3.7算符的对易关系-两力学量同时有确定值的条件-不确定关系_第1页
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§3.6算符的对易两力学量同时有确定值的条件不确定关系算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：对易式(4-5)反对易式(4-7)若，则称Â与不对易。若，则称Â与对易。若算符满足，则称和反对易。1)(4-6a)2)(4-6b)3)，，(4-6c)4)(4-6d)5)——称为Jacobi（雅克比恒等式）。(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x,和不对易证明：(1)(2)显然二者结果不相等，所以：（3.7.1）因为是体系的任意波函数，所以对易关系（3.7.2）同理可证其它坐标算符与共轭动量满足，（3.7.3）但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。，，（3.7.4），，，，写成通式(概括起来)：(1)其中或2.角动量算符的个分量之间的对易关系，，，，，，（4-34）概括为（4-35）所以（3.7.7）是角动量算符的定义式。证明：（3.7.5）；（3.7.6）（3.7.7），（3.7.8）二．两力学量同时有确定值的条件1.定理：如果两个算符和有一组共同的本征函数，而且组成完全系，则算符和对易。证明：因为=；=，依次是和本征值。所以（-）=-=0.设是任意波函数，把按展开为级数，，于是（-）.因为是任意波函数，所以2.逆定理：如果两个算符和对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。注意：两个算符和对易，只是两力学量同时有确定值的必要条件。3.力学量的完全集合：要完全确定体系的状态，需要有一组相互对易的力学量，这组确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集合。三．不确定关系1927年3月，海森伯发表了《论量子论的运动学和动力学的直觉内容》的论文，公布了他所建立的不确定度关系，下面将导出在任意态下，测量任意两个力学量A,B，它们的涨落之间的关系，即不确定度关系。若和不对易，设和对易关系为（3.7.9）;（3.7.10）设在任意态下，对于两个力学量和，考虑一下积分：（3.7.11）为实参数，和是厄米算符，所以：因为所以得（3.7.12）表示任意两个力学量和，在任意态下的涨落必须满足的关系，称为不确定度关系。例如：（1），所以（3.7.13）（2）设为任意波函数，则（3）角动量的分量的不确定关系，所以在态中，四．不确定关系应用例1．用不确定关系估算宽度为a的一维无限深势阱运动的粒子的动能的不确定范围。解：粒子的坐标的不确定范围是根据不确定关系，因而有，粒子动能的不确定范围是。例2．用不确定关系估算一维线性谐振子的基态能量。解：振子的平均能量是（3.7.14）坐标的平均值是动量的平均值是由均方差公式（3

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