第二讲-不等式恒成立与存在性问题

第二讲不等式的恒成立与存在性问题[本讲综述]不等式恒成立与存在性问题是历年来高考的热点，特别是以导数为背景的题型更是在高考中频频出现，这类问题涉及的知识面广、综合性强、能力要求高.解决这类问题的关键是等价转化为求函数的最值问题，通过转化使恒成立与存在性问题得到简化.第一节单变量不等式的恒成立与存在性问题[知识导航]一、单变量型不等式的恒成立问题1.在不等式恒成立条件下求参数范围的核心方法在不等式恒成立条件下求参数的取值范围，一般原理是利用转化思想将其转化为函数的最值问题或值域问题加以求解.在转化途径上，可采用“分离参数法”或“不分离参数法”直接移项构造辅助函数的形式.由函数最值的求法及极值的定义可知，函数在区间上的最大（最小）值点若不是区间端点就是极大（极小）值点.对于是否分离自变量与参变量，取决于最值点在区间端点还是在极大（极小）值点.直接移项法若区间端点代入到不等式中，不等式的左右两边相等，一般不分离，即转化为直接求函数的最值（例如当时，恒成立，求a的取值范围.将代入到函数中，得到，不等式左右两边相等，因此不分离自变量与参变量，直接转化为）.分离参数法若区间端点代入到不等式中，不等式的左右两边不相等（或区间端点代入到不等式中导致函数无意义），则需要分离自变量与参变量，因此此种情形下，转化后的函数最值在极大（极小）值点处取得，而不是区间端点.分离自变量与参变量的作用在于有效避免对参数的讨论.恒成立问题与函数最值的相互转化若函数在区间D上存在最小值和最大值，则若函数在区间D上不存在最大（最小）值，且值域为，则单变量不等式的有解问题通常一般讲不等式合理变形使其参数分离，进而将问题转化为求函数的最值问题，具体的转化是这样的.若函数在区间D上存在最小值和最大值，则（2）不若函数在区间D上不存在最大（最小）值，且值域为，则[典例精讲]类型一：单变量型不等式的恒成立问题不分离自变量与参数解恒成立问题引理（1）若函数在处可导，且时恒成立，则.（2）若函数在处可导，且时恒成立，则.初步感知若，则函数在处右侧附近的图象是减函数.又因为函数在处可导，所以.同理，可得其他结论也成立.以上引理有部分辅导书称之为“端点效应”.严格证明如下：若，则由函数在处可导及导数的定义，可得.同理，可证其他结论也成立.综观2006—2018年高考真题，在不等式恒成立问题上，考查的模型均涉及端点值代入不等式取等号，利用区间端点的导数值的符号来确定参数的范围，这作为必要条件，在此基础上证明充分性.当然，也可以从前提出发，如任取，恒成立，求的取值范围.可以大胆假设目标成立的前提是单调递增，即，得到参数的范围，在证明反面不成立，这样求得参数的取值范围.当然，我们也可以使用“分离参数法”求范围，利用洛必达法则解决函数无意义点的取值问题，这在后面我们会讲解到，帮助学生避免恒成立问题的讨论难题，降低思维难度.例2.1设函数.若对所有的，都有成立，求实数的取值范围.解析：（解法一）设由，且时，总有，所以由引理得，即，解得（这是恒成立的必要条件）.若，（再验证充分性）.故函数在上单调递增，则.即恒成立.所以的取值范围是.（解法二）设，则当时，.因为，于是要使不等式成立，前提是在上单调递增即可，即.又在上单调递增，故当，即时，恒成立.下面证明这个条件是必要的.当时，，在上单调递增，且当时，.故有唯一零点，设为.则当时，，即在上单调递增，所以当时，，这与是矛盾的.（解法三）令，则，.当时，，函数在上单调递增，故，因此对所有的恒成立.当时，令，得，即.当时，，函数在区间上单调递增，则.此时与题设中恒成立矛盾，故舍去.综上所述，的取值范围是.评注：解法一是从恒成立的必要条件入手突破，求出的取值范围，再证明充分性，即在参数的范围下，不等式恒成立；解法二是从目标前提入手（即从充分性入手），求出的取值范围，再证此前提下目标反面不成立（即只要找出一个子区间，使所证不等式在此区间上不成立即可）.解法三分别利用了函数的单调性与举反例的方法确定了取值范围.变式1设函数.若对于所有的，都有成立，求实数的取值范围.变式2设函数.若对所有的，都有，求实数的取值范围.例2.2已知函数.讨论的单调性；设，当时，，求b的最大值.解析：（1）略.由，可得，于是.因为，所以的符号与的符号相同.由已知，当时，，又，则，得.且当时，，故恒成立，由于函数在上单调递增，故，因此的最大值为2.变式1已知函数，设实数使得对恒成立，求的最大值.分离参数法解恒成立问题例2.3已知函数，其中.