；②当PQ⊥AB时，如图2，∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，∴cos30°=，∴，t=；③当PQ⊥AC时，如图3，∵AQ=4﹣t，AP=8t，∠A=30°，∴cos30°=，∴t=；综上所述，当点P在AB边上运动时，PQ与△ABC的一边垂直时t的值是t=0或或；（3）分两种情况：①当P在AB边上时，即0≤t≤1，如图4，作PG⊥AC于G，∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，∴PG=4t，∴S△APQ=AQ•PG=（4﹣t）•4t=﹣2t2+8t；②当P在边BC上时，即1＜t≤3，如图5，由题意得：PB=2（t﹣1），∴PC=4﹣2（t﹣1）=﹣2t+6，∴S△APQ=AQ•PC=（4﹣t）（﹣2t+6）=t2；综上所述，S与t的函数关系式为：S=；（4）当△APQ是以PQ为腰的等腰三角形时，有两种情况：①当P在边AB上时，如图6，AP=PQ，作PG⊥AC于G，则AG=GQ，∵∠A=30°，AP=8t，∠AGP=90°，∴PG=4t，∴AG=4t，由AQ=2AG得：4﹣t=8t，t=，②当P在边AC上时，如图7，AQ=PQ，Rt△PCQ中，由勾股定理得：CQ2+CP2=PQ2，∴，t=或﹣（舍），综上所述，t的值为或．点睛：此题主要考查了三角形中的动点问题，用到勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数等知识，是一道比较困难的综合题，关键是合理添加辅助线，构造合适的方程求解.19、(1)每部型手机的销售利润为元，每部型手机的销售利润为元；(2)①；②手机店购进部型手机和部型手机的销售利润最大；(3)手机店购进部型手机和部型手机的销售利润最大.【解题分析】

（1）设每部型手机的销售利润为元，每部型手机的销售利润为元，根据题意列出方程组求解即可；（2）①根据总利润=销售A型手机的利润+销售B型手机的利润即可列出函数关系式；②根据题意，得，解得，根据一次函数的增减性可得当当时，取最大值；（3）根据题意，，，然后分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论求解即可.【题目详解】解：(1)设每部型手机的销售利润为元，每部型手机的销售利润为元.根据题意，得，解得答：每部型手机的销售利润为元，每部型手机的销售利润为元.(2)①根据题意，得，即.②根据题意，得，解得.，，随的增大而减小.为正整数，当时，取最大值，.即手机店购进部型手机和部型手机的销售利润最大.(3)根据题意，得.即，.①当时，随的增大而减小，当时，取最大值，即手机店购进部型手机和部型手机的销售利润最大；②当时，，，即手机店购进型手机的数量为满足的整数时，获得利润相同；③当时，，随的增大而增大，当时，取得最大值，即手机店购进部型手机和部型手机的销售利润最大.【题目点拨】本题主要考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解此题的关键在于熟练掌握一次函数的增减性.20、(1)圆的半径为4.5；(2)EF=．【解题分析】

（1）连接OD，根据垂径定理得：DH=2，设圆O的半径为r，根据勾股定理列方程可得结论；（2）过O作OG⊥AE于G，证明△AGO∽△AHF，列比例式可得AF的长，从而得EF的长．【题目详解】（1）连接OD，∵直径AB⊥弦CD，CD=4，∴DH=CH=CD=2，在Rt△ODH中，AH=5，设圆O的半径为r，根据勾股定理得：OD2=（AH﹣OA）2+DH2，即r2=（5﹣r）2+20，解得：r=4.5，则圆的半径为4.5；（2）过O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=．【题目点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是正确添加辅助线并熟练掌握垂径定理和相似三角形的判定与性质.21、（1）；（2）．【解题分析】

（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据题意知，根据三角形面积公式列方程即可求解．【题目详解】（1）根据题意得：，解得：，抛物线的表达式为：；（2）∵抛物线与抛物线关于直线对称，抛物线的对称