2021年陕西省汉中市中考数学模拟试卷（a卷）

2021年陕西省汉中市中考数学模拟试卷（A卷）

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1.（3分）-1的立方根是（）

8

AB.4-AC.1D._1

-4_224

2.（3分）如图所示的几何体的俯视图是（)

B.C.□1D.

3.（3分）如图，直线48工£）相交于点0,/芯0£>=50°,则/4（%:+/8。。的度数为（）

C.90°D.70°

4.（3分）变量x,y的一些对应值如下表:

X•••-2-10123

.・・

y420-2-4-6

根据表格中的数据规律，当工=7时,y的值是（）

A.-14B.-7C.7D.14

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.5ab-3a=2bB.(-3a2/?)2=6。482

C.(a-1)2=a2D.2足b+b=2#

6.（3分）如图，在△ABC中，ZBAC=nO°,DE//AB,AD=3,则△ADC的面积为()

A.673B.8MC.473D.4

7.（3分）已知一次函数、=履-2和>>=〃氏-3,假设％>0且相<0,则这两个一次函数的

图象的交点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.（3分）如图，矩形ABC。中，E,尸分别为C。，且AE_LEF,BC=2（）

C.3D.25/3

9.（3分）如图，BD、CE是。。的直径，AE//BD,ZA=20°,则NAFC的度数为（)

C.60°D.70°

10.（3分）如果将抛物线的图象平移，有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物

线上，那么称这个点为“平衡点”1：y=（x-2）2-4向右平移“（〃〉0）个单位得到

新抛物线C2,如果“平衡点”为（4,〃），那么〃?的值为（）

A.3B.4C.2D.1

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11.（3分）计算5+质的结果是.

12.（3分）两个边长相等的正五边形如图所示放置，则Na的度数为.

13.（3分）如图，点A在反比例函数y=3的图象上区（AW0）的图象上，AB〃x轴，连接

XX

OB,与AO相交于点C,则攵的值为

14.（3分）如图，在四边形ABCD中，连接BD,ZBDC=120°,E为AB的中

点

三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）

93产工

15.（5分）解不等式组：

2

22

16.（5分）计算：+_SL_.

m2-6m+9m-3m-3

17.（5分）如图，在AABC中，ZB=60°,在BC边上求作一点〃，使得/8AM=30°.（不

写作法，保留作图痕迹）

18.（5分）如图，在。A8CO中，点E,BC上的点，且OE=BF,尸作EG_L8£）,FH1BD,

H,连接EH,尸G.请判断四边形HFGE的形状并说明理由.

19.（7分）2021年4月2日，教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,

明确了学生睡眠时间要求，初中生每天睡眠时间应达到9小时，某校为了了解初中学生

每天的睡眠时间是否达到要求，根据调查结果绘制出如图不完整的统计图.

(1)填空：扇形统计图中，“9.0〃”对应的扇形圆心角的度数为°,所调查的初

中学生每天睡眠时间的众数是h,中位数是h；

(2)求所调查的初中学生每天的平均睡眠时间；

(3)若该校有1600名初中学生，睡眠时间小于9小时的学生要参加相关科普讲座，请

你估计该校有多少初中学生要参加科普讲座？

20.(7分)真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名.小

玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测

量，首先，小玲在C处放置一平面镜，当退行1.8米到B处时，恰好在镜子中看到塔顶

尸的像；然后，晓静在尸处竖立了一根高1.6米的标杆E凡此时测得为2.4米，CF

为11.7米，ABLQM,EFA.QM,请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度PQ

21.(7分)自新冠肺炎疫情爆发以来，每天测体温成为一种制度，红外测温仪成为紧俏商

品，已知购进1台A型红外测温仪和2台B型红外测温仪共需365元，购进2台A型红

外测温仪和3台B型红外测温仪共需610元.

(1)每台A型、3型红外测温仪的进价分别是多少元？

(2)若该店购进A型和B型红外测温仪共60台，A型红外测温仪的标价为每台180元，

8型红外测温仪的标价为每台170元，为了促销，A型红外测温仪打九折、B型红外测温

仪打八折销售，销售完这60台红外测温仪该店可获利w元.

