勾股定理的应用（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第第页专题1.12勾股定理的应用（直通中考）一、单选题1．（2013·贵州安顺·中考真题）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）．A．8米 B．10米 C．12米 D．14米2．（2020·四川巴中·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺3．（2020·辽宁盘锦·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（

）A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）24．（2010·云南曲靖·中考真题）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm5．（2017·浙江绍兴·中考真题）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（

）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米6．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（

）

A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时7．（2023·广西南宁·统考二模）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（

）

A． B．C． D．8．（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺9．（2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（

）

A．m B．m C．6m D．m10．（2023·浙江宁波·统考一模）如图，在中，，分别以，，为边在的同一侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，．若已知图中阴影部分的面积的和，则一定能求出（

）A．正方形的面积 B．正方形的面积C．的面积 D．四边形的面积二、填空题11．（2018·湖南湘潭·统考中考真题）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译成数学问题是：如图所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为________（方程不用化简）．12．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）

13．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．14．（2012·山东青岛·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______cm．15．（2018·黑龙江伊春·中考真题）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．16．（2023·陕西西安·校考二模）我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为__________尺．17．（2023·江西九江·校考模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为_______尺．18．（2023·浙江衢州·三模）某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长______米．三、解答题19．（2023·广东广州·模拟预测）数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端8米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗?20．（2017·广东东莞·统考一模）如图，把长方形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处.（1）试说明；（2）设，，，试猜想，，之间的关系，并说明理由.21．（2021·广东·统考二模）一块木板如图所示,已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面积是多少？22．（2020·湖北黄冈·统考一模）中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护伞”．如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近，为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距40海里的船队首（点）尾（点）前去拦截，8分钟后同时到达点将可疑快艇驱离．已知甲直升机每小时飞行180海里，航向为北偏东，乙直升机的航向为北偏西，求乙直升机的飞行速度（单位：海里/小时）．23．（2020·浙江·模拟预测）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．24．（2012·山东泰安·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．参考答案1．B【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．解：如图，设大树高为米，小树高为米，过点作于，则是矩形，连接，米，米，米，在中，米，故选：B．【点拨】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．2．B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：，解得：．所以，原处还有4.55尺高的竹子．故选：B．【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．3．A【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，根据勾股定理可得方程．解：设芦苇长为x尺，则水深（x-1）尺，由题意得：（x-1）2+52=x2，故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．4．B解：∵直角边AC＝6cm、BC＝8cm∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=55．C【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.解：在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选：C．【点拨】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.6．C【分析】利用角度关系得到直角，再利用勾股定理求出，再使用路程公式求出时间即可．解：，连接，

中，巡航船前去救助，沿直线方向用时最少，故选C．【点拨】本题考查解直角三角形，利用题中的数据找到直角三角形，并采用勾股定理求出路程是解题的关键．7．C【分析】利用勾股定理可以得出梯子的初始高度，梯子的底端水平向外滑动后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．解：则题意得，，∴，梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端向下滑动x米，则，，由勾股定理得，

故选：C．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．8．B【分析】设水深为h尺，则芦苇高为尺，根据勾股定理列方程，求出h即可．解：解:设水深为h尺，则芦苇高为尺，由题意知芦苇距离水池一边的距离为尺，根据勾股定理得：，解得，即水深为12尺，故选：B．【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．9．A【分析】设绳索的长是m，则m，得到（m），由勾股定理得，求出的值，即可得到的长．解：设绳索的长是m，则m∵m，m,∴（m）∵∴∴∴m故选：A．【点拨】本题考查勾股定理的应用，关键是由勾股定理列出关于的方程．10．C【分析】过D作于点N，连接，容易证得，，则有，；根据，，，可证得四边形是矩形，即D、I、H三点共线，根据AAS可证，则有，，可得，则，据此求解．解：如图所示，过D作于点N，连接，，，同理可证，，，，则有，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，，∴D、I、H三点共线，又，，，，,，，，，即所以知道阴影部分的面积的和，则一定能求出的面积．故选：C【点拨】本题考查勾股定理和三角形全等的证明，将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．11．【分析】设AC=x，则AB=10-x，再由即可列出方程．解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程为：，故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．12．10【分析】如图（见分析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，，∵底面周长为，，，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10．【点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．13．．【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．解：如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案为：．【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．14．15【分析】过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出，，根据勾股定理求出即可．解：沿过的圆柱的高剪开，得出矩形，过作于，作关于的对称点，连接交于，连接，则就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，，，，，，在△中，由勾股定理得：，故答案为：15．【点拨】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，解题的关键是找出最短路线．15．3.6或4.32或4.8【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，∴AB==5，S△ABC=AB•BC=6．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰△ABP=•S△ABC=×6=3.6；②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作△ABC的高BD，则BD=，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6，∴S等腰△ABP=•S△ABC=×6=4.32；③当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=•S△ABC=×6=4.8；综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8，故答案为3.6或4.32或4.8．【点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．16．【分析】设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．解：如图所示，设木柱长为尺，根据题意得：

∵则解得故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．17．【分析】设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可．解：设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，由勾股定理得，，即，解得，答：绳索长为尺．故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．18．1000【分析】延长700米和400米的两边，交于点C，分析得出，再分别求出和，利用勾股定理计算即可．解：如图，延长700米和400米的两边，交于点C，由题意可得：，由图中数据可得：，，∴米，故答案为：1000．【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形．19．旗杆的高度为【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中的数据，用勾股定理解答即可．解：设旗杆高米，则绳子长为米，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，在中，，∴，解方程得：，答：旗杆高度为15米．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出△ABC是直角三角形式解答此题的关键．20．（1）证明见分析；（2），，之间的关系是．理由见分析．【分析】（1）根据折叠的性质、平行的性质及等角对等边即可说明；（2）根据折叠的性质将AE、AB、BF都转化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之间的关系．解：（1）由折叠的性质，得，，在长方形纸片中，，∴，∴，∴，∴．（2），，之间的关系是．理由如下：由（1）知，由折叠的性质，得，，．在中，，所以，所以．【点拨】本题主要考查了勾股定理，灵活利用折叠的性质进行线段间的转化是解题的关键．21．24【分析】连接AC，利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜边，通过三角形ACD的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．解：连接AC，∵在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，∴AC=5，∵在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，∴DC2+AC2=AD2，△ACD为直角三角形，AD为斜边，∴木板的面积为：S△ACD-S△ABC=×5×12-×3×4=24．【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键．22．乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．【分析】根据已知条件得到∠ABO=25°+65°=90°,根据勾股定理即可得到结论．解：∵甲直升机航向为北偏东25°,乙直升机的航向为北偏西65°,∴∠ABO=25°+65°=90°,∵OA=40,OB=180×=24(海里),∴AB===32(海里),∵32÷=240(海里/小时),答:乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．【点拨】本题考查勾股定理解直角三角形，方向角问题,正确的理解题意是解题的关键．23．（1）△ABC是直角三角形，理由见分析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见分析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．解：（1）△ABC是直角三角形；理由