2022年黑龙江省高考第一次模拟考试文科数学试题含答案

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={小=3〃+1,〃€用，3={x|2<x<10},则集合4nB中元素的个数为

()

A.2B.3C.4D.5

,4

2.已知复数z满足（l+i）2z=L^（/为虚数单位），则复数z—l在复平面内对应点所

|1+1|

在的象限为（）

A第二象限B.第三象限C.第四象限D.第一象

限

3.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售B,C三种医用外科

口罩，甲、乙购买力,B,。三种医用口罩的概率分别如下：

购买2种医用口罩购买8种医用口罩购买C种医用口罩

甲■0.20.4

乙03■0.3

则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（）

A.0.44B.0.40C.0.36D.0.32

4.已知且3cos2a+sina=l,则（）.

./\2/、2

A.sm（兀一a）=—B.cos（兀一。）=——

.（兀）石c（兀）百

C.sm—+a=-------D.cos—+a=-------

U）312）3

5.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业

生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019年该校

毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现就业,

就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升.根据如图,

下列说法不正确的是（）

5

2

,

60.0%-一3

一

50.0%-

，本科生

40.0%-2

d■硕士生

2

1

.

一

30.0%一827一r

米

」.一

75□博士生

次.1

■%2二2

%..

「3

20.0%-一

0次

%

♦

〔

10.0%-

0.0%」一

上海浙江四川江苏福建其他地区

毕业生签三方就业单位所在省（区、市）公布

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

6.已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S“，§6=-5S3NO,则卜（）

A.18B.13C.-13D.-18

7.已知函数/（x）=2cos（2x+°）在区间（0,力上单调递减，且其图象过点（0,1）,则9的

值可能为（）

7171兀兀

A.B.C.

67

8.“一血<8<0”是“圆C：/+y2=9上有四个不同的点到直线/:y=x-匕的距离等

于1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，£为8C

的中点，则在原几何体中，异面直线AE与C。所成角的余弦值为（）

ACRV6c6n76

63312

22

、xy_

10.设石，E是椭圆C：—+=l（a>6>0）的左、右焦点，。为坐标原点，点?在椭圆。

ab"

上，延长所交椭圆C于点。，且仍用=|「。，若△用月的面积为立〃，则=（）

3W鸟I

A.立B.毡C.73D.迪

233

l,x>0

11.已知符号函数sgnx=<0,x=0，偶函数/(x)满足/(x+2)=/(x),当xe[0,l]时,

-1,x<0

/(x)=x,则()

A.sgn[/(x)]>0

/2021>,

C.sgn[/(2A:+l)]=l(A:eZ)

D.sgn[/(Zc)]=|sgnZ:|(Z：GZ)

12.函数/(力=%2*-1在定义域内的零点个数不可能是()

A.3B.2C.1D.0

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.设向量4=(/,2),b—(―?,1)»且卜—q=卜|+|/?|>则U.

14.某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同

的裁员方案的种数为.

22

15.已知双曲线/>0)的左、右焦点分别为,F,,过片的直线交

a-b-

双曲线C的左支于2Q两点，若雨，而且APQK的周长为12a,则双曲线C的离心

率为.

16.如图，直四棱柱A5CO—A4aA的底面是边长为2的正方形，AA=3,E,尸分别

是AS8c的中点，过点2,E,尸的平面记为则下列说法中正确的序号是.

①平面a截直四棱柱所得截面的形状为四边形

②平面a截直四棱柱ABCO—AgGA所得截面的面积为拽

2

③二面角。一EF—A的正切值为72

④点8到平面a的距离与点。到平面a的距离之比为1:3

三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动培训活动，并在培训结束后

对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩，并规定X>85为考核优秀.为了了解本次培

训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.

5

60116

70I43358

823768717

9114529

02130

⑴从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概

率；

⑵从图中考核成绩满足Xe[70,79]的学生中任取3人，设丫表示这3人中成绩满足

X-85W10的人数，求y的分布列和数学期望；

、

X-85

（3）根据以往培训数据，规定当P<120.5时培训有效.请你根据图中数据，判

107

断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

18.已知数列｛%｝为等差数列，｛d｝是各项为正的等比数列，｛〃,｝的前〃项和为S“，

，且2%=a=2.4+%=10.在①4S”=bn-1(2GR),②4=53-2S2+St,

③勿=2瓯(XwR).