①求出利润卬与«的函数关系式；

②若要使购进的60台红外测温仪全部销售完获得1695元的利润，则应购进A型和B型

红外测温仪各多少台？

22.(7分)风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.某校开展以“奋斗百年路•启航新征程”为

主题的活动来庆祝建党百年.活动分为两个阶段，第一阶段是主题宣讲--讲好红色故

事，文化传承，人物传记为素材的3个宣讲项目(分别用A、B、C表示)，分别有文学

创作、美术创作、舞蹈创作、音乐创作4个项目(分别用。、E、F、G表示).参加人员

在每个阶段各随机抽取一个项目完成.

(1)若小军参加了该活动，求小军在第一阶段抽到A项目的概率；

(2)用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有可能的结果，并求小明恰好抽中

B、。两个项目的概率.

23.(8分)如图，△ABC是。。的内接三角形，AO为。。的直径，AE交于点F,ZC

=NE.

(1)求证：AB=AF；

(2)若AB=5,AO=2殳，求线段AE的长.

24.(10分)如图，抛物线丫=0?+乐+。的图象与x轴交于点A,B(2,0),与y轴相交于

点C,顶点为D(工，旦).

24

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M是y轴右侧抛物线上一点，过点M作轴于P,以C,P,求点M的

坐标.

25.(12分)问题探究

(1)如图①，在等边△ABC中，4O_LBC于点。、后，则△ABC的周长为；

(2)如图②，在边长为4的正方形中，将△ABD沿射线平移，连接EC、GC.求

EC+GC的最小值；

问题解决

(3)如图③，某植物园有一块菱形空地A8C。，其中AB=80、/§米，使BP=BC,在P

处修建观赏亭，修建便捷通道MP,MN、NP,为节约成本(即周长)最小，在

便捷通道的总长最小的情况下，四边形PA/BN的面积是否存在最大值？若存在，请求出

△PNM的最小周长及此情况下四边形PMBN面积的最大值，请说明理

由.

图①图②图③备用图

2021年陕西省汉中市中考数学模拟试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）

1.（3分）的立方根是（）

8

1

A.-AB.+AC2D.

2-24

【解答】解：-1的立方根是-工.

82

故选：A.

2.（3分）如图所示的几何体的俯视图是（

C.D.

【解答】解：从上面看，是一个矩形,

故选：C.

3.（3分）如图，直线48,CD相交于点O,/£。。=50°,则NAOC+N8OO的度数为（）

【解答】解：,・•直线A3,相交于点O,

：.ZEOB=90°，

VZEOD=50°,

AZBOD=40°,

*.•ZAOC=ZBOD,

：.ZAOC=40°，

AZAOC+Z800=40°+40°=80°.

故选：B.

4.（3分）变量x,y的一些对应值如下表:

X・・・-2-10123・・・

.・・・・・

y420-2-4-6

根据表格中的数据规律，当x=7时，y的值是（）

A.-14B.-7C.7D.14

【解答】解：由表格中变量x、y的变化关系可得y=-2x,

当x=7时，y--5X7=-14,

故选：A.

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.5ab-3a^2bB.（-3a2b）2=6aV

C.（a-1）2=a2-1D.2a2b^b=2a2

【解答】解：

A选项，与奶不属于同类项，选项错误，

B选项，积的乘方（-8a26）2=（-7）2a4b3=9a4b4,选项错误，

C选项，完全平方公式（«-1）2=a2-2a+l,选项错误

。选项，单项式除法

故选：D.

6.（3分）如图，在△ABC中，/BAC=120°,AO=3,则△AQC的面积为（）

A.6MB.873C.4MD.4

【解答】解：：/BAC=120°,AQ平分/BAC,

AZBAD=ZC/1D=AZBAC=60O,

2

•:DE"AB,

：.ZBAD=ZADE=6Q°,

ZDEC=ZBAC=120°,

AZAED=60Q,

ZADE=NAED,

・•・△ADE是等边三角形，

：.AE=AD=5,

:.DF=^&,AC=AE+CE=3+5=3,

6_

：./\ADC的面积为工X4X2返

25

故选：A.

7.（3分）已知一次函数-2和-3,假设上＞0且机＜0,则这两个一次函数的

图象的交点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：*."＞（）,

...一次函数），=履-2的图象经过第一、三、四象限；

'：m＜2,

...一次函数y=〃a-3的图象经过第二、三、四象限.

