因式分解的应用与探究(含答案)-

因式分解的应用与探究【温馨提示】《分解因式》一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式〔直接用公式不超过两次〕进行因式分解〔指数是正整数〕。具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体〔整式乘法与因式分解〕联系。2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式〔直接用公式不超过两次〕进行因式分解〔指数是正整数〕。3、通过乘法公式：〔a＋b〕〔a－b〕＝a2－b2，〔a±b〕2＝a2±2ab＋b2的逆向变形，进一步开展观察、归纳、类比、概括等能力，开展有条理思考及语言表达能力。在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意。范例精讲例1【构造求值型】【山西04】x＋y＝1，那么的值为；分析：通过条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出x＋y的整体形式，即＝〔x2＋2xy＋y2〕＝〔x＋y〕2＝.在此过程中，我们先提取公因式，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生x＋y的整体形式，最后将x＋y＝1代入求出最终结果.例2【构造求值型】x2＋2x＋y2＋6y＋10＝0，求xy的值．答：xy＝3例3【构造求值型】：a＝10000，b＝9999，求a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9解：a2＋b2－2ab－6a＋6b＋9＝〔a－b〕2－2×〔a－b〕×3＋32＝〔a－b－3〕2＝例4【构造求值型】【广西桂林04】计算：；分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来〞，即原式＝＝＝＝＝＝……＝22＋2＝4＋2＝6此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来。此题解法很多，比方，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。设M＝，那么－M＝，即，解得M＝6.例5【探索规律型】观察以下各式：12＋〔1×2〕2＋22＝9＝32，22＋〔2×3〕2＋32＝49＝72，32＋〔3×4〕2＋42＝169＝132，……你发现了什么规律？请用含有n〔n为正整数〕的等式表示出来，并说明其中的道理。例6【探索规律型】阅读以下因式分解的过程，再答复所提出的问题：1＋x＋x〔1＋x〕＋x〔1＋x〕2＝〔1＋x〕［1＋x＋x〔1＋x〕］＝〔1＋x〕2〔1＋x〕＝〔1＋x〕3⑴上述分解因式的方法是，共应用了次；⑵假设分解1＋x＋x〔1＋x〕＋x〔1＋x〕2＋…＋x〔1＋x〕2004，那么需应用上述方法次，结果是；⑶分解因式：1＋x＋x〔1＋x〕＋x〔1＋x〕2＋…＋x〔1＋x〕n〔n为正整数〕.例7【开放创新型】【四川03】多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是〔填上一个你认为正确的即可〕；分析：根据完全平方公式a2±2ab＋b2＝〔a±b〕2的特点，假设9x2＋1表示了a2＋b2的话，那么有a＝3x，b＝1，所以，缺少的一项为±2ab＝±2·3x·1＝±6x，此时，9x2＋1±6x＝〔3x±1〕2；如果认为9x2＋1表示了2ab＋b2的话，那么有a＝4.5x2，b＝1，所以，缺少的一项为a2＝〔4.5x〕2＝20.25x4，此时，20.25x4＋9x2＋1＝〔4.5x2＋1〕2.从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方〞中所指的“整式〞既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到9x2＝〔3x〕2，1＝12，所以，保存二项式9x2＋1中的任何一项，都是“一个整式的完全平方〞，故所加单项式还可以是－1或者－9x2，此时有9x2＋1－1＝9x2＝〔3x〕2，或者9x2＋1－9x2＝12.综上分析，可知所加上的单项式可以是±6x、20.25x4、－1或者－9x2.例8【开放创新型】【福建南平03】请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.分析：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比方：2m〔m＋n〕2＝2m〔m2＋2mn＋n2〕＝2m3＋4m23a〔2x－5y〕2＝3a〔4x2－20xy＋25y2〕＝12ax2－60axy＋75ay2于是编写的三项式可以是2m3＋4m2n＋2mn2，分解因式的结果是2m〔m或者编写的三项式可以是12ax2－60axy＋75ay2，分解因式的结果是3a〔2x－5y〕2，等等abab例9【数形结合型】【陕西02，桥西02～03】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形〔a＞babab〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕例10【数形结合型】baaabb【福建福州05】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕，把剩下的局部拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影局部的面积，验证了公式a2－b2＝〔a＋b〕〔baaabb例11【数形结合型】xxyyx－yx－y【济南02】请你观察右下方图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是〔x＋y〕〔x－y〕＝x2－y2或x2－y2＝〔x＋y〕〔x－y〕或〔x－y〕2＝xxyyx－yx－y例12【数形结合型】【山西03】有假设干张如下图的正方形和长方形卡片，那么aa⑴bb⑵baaa⑴bb⑵ba⑶卡卡片数量〔张〕方案⑴⑵⑶〔A〕112〔B〕111〔C〕121〔D〕211分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是〔a＋b〕2.