这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）求数列｛《,+2｝的前"项和7”.

19.已知抛物线。：、2=2幺工（0>（））的焦点为尸，48是该抛物线上不重合的两个动点,

3

。为坐标原点，当力点的横坐标为4时，cos/OE4=——

（1）求抛物线C的方程；

（2）以28为直径圆经过点P（l,2）,点48都不与点。重合，求|AF|+|B日的最小值.

20.等腰梯形ABC。，2AB=2BC=CD,N/LBC=120°，点E为CD中点，沿AE将

△DAE折起，使得点。到达尸位置.

(1)当EB=8C时，求证：BE1平面AFC;

(2)当8尸=逅8C时，过点尸作户G,使而=之而(九〉0),当直线BG与平面巫尸

2

所成角的正弦值为巫时，求4的值.

10

21.已知=+cos%.

(1)求“X)在卜卦]上的极值；

(2)Vae(O,ll,当x>0时，证明：(x—+x+L_2sinxN0.

ax

X=-1+2COS69

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是c.(9为参数)，以坐标原

y-2sm夕

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)已知曲线C上两点A,8的极坐标分别为A(q,a),B^p2,a+^\,求证：

2299«

P\+P2+~+

P\Pi

23.已知函数/(x)=|x+[+|2x-3|,例为不等式/(x)W4的解集.

(1)求用;

⑵若a,R,且/+〃wM,证明：0<"_ab+H<3.

参考答案

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜k=3〃+1,〃6?4},3={x[2<x<10},则集合408中元素的个数为

（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的概念得出从而得到集合ACS元素个数.

【详解】••,集合A={Hx=3〃+l,〃eN},B={X|2<X<10},

二Ac5={4,7}

即集合中共有2个元素.

故选：A.

2.已知复数z满足（l+iAzn;F（/为虚数单位），则复数z—l在复平面内对应的点所

H+1I

在的象限为（）

A.第二象限B.第三象限C.第四象限D.第一象

限

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数运算公式求得z,结合复数的几何意义可得.

【详解】由（1+022=7^=2&得z=2^=—&i,z_l=—l_0i，•••复数Z-1

|1+1|（1+i）2

在复平面内对应的点为（-1,-夜），.・•复数z-l在复平面内对应的点所在的象限为第三象

限.

故选：B.

3.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售4,B,C三种医用外科

口罩，甲、乙购买4,B,C三种医用口罩的概率分别如下：

购买2种医用口罩购买8种医用口罩购买C种医用口罩

甲■0.20.4

乙0.30.3

则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为()

A.0.44B.0.40C.0.36D.0.32

【答案】D

【解析】

【分析】先求出甲购买力种医用口罩和乙购买8种医用口罩的概率，然后利用独立事件的

乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.

【详解】由表可知，甲购买2种医用口罩的概率为0.4,乙购买8种医用口罩的概率为0.4,

所以甲，乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为

P=0.4x0.3+0.2x0.4+0.4x03=0.32.

故选：D.

4.已知且3cos2cr+sina=l,贝！I().

./、2/、2

A.sin(兀一a)=—B.cos(n-a]=——

v'3v'3

C.sinf—+=--

D.cos—+。=----

12J3(2)3

【答案】A

【解析】

2R

【分析】利用二倍角公式化简方程,解方程可得sina进而可得cosa=上，然后利

33

用诱导公式即可判断.

【详解】•13cos2a+sina=l,

・•・3（1—2sin2crj+sindz=1,即Gsin?a-sina-2=0,

・•・sina=—或sina=-一（舍去）,

32

••♦cosa=*，sin（兀一。）=sina=：cos（兀-a）=-cosa=一当，

、加71.2

sin-+a=cosa-——.cos—+a=-sina=——

12

7323

故选：A

5.清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业

生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019年该校

毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现就业,

就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提升.根据如图,

下列说法不正确的是（）

5

2

•

60.0%亲

「

B本科生

毕业生签三方就业单位所在省（区、市）公布

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

【答案】D

【解析】

【分析】理解题意，根据图中所给出的数据进行逐一排除即可.

