2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十八讲函数的概念表示和定义域

第二十八讲：函数的概念，表示和定义域【教学目标】1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；；3.会判断两个函数是否为同一个函数；4.能正确使用区间表示数集；5.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．【基础知识】一、函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}注意点：(1)A，B是非空的实数集；(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集；(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系；(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．二、区间的概念设a，b∈R，且a<b，规定如下：区间数轴表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)注意点：(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆；(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；(4)∞是一个符号，而不是一个数．三、简单函数的定义域（1）偶次根号下大于等于0；（2）分母不为0；（3）.四、同一函数（1）定义域相同；（2）解析式一致；（3）值域相等.【题型目录】考点一：函数关系考点二：函数的概念考点三：函数的表示考点四：函数值的求解考点五：已知函数值求参考点六：区间的表示考点七：同一函数考点八：具体函数求定义域考点九：抽象函数求定义域考点十：实际应用问题求定义域考点十一：考点十一：已知定义域求参【考点剖析】考点一：函数关系变量之间存在固定的公式变化，且一一对应的关系，即为函数关系。例1．下列变量间的关系是函数关系的是（） A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．正方形的面积S与其边长a之间的关系 D．光照时间和苹果的亩产量【答案】C【详解】由题意，A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系，故选：C.变式训练1．下列变量之间是函数关系的是（） A．某十字路口通过汽车的数量与时间的关系 B．家庭的食品支出与电视机价格之间的关系 C．高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系 D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系【答案】C【详解】对于A，某十字路口通过汽车的数量与时间没有确定的关系，与其它自然因素也有关系，不是函数关系，故A错误；对于B，家庭的食品支出与电视机价格之间没有确定的关系，故B错误；对于C，高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且对于每一个时间的值，路程是唯一确定的，因此它们之间存在函数关系，且时间是自变量，路程是因变量，故C正确；对于D，同学期中考试的数学成绩与物理成绩没有必然的关系，故D错误.故选：C变式训练2．下列变量间为函数关系的是（） A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程 B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系 C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系 D．生活质量与人的身体状况间的关系【答案】C【详解】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；对选项C：耗电量与时间t的关系是，是确定的函数关系；对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.故选：C考点二：函数的概念两个集合为非空集合，且必须满足一一对应的关系.例2．已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除；对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除；对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除；对选项D：满足函数关系的条件，正确.故选：D变式训练1．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（） A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④【答案】A【详解】解：函数的定义中满足“集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与它对应”，结合定义容易判断①④为从A到B的函数.故选:A变式训练2．设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C【详解】①中：因为在集合中当时，在中无元素与之对应，所以①不是；②中：对于集合中的任意一个数，在中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中：对应元素，所以③不是；④中：当时，在中有两个元素与之对应，所以④不是；因此只有②满足题意，故选：C.变式训练3．函数的定义域为，值域为，则图像可能是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，函数的定义域为，值域为，对于A中，函数的定义域为，不符合题意；对于B中，函数的定义域为，值域为，符合题意；对于C中，根据函数的概念，一对一对应和多多对一对应是函数，而C项中出现一对多对应，所以不是函数，不符合题意；对于D中，函数的定义域为，但值域为，不符合题意.故选：B考点三：函数的表示函数的表示方法：列表法，图象法，解析式法例3．下列表示关于的函数的是（） A． B． C． D．x1234y00－611【答案】D【详解】对于A，由，解得，所以不是的函数；对于B，当时，有两个与对应，所以不是的函数；对于C，当时，有两个与对应，所以不是的函数；对于D，满足是的的函数.故选：D.变式训练1．下表给出了x与和的对应关系，根据表格可知的值为（）x1234x123431424321 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由表中数据可知，所以，故选：B变式训练2．下列四个式子中，是的函数的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A选项，，定义域为，定义域内每个值按对应法则不是唯一实数与之对应，所以不是函数，A项错误；对于B选项，，定义域为无解，所以不是函数，B项错误；对于C选项，定义域为，对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C项正确；对于D选项，当时，有两个值0，1与之对应，所以不是函数，D项错误．故选:C．变式训练3．下列图形能表示函数的图象的是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A选项，当时，一个对应两个值，不满足函数的定义；对于B选项，对于定义内每一个，都有唯一的与之对应，满足函数的定义；对于C选项，存在一个，有无数个与之对应，不满足函数的定义；对于D选项，当时，有两个与之对应，不满足函数的定义.故选：B.考点四：函数值的求解直接代入法求解函数值例4．已知，则（） A．2 B．0 C．1 D．4【答案】C【详解】因为，所以.故选C变式训练1．若，则__________．【答案】5【详解】，.故答案为：5变式训练2．已知函数，则的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】因为函数，所以，所以，故选:D.变式训练3．已知，且，则（） A． B．10 C．9 D．11【答案】A【详解】因为，且，所以，得，所以，所以，故选：A考点五：已知函数值求参带入解析式，化简求解，注意根是否可以取值例5．已知函数，且，则实数＝________.【答案】1或2【详解】由得，解得或.故答案为：1或2变式训练1．（多选）已知函数，分别由下表给出：则方程的解可以表示为（）123434124323 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BD【详解】∵，∴，∴或4.故选：BD变式训练2．若集合，，其中，，.是从定义域到值域的一个函数，则的值为（） A． B．或 C． D．【答案】C【详解】解：由对应法则知，，，，又，∴，∴解得或(舍)所以于是，∴，∴.故选：C.变式训练3．若函数，则_________．【答案】4【详解】因为,所以,故答案为：4.考点六：区间的表示例6．一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示闭区间______开区间______半开半闭区间______半开半闭区间______【答案】【详解】(1).若,写成区间形式为(2).若,写成区间形式为(3).若,写成区间形式为(4).