2022年甘肃省张掖市高考文科数学第二次联考试卷及答案解析

2022年甘肃省张掖市高考文科数学第二次联考试卷

一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）

1.（5分）己知集合A={x|k>g2x>l},B={x\\x-1|<3},则AG8=（）

A.（-2,4）B.（1,2）C.（1,4）D.（2,4）

2.（5分）已知复数zi=2+i,z2=-1+2/,则zi・z2虚部为（）

A.-4B.4C.3D.3i

3.（5分）已知x为锐角，则“sinAV±”是"cos2x>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）已知等比数列{〃〃}中，“3=4,37=804,则。1=（）

A.1B.2C.±1D.+2

5.（5分）已知a=/g2,b=log、3,c=弓）飞，则（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b

6.（5分）函数”吟=^^的图象大致为（）

7.（5分）清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个

人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019

年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分

实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提

升.根据如图，下列说法不正确的是（）

第1页共24页

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

8.（5分）如图所示，在三棱锥。-ABC中，已知AC=BC=CQ=2,CQ_L平面ABC,Z

ACB=90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的周长为（）

俯视图

A.4+2V2B.2+V2+V6C.6D.4+V6

9.（5分）已知菱形ABCZ）的边长为2,应'=2扇，NABC=120。，则旗•访的值为（）

4A22

A.-B.VC.-D.-垓

3333

10.（5分）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农

公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率

C的公式C=Wlog2+其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均

s

功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中工叫做信噪比.根据此公式，在不

改变w的前提下，将信噪比从99提升至入，使得C大约增加了60%,则入的值大约为

第2页共24页

（）（参考数据：10022]58）

A.1559B.1579C.3160D.2512

%2y2

11.（5分）已知双曲线C：—-77=1（〃>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,F2,且以

日尸2为直径的圆与双曲线C的右支交于。，直线F\Q与C的左支交于P,若2F：P=PQf

则双曲线C的离心率为（）

V5V6厂r-

A.—B.—C.V3D.V5

22

12.（5分）已知定义在R上的函数（x）,对任意JT都满足/（x+2）=f（x）,且当-1

WxWl时/（x）=2?,则函数g（x）=f（x）-/川M的零点个数为（）

A.12B.14C.15D.16

二、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分,）

13.（5分）函数y=sin（2x+（p）（0<（pVm）图象的一条对称轴是％=各则<p的值是.

‘2>1,%<0

14.（5分）已知函数/（x）=Hog]%x>0f则不等式/（X）>1的解集为.

15.（5分）已知数列｛“”｝满足a“=10取（陪）.给出定义：使数列｛劭｝的前％项和为正整数

的％（k€N+）叫做“好数”，则在[1,2022]内的所有“好数”的和为.

16.（5分）在棱长为2的正方体ABCO-AiBiCiOi中，点P是棱BC的中点，点。是底面

41B1CO1上的动点，且APLD1。，则下列说法正确的是.

71

①OP与D\Q所成角的大小为一；

4

②四面体ABPQ的体积为定值；

③△AA1Q的面积有最小值笑3

④平面D\PQ截正方体所得截面面积为定值.

三、解答题（17--21每题12分，22或23题10分共计70分）

17.（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=2.

、jsinAa-b八一

（1）若丁丁——=1-----，求角B；

sinB+sinCa-c

（2）若c=2b,当角8最大时，求△ABC的面积.

第3页共24页

18.（12分）某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60

岁以上老人进行了随机走访调查.得到的数据如表:

男性女性总计

参与该项老年运动16PX

不参与该项老年运动44qy

总计6040100

从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是

（1）求2X2列联表中p,q,x,y的值；

（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？

（3）若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中

按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调

查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？

参考公式及数据：R=（底端黑滤…，其中〃

P（K》0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko）

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

第4页共24页

19.(12分)如图，四棱锥P-48C。的底面是正方形，底面A8CD,E为PB的中点.

(1)求证：PC〃平面AEC；

(2)若4B=2,PD=y/2AB,求三棱锥E-%。的体积.

第5页共24页

Xv

20.(12分)已知椭圆E：—+—=1(a>b>0)上任意一点到其左、右焦点彷、放的

a1bz

2V3

距离之和均为4,且椭圆的中心。到直线bx+ay-ab=0的距离为、一.