【详解】A:博士生毕业生选择在北京就业的比例达到52.1%,超过一半，A正确；

B:留在北京就业的人数博士生接近一半，而本科生与硕士生则明显低于一半，所有显然总

人数超半数选择在北京以外的单位就业，B正确；

C：到四川省就业的硕士毕业生人数为2527x3.2%M80,而到四川省就业的博士毕业生人

数为1467x3.7%a54,故硕士生更多，C正确；

D：图表中显示4.2%+5.6%+3.0%=12.8%,然而本科生、硕士生、博士生人数并不是

一样多，所以D必不正确.

故选：D

6.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，56=-553^0,则（）

二3

A.18B.13C.-13D.-18

【答案】D

【解析】

【分析】

通过等差数列的性质，可得S,S-S,S-S为等差数列，设S6=-5a,S3=a,即可得出

结果.

【详解】由S6=-5S.3,可设S6=-5g=〃

••・｛4｝为等差数列，・.・$,为等差数列，

即d-6a,S9-§6成等差数列，S9—、6=-13a,即Sg=-18a

.•.差=T8

S3

故选:D.

【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了运算求解能力，属于基础题目.

7.已知函数/（x）=2cos（2x+°）在区间［of）上单调递减，且其图象过点（0』）,则。的

值可能为（）

7171Tl71

A.一一B.一一C.-D.—

3663

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，利用三角函数的图象与性质，列出不等式，求得。的范围，结合选项,

即可求解.

JIJI

【详解】由0cx<],可得夕<2x+0<5+9,

因为函数"X）=2cos（2x+°）在区间（0,（]上单调递减，

JI

可得0之2k7r且5+0W万+2火肛keZ9解得2k兀<（p<--\-2左肛keZ,

又由函数/（x）的图象过点（0,1）,可得2cose=l,即cos0=；,

解得9=0+2攵4或夕=g+2&肛ZwZ,

当％=0时，可得8=工，所以。的值可能为三.

33

故选：D.

8.“-6〈b〈卮'是“圆。：/+丁=9上有四个不同的点到直线/：丁=*一〃的距离等

于1”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线和圆的位置关系求出匕，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.

【详解】•••圆C:f+y2=9的半径「=3,

若圆C上恰有4个不同的点到直线/的距离等于1,则

必须满足圆心（0,0）到直线/：y=x-匕的距离

d=y<2,解得一2&<。<2近・

又（―0,夜）c（—2后,2夜），

•••u-y[2<b<y[2''是"圆C：f+y2=9上有四个不同的点到

直线/:y=x-h的距离等于1”的充分不必要条件.

故选：A.

9.如图，某几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，£为BC

的中点，则在原几何体中，异面直线AE与CO所成角的余弦值为（）

C6

VZi----D,迈

312

【答案】A

【解析】

【分析】将给定展开图还原成三棱锥。-ABC,取即中点尸，借助几何法求出异面直线

所成角的余弦值.

【详解】因几何体平面展开图由一个等边三角形和三个等腰直角三角形组合而成，于是得原

几何体是正三棱锥D-ABC,

其中。A0在两两垂直，且D4=£）3=DC,取8。中点尸，连接£尸，AF,如图,

因£为的中点，则有成//CD,因此，NAM是异面直线AE与CO所成角或其补角,

令。外2,则EfugoCul,中，AF=-JAD2+DF2=\[5•

正AABC中，AE=—AB=y/6,于是有：AF2+EF2=6=AE2,即NA/E=90,

2

EFV6

cosZAEF=—=—.

AE6

所以异面直线AE与8所成角的余弦值为逅.

6

故选：A

x2y2

io.设3月是椭圆c：=+―=i(a>6>o)的左、右焦点，。为坐标原点，点/在椭圆c

ab

上，延长续交椭圆C于点。，且|用|:|夕Q,若△用K的面积为3/，则¥1^=()

3WBI

A.3B.亚C.73D.迪

233

【答案】B

【解析】

7T

【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得/耳尸6=§,进一步得AAQQ为

等边三角形，且PQJ-X轴，从而可得解.