若对一切，恒成立，求的取值范围.解析：以为对一切，恒成立，且，所以是函数的最小值点.由函数在区间上的最值点若不是区间端点就是极值点，得也是函数的极小值点，所以，解得.还可检验，当时，，.当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.则，所以恒成立.综上所述，的取值范围是.变式1已知函数.求的单调区间；若对任意的，都有，求的取值范围.例2.4设函数.求函数的单调区间；已知对任意成立，求实数的取值范围.解析：（1），函数在上单调递增，在和上单调递减.因为，，，所以在两边取自然对数，得，所以.依题意，.由函数的单调性可知，在上其最大值为，则，即，所以的取值范围为.评注：本题将不等式两边取自然对数，分离参变量与自变量，构造函数，利用函数的单调性求其最值.变式1设函数.判断函数的单调性；当在上恒成立，求的取值范围；求证：.类型二：单变量型的存在性问题例2.5设函数，曲线在点处的切线斜率为0.求的值；若存在，使得，求实数的取值范围.分析：（1）曲线在点处的切线斜率为0.，使得函数.解析：（1）.（解答过程略）（2）由（1）知，.若存在，使得成立，则.又.令，解得.当，即，有以下两种情况：（Ⅰ）当时，在上单调递减，且，符合题意.（Ⅱ）当时，在在上单调递增，.因此，解得.当，即时，有以下情况.（Ⅰ）当，即时，在上单调递减，在上单调递增.此时在上的最小值为：，与题设矛盾，故不符合题意.（Ⅱ）当，即时，在上单调递增，此时在上的最小值为.令，即，解得，所以的取值范围是.（Ⅲ）当，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，此时.又，故，，与题设矛盾，故不符合题意.，即时，可得在上单调递增，，所以符合题意.综上所述，实数的取值范围为.[巩固练习]已知函数，其中.若的最小值为1，求的取值范围.设函数，若当时，，求的取值范围.设函数，其中.讨论的单调性；确定的所有可能取值，使得在区间上恒成立.已知函数，若当时，，求的取值范围.已知，函数，.若函数在上是增函数，求实数的取值范围；设，若存在，使得，求实数的取值范围.，若，求的取值范围.第二节有关多元函数的问题[本讲综述]不等式有关多元函数的问题，在高考以及数学竞赛中都层出不穷，特别是有关双变量的问题，以导数为载体在高考中一直都是一个难点，希望同学们通过本文的讲解，对双变量的问题学会思考.[知识导航]一、极值点偏移1.极值点偏移背景已知函数是连续函数，f(x)在区间(,)只有一个极值点，且，很多极值函数由于极值点左右的“增减速度”不同，函数图象不具对称性，常常有极值点（或）的情况，称这种状态为“极值点偏移”.极值点偏移问题在每年高考或模拟考试中屡屡出现（题眼为：或者中点，且有），这类问题难度较大，常处于试题的压轴题位置，显得尤为重要.极值点偏移的本质要证明，实质是证明(或)，这是一个关于双变元的不等式.所以，极值点偏移问题实质是双变元不等式的问题,解决方法通常是通过构造函数（或者换元法，如令），使得双变量函数变成一元函数。极值点偏移解决方法方法一：构造对称函数求解解题步骤：<第1步>构造一元差函数（或者），注：关键点为：为在区间内的唯一极值点。需要先依据函数单调性确定区间内唯一极值点，并确定范围；<第2步>对差函数求导，判断导函数的符号，确定g(x)的单调性；<第3步>结合(或者)，判断的符号，从而确定与的大小关系；<第4步>由，得到；<第5步>结合的单调性得到，从而得到.由于构造对称函数求解此类问题不需要复杂的变形技巧，可操作性很强，故而成为最一般的方法.其解题本质是比较与大小关系不方便时，转而通过比较与它们的函数值与的大小关系，再结合函数的单调性得到与的大小关系.方法二：对数平均不等式若，且，则有证明：（方法一：比值代换/差值代换）由对称性，不妨设令，构造函数，则，所以在单调递增，，证毕.（2）令，构造函数，则，所以在上单调递减，，证毕.综上所述，当，且，有.（方法二：主元法）即证：.依据对称性，不妨设，要证：，即证：，构造函数，，又，所以.要证：，即证：，构造函数，，故，证毕.[典例精讲]引例已知函数，若，且，求证：.证法一：利用导数对进行研究.，令，则.当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.由函数解析式可得，；，，所以可知函数的图象如图2.1所示.图2.1由于，，不妨设，则易知.