两个一次函数的图象交点在第三象限.

故选：C.

8.（3分）如图，矩形ABCD中，E,F分别为CZ）,且AE_LEF,BC=2（）

A.V15B.2^2c.3D.273

【解答】解：•・,四边形A8CQ是矩形，

：.AD=BC=2,ZD=90°,

：.ZDAE+ZAED=90°,

VAE1EF,

AZAEF=90°,

•••NDEA+NCE/=90°,

:・/DAE=NCEF,

tanZDAE=tanZCEF,

即班gi,

ADCE

■:E,一分别为CD,

:.DE=CE,CF=L

5

：.DE2=AD'CF=2X8=2,

：.DE=y[2(-加，

:.DC=2DE=2M，

在RtZVlDC中，根据勾股定理，得

4。=62+(啦)2=Wi

故选：D.

9.(3分)如图，BD、CE是。。的直径，AE//BD,/A=20°,则/AFC的度数为()

A.20°B.40°C.60°D.70°

【解答】解：；AE〃BO,NA=20°,

：.ZD=ZA=20°,

VZZ)OE=2ZA=40°,

AZAFC=ZD+ZDOE=20°+40°=60°.

故选：C.

10.(3分)如果将抛物线的图象平移，有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物

线上，那么称这个点为“平衡点”1：y=(x-2)2-4向右平移〃i(m>0)个单位得到

新抛物线C2,如果“平衡点”为(4,〃)，那么根的值为()

A.3B.4C.2D.1

【解答】解：根据题意，将(41：y—(x-4)2-4,

得至【J：”=(7-2)2-8=0,

所以“平衡点”为(4,7).

将抛物线Ci：y=(x-2)4-4向右平移力(m>0)个单位得到新抛物线C7：y=(x-2

-m)2-3.

将（4,0）代入新抛物线C2：y=（X-2-ZM）2-3,得0=（4-3-w）2-4.

解得m—7.

故选：B.

二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）

11.（3分）计算\下+后的结果是3.

【解答】解：^^72=378-^72=3.

故答案为：6

12.（3分）两个边长相等的正五边形如图所示放置，则/a的度数为108。.

【解答】解：正五边形的内角的度数为：（5-2）X180°nW,

2

AZABC=ZBCD=ZGBE=ZBEF=108°,

；./BCE=/BEC=180°-108°=72°,

AZCfi£=180°-72°-72°=36°,

：.Za=360°-108°-108°-36°=108°,

故答案为：108°.

13.（3分）如图，点A在反比例函数y=3的图象上K（ZW0）的图象上，AB〃x轴，连接

XX

OB,与相交于点C,则k的值为9.

【解答】解：过点8作轴于E,延长线段54,

：AB〃x轴，

轴，

四边形4尸0。是矩形，四边形OEB尸是矩形，

：.AF=OD,BF=OE,

：.AB=DE,

•.•点4在反比例函数y=3的图象上，

X

:・S矩形APOO=3,

同理S矩形OEBF=k,

*：AB//OD9

・ODg=6,

**AB'AC

：.AB=2ODf

：.DE=WD,

••S矩形OEBF=3S矩形AFOD=3义2=9，

.•.2=15,

故答案为9.

14.（3分）如图，在四边形ABC。中，连接BD,ZBDC=120°,£为48的中点2+2、万.

【解答】解：如图，点尸为8。中点，FC.

'：AD=BD=CD=4,

.\EF=AA£>=2,

3

在RtA/ZDC中，

£>C=4,

NCOH=180-/H£>C=60°,

：.DH=5,HC=2M，

在RtZ\aFC中，

FC=1FH5+HC/+(2圾)2=2枚，

:.CE《EF+FC=6+2布,

，CE的最大值为4+277'

故答案为3+2y/^j,

三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）

三_x-l》

93

15.（5分）解不等式组：

与<x+2

2

【解答】解：解不等式三

23

解不等式送二3<X+2,

4

则不等式组的解集为x24.