【详解】由椭圆定义，\PFt\+\PF21=2a,

由余弦定理有：CM"「吗凛(I产甲+1「用了一2|尸耳||「马一4/

2|叫附|

_4a2-4c?-2|叼然|_4以-2|PF；」P%|

-2\PFl\\PF2\2\PF}\\PF2\

2

化简整理得：2b=|PR||PF21(cos“PF]+1),

又SAW=g|PH||Pg|sin^F,PF2,

由以上两式可得：

切sin干cos幺片“pF

q2々PF"t一空

△叼52122

cosZFlPF2+12cos

2

&0_2NRPFzV322NF[PF,./rDr_

由SAPRF、-b*tan-~,传—b~-tan-------,,,PF?——»

2323

又|P4|=|PQ|,所以△AOQ为等边三角形，由椭圆对称性可知PQ，x轴,

|PQ|=2_2有

所以丽=耳=亍

故选：B.

l,x>0

11.已知符号函数sgnx=<0,x=0，偶函数/(x)满足/(x+2)=/(x),当xe[0,l]时,

-l,x<0

/(x)=x,贝！I()

A.sgn[/(x)]>0

C.sgn[/（2A+l）]=l（AeZ）

D.sgn[/（A:）]=|sgn^|（^GZ）

【答案】C

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用函数的周期性以及题中定义可判断BC选项.

【详解】对于A选项，sgn[/（0）]=sgn0=0,A错；

对于B选项，=+==B错；

对于C选项，对任意的ZeZ,/(2A+1)=/(1)=1,则sgn"(2Z+l)]=sgnl=l,C

对；

对于D选项，sgn[/(2)]=sgn]f(0)]=sgnO=O,而|sgn2|=l,D错.

故选：C.

12.函数/(力=/6心-1在定义域内的零点个数不可能是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数确定函数的单调性，极值，结合零点存在定理判断零点个数.注意只要判

断可能性.

【详解】f'(x)=2xeM+ax2eM=x(2+ax)eM,

若a=0,则/(尤)=/一1,有两个零点，

2

若由/'(%)=0得1=0或%=一4,

a

22

若a>0,在—或q>0时，/'(九)>。，—<x<0时，/'(x)v0,

aa

22

所以/(x)在(-00,--)和(0,+8)上递增，在(―*,0)上递减，

aa

24

tt

极小值/(0)=-1<0,极大值/(一一)=-7-19/(l)=e-l>0,/(力在Q+oo)上

ao~e

有一个零点，

224

。二4时，/(--)=-TT-1=0,Ax)在(—8,0)上只有一个零点，这样共有2个零点；

eaae

224

士时，/(一一)=『-1<0,/(%)在(―8,0)上无零点，这样共有1个零点；

eaa~e

o24

0<。<士时，/(——)=^v-l>0,xf—8时，y=x2eax->0,因此〃x)vO,

eaae~

22

所以/（X）在（―00,——）和（一一,0）上各有一个零点，共有3个零点.

aa

由此不需要再研究“<0的情形即可知只有D不可能出现，

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.设向量a=Q,2）,B=（—//），且卜/—q=pz|+|/?|>则U.

【答案】±72

【解析】

【分析】根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】由归一,2=同2+忖2=/+-27B=问2+问2,

可得a•/?=0'—t~+2=0>得f=+-^2»

故答案为：土立

14.某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲.乙二人不能全部裁去，则不同

的裁员方案的种数为.

【答案】182

【解析】

【分析】按甲、乙二人裁去1人或两人都不裁去分类讨论可得.

【详解】由题意方法数为C；+C；C；=182.

故答案为：182.

22

已知双曲线。：♦一方（。>）的左、右焦点分别为过片的直线交

15.=10/>0F1,F2,

双曲线C的左支于P,。两点，若至，而且APQB的周长为12a,则双曲线C的离心

率为.

【答案】叵并让屈

22

【解析】

【分析】由所给的条件，利用双曲线的定义即可.

