新教材2023年秋高中数学第1章空间向量与立体几何微专题1空间向量应用的综合问题教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册

微专题1空间向量应用的综合问题解决立体几何问题，常用三种方法：综合法、向量法、坐标法．处理空间图形之间的距离、夹角等度量问题时，综合法需要借助图形之间的位置关系或辅助线找出所求的距离、夹角，有一定的难度，但向量法和坐标法不用考虑图形之间的关系，直接套用相应的公式求解即可，将这些度量“公式化”，这就大大降低了难度．类型1利用空间向量求空间角【例1】(2022·天津卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求直线BE与平面CC1D夹角的正弦值；(3)求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值．[解](1)证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，再连接FK，∵EK∥A1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点，∴FK∥AC，EG∥AB，又FK⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴FK∥平面ABC，同理可得，EG∥平面ABC，又FK∩EG＝K，∴平面EFG∥平面ABC，∴EF∥平面ABC，(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥AB，AA1⊥A1B1，则可建立如图所示的空间直角坐标系，又AA1＝AB＝AC＝2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点．故B(2，2，0)，E(1，0，0)，C(2，0，2)，C1(0，0，2)，D(0，1，0)，则BE＝(－1，－2，0)，CC1＝(－2，0，0)，CD＝(－2，1，－设n＝(x，y，z)是平面CC1D的法向量，则有n·CC1＝0，n·CD＝即-2令z＝1，则x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，1)，设直线BE与平面CC1D的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈BE，n〉|＝-2×2即直线BE与平面CC1D夹角的正弦值为45(3)∵A1(0，0，0)，则A1C＝(2，0，2)，A1D＝(0，设平面A1CD的法向量为m＝(x，y，z)，则有m·A1C＝0，m·A1即2x+2z=0y=0，令x＝1，则y＝0，z＝－1，故m＝设平面A1CD与平面CC1D的夹角为β，所以cosβ＝|cos〈n，m〉|＝-1×1类型2立体几何中的探究、开放问题【例2】(2021·全国甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1.(1)证明：BF⊥DE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？[思路导引](1)AB＝BC＝2，侧面AA1B1B为正方形F为CC(2)结合(1)中的空间直角坐标系由1所得数量关系平面BB1[解](1)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，所以AA1＝BB1＝CC1＝AB＝2.又F为CC1中点，所以CF＝1.因为CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC，则在Rt△BCF中，BF＝12+2如图所示，连接AF，由BF⊥A1B1且AB∥A1B1，则BF⊥AB，故AF＝3，所以AC＝22，由AB2＋BC2＝AC2，则AB⊥BC，故如图所示，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在方向分别为x，则A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，设B1D＝m(0≤m≤2)，则D(m，0，2)．则BF＝(0，2，1)，DE＝(1－m，1，－2)，所以BF·DE＝故BF⊥DE.(2)由(1)得AB⊥BC，AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，故AB⊥平面BB1C1C，故可得平面BB1C1C的一个法向量为n1＝(1，0，0)．而DE＝(1－m，1，－2)，EF＝(－1，1，1)，设平面DFE的法向量为n2＝(x，y，z)，则n2·DE=0令x＝3，则y＝m＋1，z＝2－m，所以n2＝(3，m＋1，2－m)，∴cos〈n1，n2〉＝n＝3＝32m2∴当m＝12时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当B1D＝12时，面BB1C1C与面DFE类型3立体几何中的翻折问题【例3】(2019·全国Ⅲ卷改编)图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的平面BCGE与平面ACGD所成角的大小．[证明](1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，BC，BE⊂平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝3.以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(－1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0，3)，CG＝(1，0，3)，AC＝(