22

16.(5分)计算：(,mT+4.

m2-6m+91n-3m-3

22

【解答】解：(♦_9.J)+工

m7-6m+9m-3m-8

=l(m+3)(nr3)_3卜m-3

22

(m-6)m-6m

=（m+2_3）.irr3

m-3m-41n2

_m.m-3

Tn-72

m'm

=_8

m

17.（5分）如图，在△ABC中，ZB=60°,在8c边上求作一点例，使得N8AM=30°.（不

写作法，保留作图痕迹）

18.（5分）如图，在。A8C。中，点E,8C上的点，1.DE=BF,尸作EG_L8。，FH1.BD,

H,连接bG.请判断四边形"FGE的形状并说明理由.

【解答】解：四边形HFGE是平行四边形，理由如下:

・・•四边形ABC。是平行四边形,

：.AD//BC,

：./ADB=NCBD,

VEG±BD,FHVBD,

：.NDGE=ZEGH=/BHF=ZFHG=90°,

：.EG//FH,

■:DE=BF,

:•丛DGEm丛BHF(AAS),

:,GE=HF,

...四边形HFGE是平行四边形.

19.（7分）2021年4月2日，教育部发布《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》,

明确了学生睡眠时间要求，初中生每天睡眠时间应达到9小时，某校为了了解初中学生

每天的睡眠时间是否达到要求，根据调查结果绘制出如图不完整的统计图.

（1）填空：扇形统计图中，“9.0/?”对应的扇形圆心角的度数为90°,所调查的初

中学生每天睡眠时间的众数是8.5h,中位数是8.5/?；

（2）求所调查的初中学生每天的平均睡眠时间；

（3）若该校有1600名初中学生，睡眠时间小于9小时的学生要参加相关科普讲座，请

你估计该校有多少初中学生要参加科普讲座？

【解答】解：（1）本次接受调查的初中学生有：44-10%=40（人），

“9.3/?”对应的扇形圆心角的度数为360°X12=90°,

40

睡眠为8.5〃的人数有：40-（3+8+10+3）=15（人）,

；5.5〃出现的次数最多，出现了15次，

•••所调查的初中学生每天睡眠时间的众数是8.3〃，

把这些数从小到大排列，中位数是第20,

则中位数是5+5-5=6.5（〃）.

2

故答案为：90,8.2；

（2）所调查的初中学生每天的平均睡眠时间是

4X7.4+8X8.8+8.5义15+2.0X10+9.6X匕^工（/?）；

40

（3）1600X4+8+15=1080（人），

40

答：估计该校有1080人初中学生要参加科普讲座.

20.（7分）真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名.小

玲和晓静很想知道真身宝塔的高度PQ,有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测

量，首先，小玲在C处放置一平面镜，当退行1.8米到B处时,恰好在镜子中看到塔顶

P的像；然后，晓静在尸处竖立了一根高1.6米的标杆EF,此时测得尸例为2.4米，CF

为11.7米，ABLQM,EFLQM,请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度产。.

【解答】解：：NPQC=/A8C=90°,ZPCQ=ZACB,

：.^PCQ^/\ACB,

•PQQC

,*ABW

•_PQ__QC_（

"T?=4.8,

：.QC^\.1PQ,

:NPQF=NEFM=90°,/PMQ=NEMF,

.PQ_QM

"EF'FM"

，PQ_QC+11.8+2.4

'*176=3.4

即PQ=1.2PQ+1L5+2.4

、172=3.4

：.PQ=AH,

答：真身宝塔的高度PQ为47米.

21.（7分）自新冠肺炎疫情爆发以来，每天测体温成为一种制度，红外测温仪成为紧俏商

品，已知购进1台A型红外测温仪和2台B型红外测温仪共需365元，购进2台A型红

外测温仪和3台B型红外测温仪共需610元.

(1)每台A型、B型红外测温仪的进价分别是多少元？

(2)若该店购进A型和B型红外测温仪共60台，A型红外测温仪的标价为每台180元,

3型红外测温仪的标价为每台170元，为了促销，A型红外测温仪打九折、B型红外测温

仪打八折销售，销售完这60台红外测温仪该店可获利w元.

①求出利润w与"的函数关系式；

②若要使购进的60台红外测温仪全部销售完获得1695元的利润，则应购进A型和8型

红外测温仪各多少台？

【解答】解：(1)设A型、B型红外测温仪的进价分别是x,

由题意得：卜+2了=365,

|2x+6y=610

解得,=125.