由双曲线定义知|P闾-归用=|。图一|Q娟=2a,

则|产制=俨闾一2。，|Q制=|Q£|—2a,

所以|PQ|=|P周+|Q周=归闾+依闾一4a,

.••△PQ居周长为|PE|+|QR|+|PQ|=2（|%|+|QE|）—4a=12a,

：.\PF2\+\QF2\=8a……①，|P0=4a,

由电工而，得归居『+16a2=|QK「

：.\QF2\-\PF2\^2a……②，

由①②：

.•・|尸鸟］=3。，向月|=5a,，归耳|=Q,

在放△尸耳工中，/+（3〃）2=（2C）2,

cx/10

e=—=----.

a2

故答案为：工叵.

2

16.如图，直四棱柱ABC。—A5G。的底面是边长为2的正方形，AA=3,E,尸分别

是28,8c的中点，过点R,E,尸的平面记为a,则下列说法中正确的序号是

DiG

①平面1截直四棱柱ABCO-AgG。所得截面的形状为四边形

②平面a截直四棱柱ABCD-A⑸G9所得截面的面积为亚

2

③二面角D-EF-D］的正切值为V2

④点8到平面a的距离与点。到平面a的距离之比为1：3

［答案］（2X3X3）

【解析】

【分析】作出截面即可判断①；计算出截面各边长度，即可求出面积判断②；图中易作出

房的垂面得到二面角的正切值，即可判断③；连。8与£尸交于G,易得D、5到G的距离

比，即可判断④.

【详解】如下图，延长勿、AC交直线用于点久Q,连接。入D0,交棱44GC与

点用、N,连接2例、ME、D\N、NF,可得五边形，故①错误；计算可得截面五边形各边

长度分别为a〃=2/V=2后，ME=EF=FN=O,因此五边形可分成等边三角形

a/VZ/V和等腰梯形MEFN,可求得面积分别为2出和*3,则五边形a/V7£7W的面积为

2

拽，故②对；连。5与房交于G,可得二面角D-EF-D,的平面角为/"GO,可求

2

出OG=手，而0A=3,所以tanN0G0=V5,故③对；易得8G：AG=1:3,所

以点B、。到平面a的距离之比为1：3,故④对.

故答案为：②③④.

【点睛】(1)作几何体的截面时，关键是要找到两个公共点，连接即可得交线；

(2)多边形的面积没法直接求时，可分割成常见图形求；

(3)由二面角定义可知，和公共棱垂直的平面与两面的交线所成的角就是二面角的平面角；

(4)线段与平面相交时，线段两端点到平面的距离比等于它们到交点的距离比.

三.解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.

17.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后

对学生进行了考核.记X表示学生的考核成绩，并规定X>85为考核优秀.为了了解本次培

训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.

50Hn6

60133

158

723«768

81152717

9

902u30

(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概

率；

(2)从图中考核成绩满足Xe[70,79]的学生中任取3人，设丫表示这3人中成绩满足

以-85区10的人数，求y的分布列和数学期望；

1X—85、

(3)根据以往培训数据，规定当P——-<120.5时培训有效.请你根据图中数据，判

断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

【答案】⑴g

(2)分布列见解析，£(7)=—

(3)有效，理由见解析

【解析】

【分析】(1)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

(2)分析可知变量y的可能取值有。、1、2、3,计算出随机变量y在不同取值下的概率,

可得出随机变量y的分布列，进一步可求得E(y)的值；

X-85AV_QCA

(3)求出满足一^二41的成绩有16人，求出P—^―W1,即可得出结论.

【小问1详解】

解：设该名学生的考核成绩优秀为事件A,

由茎叶图中的数据可知，3()名同学中，有6名同学的考核成绩为优秀，故P(A)=(.

