数学七年级下学期5.4 分式的基本性质

专题5.4分式的基本性质（知识讲解）【学习目标】1.掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算；理解并掌握分式变号的法则；理解并掌握分式的约分、最简分式；对比分数通分，掌握分式通分的基本运算。【知识要点】要点一、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.特别说明：（1）分式基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点二、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.特别说明：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点三、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.特别说明：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点四、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.特别说明：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.【典型例题】类型一、判断分式变形是否正确 1、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母都不含负号．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，利用分式的基本性质逐一分析即可得到答案.解：①；②；③；④【点拨】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质解决分式的三个符号问题是解题的关键.举一反三：【变式】填空：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不，从而求出答案．解：（1）；（2）．故答案为：（1）；（2）．【点拨】本题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题．类型二、判断分式变形成立条件2、下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）；（2）．【答案】（1）由等式左边的分式的分子分母都乘以y得到等式右边的分式；（2）由等式左边的分式的分子分母都除以x得到等式右边的分式．【分析】（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以y，可得答案；（2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案．解：（1）因为，所以，是由等式左边的分式的分子分母都乘以y得到等式右边的分式；（2）因为，所以是由等式左边的分式的分子分母都除以x得到等式右边的分式．【点拨】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．举一反三：【变式】如果成立，则a的取值范围是_______．【答案】【分析】根据分式的基本性质：分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变，进行求解即可得到答案．解：由题意得，，解得，故答案为：．【点拨】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．类型三、利用分式的基本性质判断分式值的变化3、已知，求的值．【答案】【分析】由题意利用等式的性质以及分式的基本性质分别对两式进行变形，并整体代换即可求解.解：由，变形可得即，所以.【点拨】本题考查等式的性质以及分式的基本性质，熟练掌握相关性质以及运用整体思想进行分析是解题的关键.举一反三：【变式】若分式的值为，则把的值均扩大为原来的倍后，这个分式的值为____．【答案】8【分析】根据题意，将分式中的x、y都换成2x、2y，再利用分式的基本性质进行求解即可解答．解：由已知，=4，∵的值均扩大为原来的倍，∴分式的值为=，故答案为：8．【点拨】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解答的关键．类型四、把分式的分子分母最高次项化为正数4、不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【分析】分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变，从而可得分式的三个符号，同时改变两个，分式的值不变，根据分式的基本性质：①改变分式的分子与分式本身的符号，可得答案；②改变分式的分母与分式本身的符号，可得答案；③改变分式的分子与分母的符号，可得答案；④改变分式的分子与分母的符号，可得答案.解：①；②；③；④【点拨】本题考查的是利用分式的基本性质把分子分母的最高次项的系数化为正数，掌握变形的方法是解题的关键.举一反三：【变式】若不改变分式的值，使分子与分母的最高次项的符号为正，则＝______．【答案】【分析】根据分式的基本性质解答．解：原式＝．【点拨】本题考查分式的应用，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．类型五、把分式的分子分母各项的系数化为整数5、利用分式的基本性质把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数12，分式的值不变；（2）根据分式的基本性质，分子分母都乘以最小公倍数50，分式的值不变．解：（1）原式；（2）原式【点拨】本题主要考查分式的基本性质的应用，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，需要熟练掌握．举一反三：【变式】不改变分式的值．将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为______．【答案】【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘10即可．解：将分式分子、分母中各项系数化为整数．则结果为，故答案为：．【点拨】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行变形．类型六、最简分式6、（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？（2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？【答案】（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元．【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案；（2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案．解：（1）由题意可得：，答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得：y（1+a%）=x，则y=，答：这种商品每件的成本是元．【点拨】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键．举一反三：【变式】给出下列分式：（1），（2），（3），（4），（5）其中最简分式有__．（填序号）【答案】（2）【分析】先将分式因式分解，如果能约分不是最简分式，如果不能进行因式分解，分子分母不能约分是最简分式进行判断即可．解：（1），不是最简分式；（2）是最简分式；（3）不是最简分式；（4）不是最简分式；（5）不是最简分式；最简分式有（2）．故答案为（2）．【点拨】本题考查分式的约分，因式分解，最简分式，掌握分式的约分，因式分解，最简分式概念是解题关键．类型七、约分7、约分(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先找出分子分母的公因式，再将公因式约分即可；（2）先将分式的分子与分母因式分解，再约去分子与分母的公因式即可．解：(1)=；(2)=．【点拨】本题考查分式的约分，公因式，因式分解，约分是将分式的分子与分母中公因式消去，掌握约分，公因式，因式分解是解题关键．举一反三：【变式】化简分式＝_____．【答案】【分析】先将分子、分母因式分解，再约掉共同的因式即可．解：原式＝，故答案为．【点拨】本题主要考查分式的约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．类型八、最简公分母8、化简：【答案】．【分析】将分子进行因式分解，然后约分即可．解：【点拨】本题考查了解二元一次方程组，分式的化简，熟练掌握方程组的解法及分式的运算法则是解题的关键．举一反三：【变式】对分式和进行通分，它们的最简公分母为______．【答案】6x3y2【分析】先确定系数，再确定最简公分母的字母和指数，可得答案．解：最简公分母是6x3y2．故答案为：6x3y2．【点拨】本题主要考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的步骤是解题的关键．即最简公分母的系数就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同的字母都写在积里．类型九、通分9、与通分的结果是_______．【答案】【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可；解：，，最简