]y=120

答：每台4型、B型红外测温仪的进价分别是125元；

(2)(180X0.9-125)a+(170X7.8-120)(60-a)=21a+960；

②由题意得：21a+960=1695,

解得a—35.

60-a=25(台)，

所以应购进A型红外测温仪35台，B型红外测温仪25台.

22.(7分)风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.某校开展以“奋斗百年路•启航新征程”为

主题的活动来庆祝建党百年.活动分为两个阶段，第一阶段是主题宣讲--讲好红色故

事，文化传承，人物传记为素材的3个宣讲项目(分别用A、B、C表示)，分别有文学

创作、美术创作、舞蹈创作、音乐创作4个项目(分别用。、E、F、G表示).参加人员

在每个阶段各随机抽取一个项目完成.

(1)若小军参加了该活动，求小军在第一阶段抽到4项目的概率；

(2)用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有可能的结果，并求小明恰好抽中

B、。两个项目的概率.

【解答】解：(1)第一阶段分别有以党建党史，文化传承，

小军在第一阶段抽到A项目的概率为上；

3

(2)列表如下：

DEFG

AADAEAFAG

BBDBEBFBG

CCDCECFCG

由表可知，共有12种等可能结果、。两个项目的结果只有7种结果，

小明恰好抽中B、Z)两个项目的概率为上.

12

23.(8分)如图，ZVIBC是。。的内接三角形，AO为。0的直径，AE交。0于点F,ZC

=/£

(1)求证：AB=AF；

(2)若AB=5,4。=空，求线段AE的长.

4

【解答】(1)证明：连接8R

VZC=ZAFB,ZC=ZE,

・•・NAFB=NE,

：.BF//DE,

•「DE为。。的切线，

C.ADLDE,

：.ADLBF,

•••AB=AF«

：.AB=AF；

(2)解：连接3D,

由圆周角定理得：ZC=ZADB,

■:NC=NE,

：.NADB=NE,

・・・AO为。。的直径,

ZABD=90°,

・•・NABD=NADE,

25

;.坐=也即且=工

ADAE25_AE

4

24.(10分)如图，抛物线y=a/+6x+c的图象与x轴交于点A,B(2,0),与y轴相交于

点C,顶点为。(工，旦).

24

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M是y轴右侧抛物线上一点，过点M作MP_L)，轴于P,以C,P,求点M的

坐标.

【解答】解：⑴：抛物线y=oA6x+c的顶点为(工，9),

74

可设抛物线的函数表达式为y=a(x--1)2+A,

把点8(2,5)代入工)2+9=8,

24

解得。=-1,

...抛物线的函数表达式为y=-(x--1)2+旦=-/+x+2；

83

(2)-?+x+2=0,

解得x=-7或2,

・・・A(-1,5),

令x=0,则y=2,

：.C(6,2).

：.OA=1,OC=7,

・.・MP_Ly轴于P,

：.ZMPC=ZAOC=90°.

设M(m,-nr+m+2),且相＞2,

则MP=m,CP—\--8|=|-,

①当△AOCs/XCRW时，空即PM=2CP,

PMOC6

I.当根=2(-mb+m)时，解得机=0(舍去)或工，

2

II.当m=-2(-w2+/n)时，解得m=l(舍去)或士，

2

：.M(£,9)或M32),

2424

②当△AOCsaMPC时，=BpCP=2PM,

CPOC6

I.当-+机=7"时，解得m=Q(舍去)或-I(舍去)，

II.当-(-/+加)=2m时，解得m=0(舍去)或6,

：.M(3,-4).

综上，点M的坐标为(5，92,2)或(3.

2224

25.(12分)问题探究

(1)如图①，在等边AABC中，AZ)_LBC于点。则△ABC的周长为6；

(2)如图②，在边长为4的正方形4BCD中，将△A3。沿射线BD平移，连接EC、GC.求

EC+GC的最小值；

问题解决

(3)如图③，某植物园有一块菱形空地ABCD,其中A8=80、/§米，使BP=BC,在P

处修建观赏亭，修建便捷通道MP、MN、NP,为节约成本（即△PNM周长）最小，在

便捷通道的总长最小的情况下，四边形PM8N的面积是否存在最大值？若存在，请求出

△PNM的最小周长及此情况下四边形PMBN面积的最大值，请说明理

由