算法案例(秦九韶算法)课件

1.3算法案例(二)算法案例(秦九韶算法)案例2秦九韶算法一、三维目标（a）知识与技能 了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。（b）过程与方法 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙.（c）情感态度与价值观 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。二、教学重难点重点：1.秦九韶算法的特点;难点:2.秦九韶算法的先进性理解.算法案例(秦九韶算法)〖教学设计〗[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.x=5f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7PRINTfEND程序

点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是在计算x的幂值时重复计算，运算效率不高.算法案例(秦九韶算法)的值，这样计算上述多项式的值,一共需要9次乘法运算,5次加法运算.[问题2]有没有更高效的算法?

分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结果,以减少计算量,

即先计算x2,然后依次计算

第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.算法案例(秦九韶算法)[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?请欣赏下面的解法：f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当x=5时,多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.算法案例(秦九韶算法)秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。主要成就:1247年完成了数学名著《数学九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。美国著名科学史家萨顿说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。

算法案例(秦九韶算法)例1:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值.解：首先将原多项式改写成如下形式: f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677所以,当x=5时,多项式的值是2677.然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即算法案例(秦九韶算法)所以，当x=2时，多项式的值是31.在上述运算中，总共用了6次乘法，6次加法所以，当x=2时，多项式的值为31.求多项式的值转化为了求六个一次多项式的值。解：当x=2时的值时多项式的值。挑战1：计算算法案例(秦九韶算法)挑战2：用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值.【解析】f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.当x＝2时,有v0＝8,v1＝8×2＋5＝21,v2＝21×2＋0＝42,v3＝42×2＋3＝87,v4＝87×2＋0＝174,v5＝174×2＋0＝348,v6＝348×2＋2＝698,v7＝698×2＋1＝1397,∴当x＝2时,多项式的值为1397.

注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.算法案例(秦九韶算法)v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0.

观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.若令v0=an,得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.算法案例(秦九韶算法)

点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.

它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由1+2+3+4+5+...+n次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率.算法案例(秦九韶算法)知识探究(二):秦九韶算法的程序设计

思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.

第二步，令v=an，i=n-1.

第三步，输入i次项的系数ai.第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判断i≥0是否成立.若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值v.算法案例(秦九韶算法)思考2:该算法的程序框图如何表示？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii≥0？i=n-1i=i-1结束是输出v否算法案例(秦九韶算法)思考3:该程序框图对应的程序如何表述？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii≥0？i=n-1i=i-1结束是输出v否INPUT“n=”；nINPUT“an=”；aINPUT“x=”；xv=ani=n-1WHILEi>=0INPUT“ai=”；bv=v*x+bi=i-1

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：利用秦九韶算法计算

当x＝3时，求多项式f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1的值.解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f(x)＝x5＋0·x4＋x3＋x2＋x＋1＝(((x＋0)x＋1)x＋1)x＋1)x＋1.按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x＝3时的值：v0＝1，算法案例(秦九韶算法)v1＝1×3＋0＝3，v2＝3×3＋1＝10，v3＝10×3＋1＝31，v4＝31×3＋1＝94，v5＝94×3