欲证，即证由于以及都属于这个递增区间，所以即证，即由此联想构造函数，则.由于，则，且，可知在上恒成立，所以在上单调递增.由此可得，所以时，，证毕.证法二：由证法一知，.由于，则，于是.设，则，有，解得，所以.可联想构造函数，，则令，则，，所以，，，所以，即在上单调递减，故.即，证毕.证法三：由证法二知，.欲证，即证，也即证.则可以构造函数，，于是.所以在上单调递增，故，即，所以.证法四：设，则，且，解得，构造函数，如图所示：（曲边梯形面积<梯形面积），即，则，由于，且，所以，即，证毕.评注：（1）对于双变量的问题，最重要的方法就是通过合理变形，如证法一中利用代数变形，把不同区间的变量变成同一个区间内的变量，把双变量问题转化为单变量的问题，进行求解.其中离不开构造函数，但是如何构造函数一定要顺理成章，让学生有章可循，有法可依.（2）三个解法对于为什么构造函数分析得明明白白，通过思考还可以有第四种方法，即积分法.应当说对于双变量的问题，有时候，利用积分法入手，也是一个很好的方法.这个方法将一些代数式赋予了几何意义，如本题中表示梯形ABCD的高等，希望同学们能够体会.变式1已知函数，正实数满足.证明：.变式2已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程有两个相异实根，，且，证明：.变式3已知函数，若，且，证明：.变式4函数与直线交于、两点.证明：.双变量型不等式问题对于双变量的问题，在高考中最常考的题型种类：有关双变量的各种成立问题；有关双变量的不等式证明问题；可以转化为双变量不等式证明的问题.双变量型不等式成立问题与函数最值的转化在高考中有关双变量的成立问题，主要有一下几种情况：，总存在，使，则说明；，总存在，使，则说明；，，都有，则说明；④，，都有，则说明；⑤，，使，则说明；⑥，，使，则说明；⑦，总存在，使，则说明在上的值域为，在上的值域为，满足，即是的子集.对于－⑥如何记忆，就要弄清楚有关单变量的问题，易知：，使，则说明；，使，则说明；，使，则说明；④，使，则说明.双变量问题向单变量问题转化的策略对于双变量的问题，属于两个函数的问题，当判断两边取什么值时，可以采取下面的方法.当判断左边取什么值时，应当把右边当做参数，把问题转化为单变量的问题进行解决；当判断右边取什么值时，应当把左边当做参数，同样把问题转化为单变量的问题进行解决.[典例精讲]例2.6已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设.当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.解析：（1）若，在上，单调递减，在上，单调递增；若，在，上，单调递减，在上，单调递增；若，在上单调递减.（2）由题意得.当时，在上单调递减，在上单调递增，，，.当时，，得矛盾，舍去；当时，，得矛盾，故舍去；当时，，得成立.综上所述，实数的取值范围是.例2.7已知函数，其中.求的单调区间；若对任意的，总存在，使得，求实数的值.解析：（1）当时，的单调递减区间为.当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（解答过程略）解法一：当且时，由（1）知，在上是减函数，所以.由于，矛盾，故舍去；当时，由（1）知，在区间上，是增函数，在区间上，是减函数，所以.由于，则，所以.因为，矛盾，故舍去；当时，由（1）知，在上，是增函数，所以，.由题意，令，则存在，使得.令，则存在，使得.所以，得.此时的值域为，对任意，则，必然存在，使得.综上所述，.评注：（1）通过解法一的分析求解，我们不难发现，本题的问法，相当于可以等价转化为函数.应当注意：本题当解到表达式时，已经解出.但是此处只说明了必要性，一定还要证明它的充分性，才可以得到满分，这一点十分关键！例2.7设函数，.讨论函数的单调性‘若函数有两个极值点，，记过点A，B的直线斜率为.问是否存在，使得？若存在求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）略.由（1）知，.，由（1）知，于是：，若存在，使得，则有，即：（）。易证在单调递增，则，故不存在，使得.例2.8已知函数.（1）讨论函数的单调性；设如果对任意，，求的取值范围.例2.9已知函数.求函数的最小值；当时，求证：.例2.10已知函数.求函数最大值；设，证明：.（主元法）[导数题目练习]1：已知函数.若直