专题09 易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略（解析版）2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略苏科版

第第页专题09易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 4【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 9【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 14【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：（四川省内江市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，则它的周长为．【答案】【分析】分两种情况讨论：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，利用三角形的三边关系分别求解，即可得到答案．【详解】解：①当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，不能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为，底边长为时，，能构成三角形，的周长为；综上所述，的周长为故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．【变式训练】1．（2022秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）若等腰三角形的两边长满足，则它的周长是．【答案】19【分析】通过等式可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可．【详解】解：∵∴∴，∵是等腰三角形，∴三边长为3，3，8，或8，8，3，∵，围不成三角形，不合题意，应舍去，∴其周长为：，故答案为：19．【点睛】本题主要考查等腰三角形两边相等的性质及三角形的构造条件，绝对值和完全平方非负性的应用，得出a，b的值是解题关键．2．（北京市延庆区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）等腰三角形有两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为_____．【答案】17【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．【详解】解：根据题意，当腰长为时，7、7、3能组成三角形，周长为：；当腰长为时，，7、3、3不能构成三角形，故答案为：17．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．3．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为__________．【答案】3或4##4或3【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：当时，当时，再结合三角形三边关系检验即可．【详解】解：∵为等腰三角形，∴当时，解得，∴三边长为6，6，7∵，∴符合三角形三边的条件，当时，解得，∴三边长为7，7，6∵，∴符合三角形三边的条件，∴的值为4和3．故答案为：4和3．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．4．（2022春·湖北武汉·八年级统考期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为______．【答案】12或7【分析】可设一边为，则另一边为，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．【详解】解：设一边为，则另一边为，①当长为的边为腰时，此时三角形的三边长分别为、、，由题意可列方程：，解得，此时三角形的三边长分别为：、和，满足三角形三边之间的关系，符合题意；②当长为的边为底时，此时三角形的三边长分别为：、、，由题意可列方程：，解得：，此时三角形的三边长分别为：、、，满足三角形的三边之间的关系，符合题意；∴这个三角形的底边长为或．故答案为：12或7．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：（2023春·陕西宝鸡·七年级统考期末）等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是．【答案】或【分析】分的角是是底角和顶角的情况分析，根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：当的角是底角时，则底角为，当的角是顶角时，则底角为，故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末）定义：在一个等腰三角形中，如果一个内角等于另一个内角的两倍，则称该三角形为“倍角等腰三角形”.“倍角等腰三角形”的顶角度数是（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】设等腰三角形的顶角为，则底角为，分两种情况：当顶角为底角的2倍时，当底角为顶角的2倍时，分别列出方程求出x的值即可．【详解】解：设等腰三角形的顶角为，则底角为，当顶角为底角的2倍时，，解得：；当底角为顶角的2倍时，，解得：；综上分析可知，“倍角等腰三角形”的顶角度数是或，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是注意进行分类讨论．2．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为，那么其余的两个角的度数是______．【答案】，或，【分析】根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．【详解】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；②当时底角时，则有：顶角；故答案为：，或，．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．3．（2022春·黑龙江黑河·八年级校考期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．【答案】或或【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是，①是顶角，是底角时，，解得，所以，顶角是；②是底角，是顶角时，，解得，所以，顶角是；③与都是底角时，，解得，所以，顶角是；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．4．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为______．【答案】或或【分析】求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】∵平分，∴，分三种情况：①当时，如图，∵，∴，∴；②当时，如图，∵，∴；③当时，如图，∵，∴，∴，综上，的度数为：或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．5．（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）在中，，，点D在边上（不与B、C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为___________．【答案】或【分析】在中，根据，，得到，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案．【详解】解：如图所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①当时，，，②当时，，，，综上所述或．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出的腰．6．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．【答案】或或【分析】作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，②∵，，∴，如图2，点P在上时，若，顶角为，如图3，若，则顶角为，综上所述，顶角为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．7．（2023春·江西吉安·八年级统考期中）已知：如图，线段的端点A在直线l上，与l的夹角为，点C在直线l上，若是等腰三角形．则这个等腰三角形顶角的度数是．