若,写成区间形式为故答案为:(1).(2).(3).(4).变式训练1．用区间的方法表示下列集合：表示为_____________；或为_____________.【答案】【详解】表示为区间：或表示为区间：故答案为：变式训练2．区间及相关概念（1）区间的概念及记法设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号数轴表示闭区间_____开区间_____半闭半开区间_____半开半闭区间_____（2）无穷大实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．（3）特殊区间的表示定义区间数轴表示____________________【答案】考点七：同一函数同一函数要求：定义域相同，解析式一致，值域相等.例7．（多选）下列各组函数不是同一个函数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与【答案】ABD【详解】对于A，的定义域是，的定义域是R，定义域不同，故不是同一函数，A错；对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错；对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；对于D，的定义域是，的定义域是，定义域不同，故不是同一函数，D错.故选：ABD变式训练1．（多选）与表示同一个函数的是（） A． B． C． D．【答案】AC【详解】定义域为，且.对于A：，定义域也为，故A正确；对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；故选：AC.变式训练2．（多选）下列各组函数中的与相等的有（） A．与 B．与 C．与 D．与【答案】AC，并且，对应关系相同，所以是同一函数，故A正确；的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以两个函数不是同一函数，故B错误；，并且，两个函数的对应关系相同，所以是同一函数，故C正确；D.两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以不是同一函数，故D错误.故选：AC变式训练3．（多选）下列的函数与表示的是同一个函数的是（） A．， B．， C．， D．，【答案】BD【详解】对于A，易知函数的定义域为，而的定义域为，即两函数的定义域不同，所以A错误；对于B，函数与的定义域为，值域为，且，即其对应关系也相同，故B选项正确；对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，所以C错误；对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，所以D正确.故选：BD考点八：具体函数求定义域具体函数求解析式方法：（1）偶次根号下大于等于零；（2）分布不为零；（3）.例8．函数的定义域为（） A．且 B． C． D．且【答案】A【详解】依题意，，解得且，所以函数的定义域为且.故选：A变式训练1．函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，解得且，故的定义域为.故选：D.变式训练2．已知集合，，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，所以或，因为，所以，所以，故B，C，D错误.故选：A.变式训练3．函数的定义域是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，且，故函数的定义域为.故选：B.考点九：抽象函数求定义域抽象函数的定义域：（1）定义域单指的范围；（2）内的范围相同.例9．已知函数的定义域是，则的定义域是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的定义域是，所以，所以,即的定义域为，所以，解得，即的定义域是.故选:C.变式训练1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得，故，故函数的定义域为.故选：D变式训练2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】∵函数的定义域为，即，可得，∴函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为.故选：B.变式训练3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，又函数有意义，则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C考点十：实际应用问题求定义域例10．已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系中，定义域为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】∵矩形的周长为1，设矩形的长为x时，矩形的宽为，，解得：，故选B.变式训练1．已知矩形的周长为定值，设它的一条边长为，则矩形面积的函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】边长为，另一条边长为，得，所以，故选：D.变式训练2．已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为，腰长为；则函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由题知：，，根据三角形三边关系得到，所以函数的定义域为.故选：A变式训练3．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______.【答案】【详解】设矩形另一边的长为m，由三角形相似得：，（）,所以,所以矩形草坪的面积，解得：.故答案为：考点十一：已知定义域求参根据定义域的范围，将函数转化为恒成立问题，然后进行参数范围的求解.例11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为函数的定义域为，所以，当时，显然符合题意；当时，，即，综上可得实数的取值范围是.故选：B.变式训练1．已知函数的定义域为,求实数的取值范围（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意函数的定义域为，则当时，函数，其定义域为；当时，需满足对一切实数都成立，即，，综上可知：.故选：D.变式训练2．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由可知且，又的定义域为，故，否则，则，不合题意，故选：A.变式训练3．“”是“函数的定义域为R”的（） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为函数的定义域为R，所以对任意恒成立.i.时，对任意恒成立；ii.时，只需，解得：；所以.记集合,.因为AB,所以“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.故选：B.【课堂小结】1．知识清单：(1)函数的概念；(2)函数的三要素；(3)区间的表示；(4)求简单函数的定义域和求值；(5)判断是否为同一个函数；(6)求抽象函数的定义域．2．方法归纳：定义法，图象法，整体代换．3．常见误区：函数概念的理解，整体代换的思想求抽象函数的定义域．【课后作业】1．下面图象中，不能表示函数的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.故选：C.2．下列四个图形中，不是函数图象的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】对于ABC，每一个的取值均有唯一的一个值与其对应，符合函数定义，则ABC中图象均为函数图象；对于D，对于每一个的取值，都有两个值与其对应，不符合函数定义，则D中图象不是函数图象.故选：D.3．（多选）以下从M到N的对应关系表示函数的是（） A． B． C． D．【答案】AB【详解】A中，，，集合M中的任何一个元素，在集合N中都有唯一元素和它对应，满足函数的定义；B中，，，M中任一元素，在N中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义；C中，M中任一元素，在N中都有两个对应的元素，不满足函数的定义；D中，，M中元素0，在N中无对应的元素，不满足函数的定义；故选：AB．5．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，，当时，，当时，，当时，，即任取，总有，故C正确；对于D中，当时，，故D错误．故选：C．6．已知函数，那么的值（） A．3 B．5 C．7 D.【答案】C【详解】.故选：C7．若集合，，则从集合到集合的不同映射的个数是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】根据映射的定义，集合中的每一个元素，在集合中，都有唯一确定的对应元素，因为集合中有个元素，每个元素可以有种对应方式，所以根据分步乘法原理，共有种可能，所以，从集合到集合的不同映射的个数是个.故选：D8．已知函数，则函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由有意义可得，化简可得，所以函数