(1)求椭圆E的方程；

(2)已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点8、C落在椭圆E上，求

动直角aABC面积的最大值.

第6页共24页

21.(12分)已知函数/(x)="(x+a),其中e是自然对数的底数，«eR.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设g(x)=/(x-«)讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由.

第7页共24页

22.(10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的

极坐标方程为p=2,直线/的参数方程为《二藕不遮土(/为参数).

(1)求曲线C和直线/的直角坐标方程；

11

(2)设点P(—2,3V3),直线/与曲线C有不同的两个交点分别为A,B,求两+两

的值.

第8页共24页

23.已知函数/CO=|x-2|+|x+l|.

(1)解关于x的不等式/(x)24-x；

(2)a,bE{y\y=f(x)},试比较2(a+b)与9?+4的大小.

第9页共24页

2022年甘肃省张掖市高考文科数学第二次联考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本题共计12小题，每题5分，共计60分)

1.(5分)已知集合A={x|logzx>l},B={x\\x-1|<3},则AG8=()

A.(-2,4)B.(1,2)C.(1,4)D.(2,4)

,

解：：A={x\x>2}fB={x\-3<x-1<3}=UI-2<x<4},

：.AC\B=(2,4).

故选：D.

2.(5分)已知复数zi=2+i,Z2=-1+2/,则zi”2虚部为()

A.-4B.4C.3D,3z

解：因为复数zi=2+i,Z2=-1+2Z,

所以zi*z2=(2+i)(-l+2z)=-2+4z-Z+2z2=-2+3i-2=-4+3i,

由复数的定义可知，Z1・Z2虚部为3.

故选：C.

3.(5分)已知x为锐角，贝ij'飞加<2"是"cos2x>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：因为x为锐角，且sinxV：,

所以

OVxo

因为cos2x>0,所以0<xVj,

所以X为锐角，“sinxV”'能推出"cos2x>0”，

“cos2x>0”不能推出“sinxV；"，

所以x为锐角，则“sinxV：”是“cos2x>0”的充分不必要条件.

故选：A.

4.(5分)已知等比数列{〃〃}中，43=4,4207=844,则〃1=()

A.1B.2C.±1D.±2

解:等比数列{〃"}中,。3=4,42。7=8。4,

第10页共24页

则『鸣=：3,解得才=2,m=2,

故选：B.

5.（5分）已知。=/g2,b=logi3fc=弓）飞，则（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.a>c>b

解：・・・0=/glVa=/g2V/gl0=l,

b=logi3<logil=0,

22

c=（》T>（|）。=1，

•\c>a>b.

故选：A.

z、-XCOS（-X）-XCOSX,/、

解：*r7）=2q="^r7G

则/（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C,D,

由/（无）=0得x=0或cosx=0,

即右侧第一个零点为时，当0<x，，/（x）>0,排除B,

故选：A.

7.（5分）清华大学通过专业化、精细化、信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个

人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业.2019

年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分

实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质量稳步提

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升.根据如图，下列说法不正确的是（)

毕业生签三方就业单位所在省（区、市）公布

A.博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B.毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C.到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D.到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的12.8%

解：对于A,由图中的数据可知，在北京就业的博士生就业率为52.1%>50%,故选项A

正确;

21.9%X2971+39.6%X2527+52.1%X1467

对于B,毕业生在北京的就业率为

2971+2527+1467

34.7%<50%,故选项B正确;

对于C,到四川省就业的硕士毕业生人数为3.2%X2527=81人，到四川省就业的博士毕

业生人数为3.7%X1467=54<8I,故选项C正确;

对于D,浙江省就业的毕业生人数占毕业总人数的比例为

3.O%X2971+5.6%X2527+4.2%X1467

----------------------------------------------------=4.2%,故选项。错误.

2971+2527+1467

故选：D.

8.（5分）如图所示，在三棱锥。-4BC中，已知AC=BC=C£>=2,CDJ_平面ABC,Z

4cB=90°.若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的周长为（）

第12页共24页

俯视图

A.4+2&B.2+V2+V6C.6D.4+V6

解：由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，且长度是2,

得到侧视图是一个直角三角形,

\'AC=^BC=CD=2,NACB=90°

侧视图的另一条直角边长是2x孝=a,

，侧视图如图：且斜边长为：J22+（V2）2—V6,

其侧视图的周长为：2+或+乃，

故选：B.