【答案】或或．【分析】分情况讨论：如图，当时，C在A的右边，如图，当时，C在A的左边，当时，再分别画出图形求解即可．【详解】解：如图，当时，C在A的右边，则顶角，

，如图，当时，C在A的左边，则顶角，

如图，当时，则，

∴顶角；如图，当时，则，

此时顶角，故答案为：或或．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记等腰三角形的顶角的含义与等腰三角形的性质是解本题的关键．【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·江西萍乡·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知，，点C在x轴上，且在点B的左侧，若是等腰三角形，则点C的坐标是．【答案】或或．【分析】分类讨论：①当时，②当时和③当时，画出图形，结合等腰三角形的定义和性质，勾股定理求解即可．【详解】解：分类讨论：①当时，如图，此时为，∵，∴，∴；②当时，如图，此时为，∵，，∴，∴，∴；③当时，如图，此时为，设，则，∴．在中，，∴，解得：，∴．综上可知，点C的坐标是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义和性质，勾股定理．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1．（2023春·江西九江·八年级统考期末）已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是．【答案】或或【分析】分，，三种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵，，∴，沿射线方向平移m个单位得到，∴，，点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况①当时：如图，此时；

②当时：如图，

则：，在中，，即：，解得：；③当时，如图：

此时，∵，∴，∴；综上：，或；故答案为：或或．【点睛】本题考查平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．根据题意，准确的画图，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．2．（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在x轴上，且不与原点重合，若为等腰三角形，则点C的坐标为．【答案】或或【分析】先求得点、点B的坐标再分，三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：令，得，令，得，∴，∴，∴．当时，点与原点重合，不符合题意，舍去；当时，，；当时，点，．综上：点C在x轴上，且为等腰三角形时，点的坐标为：，，．故答案为：，，．【点睛】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．3．（2023·江西新余·统考一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是．【答案】或或【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值．【详解】解：，，，，，分三种情况讨论：如图所示，当点与点重合时，，

，，，，即是等腰三角形，此时，；如图所示，当时，是等腰三角形，

，由折叠可得，，，又，是等腰直角三角形，设，则，中，，解得，舍去，；如图所示，当点与点重合时，，

，，即是等腰三角形，此时，综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或．故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用．【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为和两部分,则此三角形的底边长为(

)A． B． C．或 D．无法确定【答案】C【分析】根据题意作出图形，设，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可求解．【详解】解：如图所示，根据等腰三角形的定义和三角形中线的性质得：．可设，∴．由题意得：或，解得：或．当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立；当时，即此时等腰三角形的三边为，，，，符合三角形的三边关系，此情况成立．综上可知这个等腰三角形的底边长是或．故选：C．【点睛】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的定义，三角形中线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键．【变式训练】1．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图1，三角形是锐角三角时，

∵，∴顶角；如图2，三角形是钝角时，

∵，∴顶角，综上所述，顶角等于或．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．2．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数为．【答案】或【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是．

故答案为或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，注灵活运用相关性质是解答本题的关键．3．（2023秋·山西临汾·八年级统考期末）在中，，是边上的高，，则．【答案】或/或【分析】根据三角形的内角和定理，求出的度数然后再求出的度数；【详解】如图，当在内时

如图当在外时

故答案为或【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理及推论此题难度不大，属于中等题；4．（2022春·广东广州·八年级校考阶段练习）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______．【答案】或【分析】分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长．【详解】解：由题意得：；当时，即，，，；当时，即，，，；综上，底边的长为或；故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．【答案】100°，70°，40°或者10°【分析】分BD=CD、BC=CD、BD=BC三种情况讨论即可求解．【详解】第一种请况：BD=CD时，如图，∵BD=CD，∠B=20°，∴∠B=∠DCB=20°，∴∠ADC=∠B+∠DCB=40°，（1）当DA=DC时，∠A=∠ACD，∵∠A+∠ACD+∠A