公开课教案-椭圆的定义与标准方程张青萍

2.1.1漳州三中数学组张青萍教学目标：知识与技能理解并掌握椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆的标准方程．过程与方法通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力；在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法．情感态度与价值观通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣；通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”；通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.教学重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导．教学难点：椭圆标准方程的推导．教学方法：讲授法与启发相结合、合作探究教学工具：电脑多媒体，几何画板教学过程：一、创设情境，引入概念师：相信大家对椭圆这个几何图形都很熟悉，生活中，你见过哪些类似椭圆的图形或物体？生：鸡蛋，橄榄球．．．师：我们这边再来看一些例子．多媒体演示行星的运行动画，展示鸡蛋，西瓜，一些瓷盆，鸟巢的图片，这些物体都具有椭圆的形状．那么现在问题来了：如何画出一个椭圆？学生思考片刻后，师：大家只是看过一些类似椭圆的物体，但实际上对椭圆这个概念是完全陌生的．那如果让大家画圆会不会画？生：会．师：怎么画？学生回答的同时教师利用几何画板展示圆的形成过程，并指明其原理即圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹．师：那么椭圆又是怎么画出来的呢？我们一起来探究．二、尝试探究、形成概念让学生拿出课前准备的笔、白纸、细绳（没有弹性），同桌两人合作，一个人将细绳的两端拉开一段距离，固定在白纸的两点处，另外一个人用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的是什么图形？找两个同学上黑板上演示．画图的过程中提问学生：此过程中对两定点之间的距离是否有要求？学生实验结束后，教师提问学生得到的图形是否是像黑板上的椭圆．为了更清楚图形的形成过程，教师用几何画板演示椭圆的形成过程．依据上面的作图实践及几何画板演示的画法，请学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？教师启发、提问，并由学生归纳出椭圆的定义．生：平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆．师：是不是只要满足这个条件的点的轨迹就是椭圆？生：不是．师：那还要什么条件？生：此常数要大于．师：一般我们把此常数称为，要求．为什么？如果不大于会怎么样呢？用细绳在黑板上演示，让学生得出时，轨迹为线段；时，无轨迹的结论．进而得出椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹叫作椭圆．其中两个定点叫作焦点，两焦点的距离叫作焦距．时，轨迹为线段时，无轨迹的结论提问：若令为椭圆上任意一点，可否把定义用数学表达式写出？学生思考回答：．三、标准方程的推导师：有了椭圆的定义之后我们接下来应该做什么呢？生：推导椭圆方程．师：对，推导椭圆方程．进而利用椭圆方程研究曲线的性质．师：我们一起来回顾一下求动点轨迹方程的一般步骤：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设曲线上任意一点坐标（3）列式：寻找等式，并转化为方程（4）化简：将方程化为最简形式（5）验证：证明化简后的方程为所求方程(可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明)推导过程：（1）建系：探讨建立平面直角坐标系的方案学生探讨最终决定以所在直线为轴，以的中点为原点建立直角坐标系，则．（2）设点：设是椭圆上任意一点（3）列式：让学生自己列出：，并将其坐标化后得：（4）化简：教师：为体现数学的简洁美，应化简．采取什么样的方法呢？学生回答：平方．教师：这里有两个根式，如何平方更简捷？学生思考得出：移项平方，再移项再平方的方法．教师带领学生一起化简，得到：．（用多媒体演示）教师指出：此方程形式还不够简捷，仍有变形的必要．结合图形引导学生令，则方程变为：，为了更方便记忆，可进一步整理得：提问：的大小关系如何？学生：教师指出：方程叫作椭圆的标准方程，其焦点在轴上，焦点坐标为且启发：椭圆的位置是否一定要这么摆放？生：还可以竖着摆．师：这时椭圆的焦点位置在哪里？生：轴．师：方程的形式如何？学生合理猜想，得出：师：实际上只是两个坐标轴的位置互换，所以方程形式也只是位置互换．进而得出两种形式的标准方程．思考：如何依据标准方程判断焦点的位置？学生观察后可得出：含的分式的分母谁大，焦点就在那个轴上．归纳椭圆的标准方程形式：右边是1，左边是平方和．练习：判断下列方程是否为椭圆方程，如果是，求出焦点坐标1、4、2、5、3、6、总结判断是否为椭圆方程及如何求焦点坐标的方法：先看方程的右边能否化成1，左边化成平方和的形式．的分母如果不相等就是椭圆．分母较大的就是，分母较小的就是，进而可以求出．焦点在对应的轴上，从而确定焦点坐标．四、例题讲解例：求下述椭圆的标准方程：焦点在，椭圆上每一点到两个焦点的距离之和为4解：由已知可设椭圆的标准方程为依题意得又椭圆的标准方程为总结求椭圆标准方程的方法：1、判断焦点在哪个轴上，确定标准方程形式2、求出变式：椭圆过点，且该点到两个焦点的距离之和为4分析：无法确定椭圆的标准方程形式，所以分两种情况讨论解：①当椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为则解得此时椭圆的标准方程为②当椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为则解得此时椭圆的标准方程为综上，椭圆的标准方程为或五、课堂小结1、椭圆的定义2、椭圆的标准方程3、两类标准方程的对照表六、课后作业1．教材34页练习1,2．（写在作业纸上）2．《导学》P20~21板书设计2.1.11、定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数【练习】的点的轨迹叫作椭圆．焦点，焦距时，轨迹为线段时，无轨迹2、椭圆的标准方程【例题】焦点在轴上：，焦点焦点在轴上：，焦点课后反思：从课堂的进程来看，课堂基本按“预设”进行，课堂基本目标得到落实，整体还算流畅．从课堂的实效来看，学生的直接表现能够说明《课标》要求基本达成．但是，从课堂的完成情况来看，存在的欠缺