俯视图

9.（5分）已知菱形4BCD的边长为2,丘'=2旗1，乙4BC=120。，则上■•薪的值为（）

4422

A.—B.—«C.—D.-o

3333

解：如图，EC=2BE,：.BE=^BC,

2,/.ABC=120°,

第13页共24页

：.AE-BD=（^BC-BA）■（BA+BQ

1TT2TT

=^BC2-BA2-^BA-BC

442cc/1、

=3-4—@x2x2x（—2）

4

=-3'

故选:B.

10.（5分）我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农

公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率

C的公式C=W・log2（1+3）"，其中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均

功率（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中。叫做信噪比.根据此公式，在不

N

改变W的前提下，将信噪比从99提升至入，使得。大约增加了60%,则入的值大约为

（）（参考数据：1002造1.58）

A.1559B.1579C.3160D.2512

解：由题意可知，信噪比三从99提升至入，使得C大约增加了60%,

N

W.log^

21.6,

W-ZO52(1+99)

则log2(1+A)=1.6Xlog2100,

由换底公式可得'0(1+')=「6心10°,即k(1+入)=1.6/glOO=1.6X2=3.2,

ig2tg2

所以1+入=103-2=l()3x100-2«=l000X1.58=1580,

所以入的值大约为1579.

故选：B.

x2y2

11.（5分）已知双曲线C：--77=1（〃>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi,F1,且以

F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q,直线F\Q与C的左支交于P,若2F；P=PQ,

则双曲线C的离心率为（）

V5V6广r-

A.—B.—C.V3D.V5

22

解:如图，连接2尸2,QF2,

因为以F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于Q,故F1QL尸2Q.

设|尸为|=w，则|PQ|=2w,|QFi|=3，〃，|QF2|=3〃？-2a,\PF2\=m+2a,

第14页共24页

由△PQF2为直角三角形，

可得(m+2a)2=(2m)2+(3m-2a)2

4

得

解=-a

3

所以IQFi|=4〃，|QF2|=2〃,

由Fi。及为直角三角形，

可得16/+4〃2=4。2,

:.e='=M.

a

故选：D.

12.(5分)已知定义在R上的函数y=/(x),对任意x都满足了(x+2)=/(x),且当-1

时f(x)=2x2,则函数g(x)=f(x)-的零点个数为()

A.12B.14C.15D.16

解：由f(x+2)=/(x),得/(x)周期为2,又当-IWXWI时/(x)=2?,为偶函数，

易知/(x)在R上为偶函数，

此时g(x)=f(x)为偶函数，故只需考虑x>0的情况，

分别画出x>0时y=f(x)和y=/nx的图象，如下图所示，

f(x)最大值为2,令lnx=2,x=e2,7<e2<8,

由图象可知，一共有7个交点，所以一共有14个交点，

即函数g(x)的零点个数为14.

故选：B.

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13.(5分)函数y=sin(2x+<p)(0<(pVm)图象的一条对称轴是K=各则<p的值是§.

解：函数三丫=sin(2x+3)(0<(pV3)图象的一条对称轴是％=各

I,九兀

则：—+0=/or+-，

62

解得：甲=k冗+冬

由于：OV9V*,

故当女=0时，4=*

TC

故答案为："

(2%+1，%<01

14.(5分)已知函数/(x)=<iOg1X%>。，则不等式f(x)>1的解集为(-1,5).

(2X+1,%<0

解:函数/(x)=\iogiXf%〉。，则由不等式“九)>1可得

x>0

/②.

logix>l

2

解①求得-l<xW0,解求得0cxV1.

综上可得，不等式的解集为(-I,-),

2

1

故答案为：(-1,

2

第16页共24页

15.（5分）已知数列｛©｝满足厮=，。取（陪）•给出定义：使数列｛斯｝的前左项和为正整数

的％（k€N+）叫做“好数”，则在［1,2022］内的所有“好数”的和为2026

解：设数列｛词的前n项和为Sn,则Sa=log21+log21H------Flog2=log2(-X-x

♦+2、n+2

X------)—loa

n+122

令，。92等=上则〃=2妙1-2,

二〃满足条件的取值为:22-2,23-2,24-2,-210-2,

.,.在口,2022］内的所有“好数”的和=2?-2+23-2+2"2+…+2"）-2=生男尹-2X9

=2026.

