数学归纳法典型例题

数学归纳法是用来证明某些与有关的数学命题的一种方法．根本步骤：①证明：当时，命题成立；②假设时命题成立，证明：当时，命题成立．根据①②可以断定命题对一切正整数n≥n0都成立．数学归纳法局部1．数学归纳法正整数2．数学归纳法证明步骤n＝n0n＝k(k≥n0)n＝k＋11.说明：归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜测，而数学归纳法的作用是证明猜测．“观察——猜测——证明〞是解答与正整数有关命题的有效途径．利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所涉及的题型主要有以下几个方面：(1)数列的递推公式，求通项或前n项和；(2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围；(3)猜测并证明对正整数n都成立的一般性命题．2.数学归纳法的主要应用(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个根本步骤缺一不可．3．应用数学归纳法的本卷须知【例1】用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋

1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．．题型一恒等式问题

(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．证明 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项〞，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．难点在于寻找n＝k时和n＝k＋1时的等式的联系．【例2】几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)．题型二几何问题用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项〞，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．

题型三不等式问题【例4】(12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)．求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论． 归纳——猜测——证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜测，探索出一般规律．题型四“归纳、猜测、证明〞问题审题指导【题后反思】对于递推公式求通项公式，可以把递推公式变形转化成我们熟悉的知识来解决，当用上述方法不能解决问题时，常用归纳、猜测和证明的方法来解决问题，用该法要求计算准确，归纳、猜测正确．然后用数学归纳法证明猜测对任何自然数都成立．【训练4】设数列{an}满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1,2,3，…(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜测出an的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有an≥n＋2.(3)在〔2〕的前提下，证明：(2)证明①当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1)时不等式成立，即ak≥k＋2，那么，ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3.即n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.由①②可知，对n≥1，都有an≥n＋2.〔3〕证明〔略〕学生证自己证【例如】当n为正奇数时，7n＋1能否被8整除？假设能，用数学归纳法证明；假设不能，请举出反例．[错解](1)当n＝1时，7＋1＝8能被8整除．命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即7k＋1能被8整除．那么当n＝k＋1时，7k＋1＋1＝7(7k＋1)－6不能被8整除．由(1)和(2)知，n为正奇数时，7n＋1不能被8整除．题型五整除问题不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是正奇数的条件．证明前要看准条件．[正解](1)当n＝1时，7＋1＝8能被8整除，命题成立；(2)假设当n＝k时命题成立，即7k＋1能被8整除，那么当n＝k＋2时，7k＋2＋1＝72(7k＋1)＋1－72＝49(7k＋1)－48，因为7k＋1能被8整除，且48能被8整除，所以7k＋2＋1能被8