【小问2详解】

解:由|X-85|410可得75WXW95,

所以，考核成绩满足Xe[70,79]的学生中满足|X-85|VK)的人数为5,

故随机变量丫的可能取值有0、1、2、3,

叩=。吟C3=〜1呼叫=C罟2C]备IS叩=3罟c,C2〉15

pg幸亮

jZo

所以，随机变量y的分布列如下表所示：

Y0123

115155

p

56562828

15

因此，E（y）=0x—+lx—+2x—+3x—

'）56562828T

【小问3详解】

X—85

解：由一41可得75WXW95,由茎叶图可知，满足75WX495的成绩有16个，

所以上⑹W1]=320.5,因此，可认为此次冰雪培训活动有效.

I10）30

18.已知数列｛%｝为等差数到，抄,｝是各项为正的等比数列，｛d｝的前〃项和为S,,

，且2q=4=2,4+4=10•在①XS"=2一1（丸eR），②%=S3-2s2+5,,

③d=2%（2eR）.

这三个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并解答下面的问题.

（1）求数列｛4｝和也｝的通项公式；

（2）求数列｛%+"｝的前〃项和乙.

【答案】（1）4=n,bn=T

【解析】

【分析】（1）选条件①，由基本量法求得d,由等差数列通项公式得，由E=2求得人,

利用“=s”-s,i（〃>2）得也）的递推关系，从而得等比数列的公比，得通项公式；

选条件②.由基本量法求得公差d,得明,根据s“与力的关系，把已知等式变形，然后由

基本量法求得公比夕，得通项公式；

选条件③.由基本量法求得“，由等差数列通项公式得狐，由々吗求得九，从而可得；

（2）用分组求和法计算7；.

【小问1详解】

方案一：选条件①.

设等差数列｛4｝的公差为d,

2〃[=2

,所以q=1+(〃-1)x1=〃.

%+4=2q+8d=10

因为4=2,=d一1,所以当〃=1时,

由九5=独=优一1,得22=2—1,即人;，所以5“=2色,一1).

当〃之2时，2=S“—Si=2(2—1)—231一1),整理得勿=2目1，

所以数列｛"｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以“=2X2"T=2".

方案二：选条件②.

,、[2a,=2fa=1

设等差数列｛凡｝的公差为d,由'.。，，八，解得】，，

i"&+“8=2%+84=10[d=l

所以4=1+(〃-1)*1=〃，所以%=4.

设等比数列也｝的公比为"(4>0),因为%=53-25,+5,,

所以q=(53—52)—(52—5])=〃3—4=4/一49，

又为=4,4=2,所以/一夕一2=0,解得g=2或4=-1(舍去)，

所以"=2x2"T=2".

方案三：选条件③.

z、2a〔=24=1

设等差数列｛4｝公差为d,由c。，S，解得4,，

1n>

[a2+«8=2al+8J=10[d=l

所以a”=l+(〃-l)xl=〃.

因为b“=2",a,=l,4=2,

所以当〃=1时，乙=2胸，即2=2"解得2=1，

所以d=2""=2".

【小问2详解】

由(1)知4,=〃，。"=2”,则。“+d=〃+2”,

所以<=1+21+2+22+...+“+2"=(1+2+.-+“)+(21+22+...+2")

=〃（〃+1）+2X02"）=2“+i+-+〃-4

—21-22

19.已知抛物线。：丁=2〃;\:（〃>0）的焦点为尸，48是该抛物线上不重合的两个动点，

3

。为坐标原点，当4点的横坐标为4时，cosZOE4=-j.

（1）求抛物线C的方程；

（2）以Z8为直径的圆经过点尸（1,2）,点48都不与点。重合，求|AF|+忸用的最小值.

【答案】（1）y2=4x;

（2）11.

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，利用焦半径与余弦值求出P的值，进而求出抛物线方程；（2）

设出直线方程，与抛物线方程联立，根据得到等量关系，求出〃=2〃?+5,从而

（1\2

表达出+忸3=%+%2+2=4m+—+11,求出最小值.

\2）

【小问1详解】

设A（4,%）,因为cosNOE4=—：<0,所以4>g,AF=4+-|,过点4作轴

4-£

pDF03-

于点。，则。尸=4—匕，cosZDE4=——=一三，解得：p=2,所以抛物线方

2AF4+£5

2

程为y2=4x.

设直线45为尤=阳+〃，A（xi,y^,B（x2,y2）,由方程》=阳+〃与丁=4x联