故答案为：2026.

16.（5分）在棱长为2的正方体ABC。-AiBiCiOi中，点P是棱BC的中点，点Q是底面

4181cl£>1上的动点，且APJLO1Q,则下列说法正确的是②③④.

TI

①DP与。。所成角的大小为二；

②四面体ABPQ的体积为定值；

2V5

③△AA1Q的面积有最小值飞一;

④平面。口。截正方体所得截面面积为定值.

解:棱长为2的正方体ABCD-A\B\C\D\中，点尸是棱BC的中点，点Q是底面A\B\C\D\

上的动点，S.AP1D\Q,

如图所示：

则Ai(0,0,0),D(0,2,2),D\(0,2,0),A(0,0,2),B(2,0,2),C(2,

第17页共24页

2,2),点尸为BC的中点，所以P(2,1,2),

设Q(xo,yo,0),则AP=(2,1,0),5Q=(与，丫()-2,0),

T—>

由4P1D1Q,

即2xo+jo-2=0,

对于①：DP=(2,-1,0),

可得：cosV而，l\Q>=—”2-%故①错误；

病为2+优一2)2

对于②：四面体ABPQ的体积匕_BPQ=VQ-ABP=|x|x2xlx2=|为定值，故②正

确；

对于③：由于AAi_L4。，且Q&=J%()2+%2,

所以SM力1Q='xl"4ilMiQI=2x2xy/XQ2+yo2=JSx02—8%。+4=

Ja一款+J

由于疣(0,2],所以S-AQN等，故③正确；

对于④：由于点。满足2M)+.VO-2=0,即点在直线2w+yo-2=0上运动，取Ai3i的中

点£,即点Q在。力上，则平面。1PQ截正方体的所得的截面积为2ZV)iPE

利用几何关系，由于点尸到平面/oy的距离d=2,点尸在x0y面的射影到直线的距离力=

|4+2-2|_4

故点尸到。1E的距离为仁22+川.

则截面的面积为2SA5PE=2xixV5x-^=6为定值，故④正确.

故选：②③④.

三、解答题(17-21每题12分，22或23题1()分共计70分)

17.(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a=2.

sinAa-b

(1)右sinB+sinC=］一展？求角距

(2)若c=2b,当角3最大时，求AABC的面积.

sinAa-b

解:(1)因为

sinB+sinCa-c

〜,sinAb-ca-—oo

所以同嬴=否=正,整理可得〃■…

第18页共24页

Q2+C2_52

ac_1

可得

cosB=2ac2ac=2f

因为加(0,n),

可得B=*

(2)在△ABC中，b1—^+c2-2accosB,c—2b,

所以cos8=浅玫2堂，当且仅当6=挛时取等号，此时8=%C=。

OULDOL

所以△ABC的面积S=*ab=x2x^

18.(12分)某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60

岁以上老人进行了随机走访调查.得到的数据如表:

男性女性总计

参与该项老年运动16PX

不参与该项老年运动44qy

总计6040100

从统计数据中分析得参与该项老年运动的被调查者中，女性的概率是点

(1)求2义2列联表中p,q,x,y的值；

(2)是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？

(3)若将参与该项老年运动的老人称为“健康达人”，现从参与调查的“健康达人”中

按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行健康状况跟踪调

查，那么被跟踪调查的2人中都是男性的概率是多少？

2

2_n(ad-bc)苴中

参考公式及数据：K一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'分十n=a+b+c+d.

