塑性力学3课件

第三章应力和应变§3.1应力分析§3.2应变分析塑性力学3§3.1应力分析

一、应力张量及其分解(1)一点的应力状态通过一点P的各个面上应力状况的集合——称为一点的应力状态x面的应力：y面的应力：z面的应力：塑性力学3(2)应力张量一点

的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成一个二阶对称张量，称为应力张量。上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法定义：写法：采用张量下标记号的应力写法把坐标轴x、y、z分别用x1、x2、x3表示，或简记为xj(j=1,2,3),塑性力学3(3)斜截面上的应力与应力张量的关系在xj坐标系中，考虑一个法线为N的斜平面。N是单位向量，其方向作弦为则这个面上的应力向量SN的三个分量与应力张量之间的关系采用张量下标记号，可简写成说明：i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于这称为求和约定；ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；塑性力学3(4)应力张量的分解1.静水“压力”：在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈服、不会产生塑性变形。应力不产生塑性变形的部分产生塑性变形的部分反映静水“压力”：2.平均正应力：塑性力学33.应力张量的分解：应力张量可作如下分解：用张量符号表示：其中：或塑性力学3应力球张量——单位球张量——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力而没有剪应力的状态。应力偏张量——应力偏张量——与单元体的体积变形有关塑性力学3说明：材料进入塑性后，单元体的体积变形是弹性的，只与应力球张量有关；而与形状改变有关的塑性变形则是由应力偏张量引起的。应力张量的这种分解在塑性力学中有重要意义。塑性力学3二、主应力和应力不变量（1）主应力1.一点的主应力与应力主向若某一斜面上，则该斜面上的正应力称为该点一个主应力；（2）应力主向主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为，则它在各坐标轴上的投影为代入（3-3）式塑性力学3应有或即将这个行列式展开得到其中塑性力学32.应力张量的不变量当坐标轴方向改变时,应力张量的分量均将改变,但主应力的大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。可以证明方程（3-9）有三个实根，即三个主应力当用主应力来表示不变量时塑性力学3应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值（称为主偏应力）为：应力偏张量也有三个不变量：

塑性力学3其中应力偏张量的第二不变量今后用得最多。再介绍它的其他几个表达式：在第四章中将看到，在屈服条件中起重要作用。至于可以注意它有这样的特点：不管的分量多么大，只要有一个主偏应力为零，就有。这暗示在屈服条件中不可能起决定作用。

说明：塑性力学3三、等斜面上的应力等斜面：通过某点做平面，该平面的法线与三个应力主轴夹角相等八面体面：满足（3-20）式的面共有八个，构成一个八面体，如图所示。等斜面常也被叫做八面体面。若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有设在这一点取坐标轴与三个应力主轴一致，则等斜面法线的三个方向余弦为塑性力学3八面体面素上的正应力为八面体面素上的剪应力为说明：八面体面上的应力向量可分解为两个分量：i)垂直于八面体面的分量，即正应力，它与应力球张量有关，或者说与有关；ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力，与应力偏张量的第二不变量有关。塑性力学3四、等效应力1.定义：如果假定相等的两个应力状态的力学效应相同，那么对一般应力状态可以定义：——在塑性力学中称为应力强度或等效应力注意：这里的“强度”或“等效”都是在意义下衡量的2.等效应力的特点与空间坐标轴的选取无关；各正应力增加或减少同一数值（也就是叠加一个静水应力状态）时数值不变，即与应力球张量无关；

全反号时的数值不变。塑性力学33.空间空间指的是以的九个分量为坐标轴的九维偏应力空间；标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应力）状态的距离或差别的大小。联系到（3-17）式，不难看出代表空间的中的广义距离4.等效剪应力联系到（3-19）式，可知或也可以定义,剪应力强度或等效剪应力:塑性力学35.八面体剪应力、等效应力和等效剪应力之间的换算关系为：

说明：这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（在意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力状态的“强度”作出定量的描述和比较。塑性力学3五、三向Mohr圆和Lode应力参数在平面上三点中的任意两点为直径端点，可作出三个Mohr圆，如图3-3.其半径为：——称为主剪应力——最大剪应力1.三向Mohr圆塑性力学32.Lode应力参数[分析]由图3-4可见，若在已知应力状态上叠加一个静水压力，其效果仅使三个Mohr圆一起沿轴平移一个距离，该距离等于所叠加的静水应力，并不改变Mohr圆的大小。[结论]

轴的位置与屈服及塑性变形无关，决定屈服与塑性变形的只是Mohr圆本身的大小。塑性力学3若将轴平移到，并使则：移轴后的三向Mohr圆正是描述应力偏张量的三向Mohr圆，如图所示。M点是P1P2线段的中点Lode在1925年引进的参数塑性力学3Lode应力参数当P2点由P3移向P1时，的变化范围是：下面三个特殊情况是常用到的：i)

单向拉伸：ii)

纯剪切：iii)

单向压缩：只由P1、P2、P3三点的相对位置决定而与坐标原点的选择无关，故是描述应力偏张量的一个特征值。综上所述，OO’表示了一点应力状态的球张量部分；而以O’为坐标原点的三向Mohr圆（由和所确定）则表示了应力的偏张量部分。塑性力学3六、应力空间和主应力空间1.应力空间一点的应力张量有九个应力分量，以它们为九个坐标轴就得到假想的九维应力空间。考虑到九个应力分量中只有六个是独立的，所以又可构成一个六维应力空间来描述应力状态。一点的应力状态可以用九维或六维应力空间中的一个点来表示。2.主应力空间（Haigh-Westergaard空间）它是以为坐标轴的假想的三维空间，这个空间中的一个点，就确定了用主应力所表示的一个应力状态。塑性力学32.主应力空间的性质L直线：主应力空间中过原点并坐标轴成等角的直线。

其方程为显然，L直线上的点代表物体中承受静水应力的点的状态，这样的应力状态将不产生塑性变形。平面：主应力空间中过原点而与L直线垂直的平面。其方程为由于平面上任一点的平均正应力为零，所以平面上的点对应于只有应力偏张量、不引起体积变形的应力状态。塑性力学3主应力空间中任意一点P所确定的向量总可以分解为：这样任意应力状态就被分解为两部分，分别与应力球张量和应力偏张量部分对应。小结物体内一点的应力状态用应力张量描述，它又可分解为应力球张量和应力偏张量两个部分。塑性变形只与应力偏张量有关。三向Mohr应力圆和主应力空间为应力张量的分解提供了几何形象和数学工具。

塑性力学3这样取的目的是使构成一个二阶对称张量，即应变张量。§3.2应变分析

一、位移与应变的关系1.Cauchy公式其中与工程剪应变相差一半，即

塑性力学3张量记法:

以记,以记。

记号约定：以下标之间的逗号表示微商如Cauchy公式的张量形式：（3-29）（3-29）式是在小变形条件建立的。塑性力学3二、应变张量的分解应变张量也可以分解为应变球张量和应变偏张量，即（3-31）应变球张量——它与弹性的体积改变部分有关；其中称为平均正应变应变偏张量——只反映变形中形状改变的那部分。塑性力学3二、应变张量的不变量应变偏张量的三个不变量用表示：其中分别是主应变和应变偏张量的主值。塑性力学3应变偏张量的分解：塑性力学3三、等效应变和Lode应变参数等斜面（八面体面）上的正应变和剪应变：等效应变和等效剪应变塑性力学3Lode应变参数三个特殊情况为：i)单向拉伸：则=-1.ii)纯剪切：