高中数学6.3-平面向量的基本定理及坐标表示解析版

6.3平面向量的基本定理及坐标表示主要命题方向主要命题方向1.对基底概念的理解；2.用基底表示平面向量；3.求两向量的夹角；4.利用正交分解求向量的坐标；5.向量的坐标运算；6.向量共线条件的坐标表示；7.三点共线问题；8.用向量法解几何问题；9.数量积的坐标表示；10.利用向量的坐标解决有关模、夹角问题；11.利用坐标解决向量的夹角问题；12.利用平行、垂直求参数；13.利用向量的数量积判断几何图形的形状；14.用向量法解几何问题.配套提升训练配套提升训练一、单选题1．（2020·湖北黄冈·期末）已知向量，，若，则（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】故选：B2．（2020·山东省泰安第二中学月考）己知向量，.若，则m的值为()A． B．4 C．- D．-4【答案】B【解析】依题意，由于，所以，解得.故选B.3．（2020·威海市教育教学研究中心期末）已知向量，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵向量，，且，∴，解得：，故选：D.4．（2020·荣成市教育教学研究培训中心期中）已知向量，，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意得：，所以，解得.故选：B.5．（2020·临猗县临晋中学高一月考）已知在中，，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在中，，所以，整理得：，即，又，所以，，因此.故选：C.6．（2020·山西运城·月考）如图，在中，，，若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可得，所以，，则，故选：．7.（2020·福建其他（文））已知正方形的边长为1，点满足，设与交于点，则（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】以为原点，和分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，为线段的靠近点的三等分点，，直线的方程为：；直线的方程为：，联立，解得，点．．故选：A．8．（2020·广东中山·期末）已知菱形的边长为4，，是的中点，则（）A．24 B． C． D．【答案】D【解析】由已知得,,,所以,.因为在菱形中,,所以.又因为菱形的边长为4,所以,所以.故选：D9．（2020·湖北武汉·其他（理））如图，在△中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，即且∴，又C、P、D共线，有，即即，而∴∴=故选：C10．（2020·株洲市九方中学月考）在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则()A．是定值，定值为4 B．是定值，定值为3C．是定值，定值为4 D．是定值，定值为3【答案】C【解析】因为，所以，即，依题意设，则，则，又，，所以，根据平面向量基本定理可得，消去可得，即.故选：C二、多选题11．（2020·海南高三其他）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】由条件可，所以，A正确；，与不垂直，B错误；，C错误；，根据正方形的性质有，所以，D正确.故选:AD12.（2020·湖北黄冈·期末）在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，,A是正确的；因为EF是中位线，所以B是正确的；根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以，所以C是正确的，D错误.故选：AC13．（2020·全国高三其他）已知，如下四个结论正确的是（）A．； B．四边形为平行四边形；C．与夹角的余弦值为； D．【答案】BD【解析】由，所以，，，,对于A，，故A错误；对于B，由，，则，即与平行且相等，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：BD14．（2020·山东诸城·高一期中）已知，，则以下结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．的最小值为【答案】BD【解析】，则.对于A选项，若，则，所以，或，A选项错误；对于B选项，若，则，，，则，，B选项正确；对于C选项，若，且，则，或，C选项错误；对于D选项，由向量模的三角不等式可得，D选项正确.故选：BD.三、填空题15．（2019·辽宁辽阳·月考（理））在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【答案】【解析】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得，，故答案为.16．（2020·山西三模（理））如图，在△中，，点是线段上的一个动点.，则，满足的等式是___________.【答案】【解析】∵，有又，即∵B、P、D三点共线∴，即故答案为：17．（2020·山西其他（理））已知向量，，且，则______.【答案】【解析】∵，，∴，∵∴，解得故答案为：四、双空题18．（2020·浙江衢州·高二期末）已知向量，若，则m＝________；若，则m＝________【答案】4【解析】因为，所以.因为，所以.故答案为：19．（2020·浙江金华·高一期末）在中，，点D是的中点，点O是的中点，若，则___________；若，则_____________.【答案】【解析】因为，，，所以，即得；因为，所以，即，解得．故答案为：；．20．（2020·河南濮阳·高一期末（文））已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______．【答案】1【解析】由题意可得，所以；则点在以为圆心，1为半径的圆上，如图：由图可知，当与夹角最小值为0，当直线与圆相切时，与夹角取最大值，连接，易得为锐角且，所以，所以此时与夹角的取值范围是.故答案为：；.21．（2020·北京平谷·高三二模）如图，矩形中，，，为的中点.当点在边上时，的值为________；当点沿着，与边运动时，的最小值为_________.【答案】【解析】以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b），（1）＝；（2）当点P在BC上时，＝2；当点P在AD上时，设P（0，b），＝（2，0）（－1，b）＝－2；当点P在CD上时，设点P（，1）（0＜＜2）＝（2,0）（－1，1）＝2－2，因为0＜＜2，所以，－2＜2－2＜2，即综上可知，的最小值为－2.故答案为-2.五、解答题22.（2020·孝义市第二中学校期末）已知向量，（1）若，求的坐标；（2）若与垂直，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）.（2）与垂直，，即，∴.23．（2020·湖南益阳·期中）已知（1）求与的夹角的大小;（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）设与的夹角为，因为，所以，.（2）因为，即，解得.24．（2020·四川广元·期末）已知向量是同一平面的三个向量，其中．（1）若，且与的方向相反，求的坐标；（2）若是单位向量，且，求与的夹角．【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，（2），25.（2020·山西运城·月考）已知，，.（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），，且，，，因此，；（2），，，，则，，所以，，，因此，.26．（2020·辽宁大连·高一期末）如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，，（1）用向量和表示向量，；（2）若，，求实数x和y的值.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）（2）因为.即因