P(好》0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴由题意得前=9

解得p=8,所以q=40-8=32,

所以x=16+8=24,y=44+32=76；

2

100x(16x32-8x44)

(2)由列联表中的数据可得K?的观测值卜=«0.585<2.706,

-60x40x24x76

第19页共24页

所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关；

(3)由(1)得“健康达人”共有24人，其中男性16人，女性8人,

所以抽样比/£=&=*

因此按性别分层抽样抽取的6人中有男性16x/=4人，记为Ai,A2,A3,A4,

女性8xa=2人，记为劭，B2,

从这6人中抽取2人的所有方式为(4,A2),(4,A3),(4,A4),(4,Bi),

(Al,B2),(.AI,A3),(A2,A4),(A2,B\),(A2,B2),(A3,A4),

(43,Bl),(43,B2),(4,Bi),CA4,B2),(Bl,及)，共15种情况，

其中符合题目要求的是6种情况，

所以抽取的全是男性的概率为p=4=1.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABC。的底面是正方形，底面ABC。，E为尸8的中点.

(1)求证：尸。〃平面AEC；

(2)若AB=2,PD=y/2AB,求三棱锥E-的体积.

证明：(1)连接BQ交AC于点O,连接OE,

:四边形A8CD是正方形，上。为80的中点.

又；已知E为尸B的中点，...0E〃尸D

•.♦PQC平面AEC,OEu平面AEC,

〃平面AEC.

解：⑵'：AB=2,PD=>/2AB,：.PD=2y[2.

又•••PD，底面ABCD,:N三棱脚_ABD=^ABD•PD=/X*x2?x2/=竽.

1272

•••E是9的中点，...曝及做=2V三棱锥B-PAD=V三棱锥P-ABD=~3~-

第20页共24页

XV

20-（I2分）已知椭圆E/+瓦=1（心心。）上任意一点到其左、右焦点为、放的

距离之和均为4,且椭圆的中心。到直线笈+即3=。的距离为百

（1）求椭圆E的方程;

（2）已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点从C落在椭圆E上，求

动直角aABC面积的最大值.

解：（1）由题意可得2a=4,且>7与』二，解得。=2,b=V2,

>Ja2+b23

x2y2

可得椭圆的方程为一+一=1;

42

（2）由题意可知斜边不可能和x轴平行，

可设直线/的方程为x=（y+，〃，联立椭圆方程/+2歹=4,

可得(2+尸)y2+2r/ny+/n2—4=0,设2(xi,yi),C(xi,”),

2

-TZR2mtm—4222

可得y1+)'2=-主'yi”=市,A=4tm-4(?+2)Cnr-4)>0,化为//1<2?+4,

由题意可得48・T4C=(xi-2,yi)*(x2-2,y2)=Cty\+m-2)(tyi+m-2)+yiy2

°oom2—4

=(尸+l)yiy2+Z(m-2)(yi+y2)+(m-2)2=(尸+1)•-------+/Cm-2)*(--------不)

‘"J'2+"2+r

+(m-2)2=0,

化为3m2-8〃Z+4=0,可得m=2（舍去）或加二|",

可得BC所在直线I的方程为尸打+金

2

恒过定点D（-,0）,

112___________________

所以SAABC=^AD\'\yi-y2\=引2•-引J⑶】+丫2）、-4yly2

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QU81

贝ljSAABC=n*2

§U2+-3〃+卢

9U

24

由丁=〃+%在[，+8)上递增，

所以y=〃+前日5，+8),可得SzsABCW(0,—],

16

所以△ABC的面积的最大值为二，

9

此时BC所在直线/的方程为x=|.

21.(12分)已知函数/(x)=F(x+a),其中e是自然对数的底数，aER.

(1)求函数/(X)的单调区间；

(2)设g(x)=/(%-«)-A2,讨论函数g(x)零点的个数，并说明理由.

解：(1)因为/(x)="(X+。)，

所以f(X)=F(无+〃+1)................................................(1

分)

由f(x)>0,得x>-a-\；

由/(x)<0,得xV-a-1..............................................(2

分)

所以/(x)的增区间是1,+8),减区间是(-8,-〃-1).................

(3分)

(2)因为g(x)=f(x-a)-x1=xexa-x1=x(e1'a-x).

由g(x)=0,得x=0或'a-x=

0....................................................(4分)

设h(x)-x,

又h(0)=e"#0,即X=0不是/?(x)的零点，

故只需再讨论函数力(x)零点的个数.

因为h'(x)=ex'a-1,

所以当衽(-°°,〃)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；

当xW(a,+8)时，h'(x)>0,h(x)单调递增..................................

(5分)

所以当x=a时，h(无)取得最小值h(〃)=\-a..............