因为a2＋2ab＋b2＝〔a＋b〕2，对照如下图的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为a2、b2和ab，它们分别需要1张、1张、2张，由此可选出正确答案为〔A〕.ababbaba例13【数形结合型】【山西太原03】如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白局部的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式〔a＋b〕2－4abababbaba分析：外框围成的大正方形面积为〔a＋b〕2，4个矩形的面积之和为4ab，中间的空白局部的面积为〔a－b〕2.于是，可以列出等式〔a＋b〕2－4ab＝〔a－b〕2.对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明：〔a＋b〕2－4ab＝a2＋2ab＋b2－4ab＝a2－2ab＋b2＝〔a－b〕2.例14【数形结合型】abab给你假设干个长方形和正方形的卡片，如下图，请你运用拼图的方法，下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于a2＋5ab＋4b2，并根据你拼成的图形分解多项式a2＋5ab＋4abab解：由a2＋5ab＋4b2知，可用1张大正方形，5张长方形，4张小正方形，abababbbba2＋5ab＋4b2＝〔a＋b〕〔a＋4b〕优化训练选择题：计算结果为〔〕〔A〕2100〔B〕－2〔C〕0〔D〕－2100是一个关于x的完全平方式，那么m的值为〔〕〔A〕4〔B〕±4〔C〕〔D〕16是一个关于x的完全平方式，那么m的值为〔〕〔A〕4〔B〕－4〔C〕16〔D〕±4设m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，那么正确的关系是〔〕〔A〕m＝n×2001〔B〕m＝n〔C〕m＝n÷2002〔D〕m＝n＋2002填空题：x、y为正整数，且x2＝y2＋37，那么x＝；方程x2－y2＝29的整数解为；有假设干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形〔如图1〕；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形〔如图2〕，那么这种小球最少有个；三、解答题：图1图2计算：；求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．观察：1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…⑴请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；⑵根据⑴，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果〔用一个最简式子表示〕．一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，那么称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．假设a＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根．公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是195……〞不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。〞这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。〞现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。答案:选择题：【桥西01～02】计算结果为〔D〕〔A〕2100〔B〕－2〔C〕0〔D〕－2100是一个关于x的完全平方式，那么m的值为〔C〕〔A〕4〔B〕±4〔C〕〔D〕16是一个关于x的完全平方式，那么m的值为〔D〕〔A〕4〔B〕－4〔C〕16〔D〕±4【重庆02竞赛】设m＝2002＋2001×2002＋2001×20022＋…＋2001×20022000，n＝20022001，那么正确的关系是〔B〕〔A〕m＝n×2001〔B〕m＝n〔C〕m＝n÷2002〔D〕m＝n＋2002填空题：【桥西02～03】x、y为正整数，且x2＝y2＋37，那么x＝19；方程x2－y2＝29的整数解为，；有假设干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形〔如图1〕；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形〔如图2〕，那么这种小球最少有36个；图1图2三、解答题：计算：；解：原式＝＝＝求x2－4xy＋5y2－2y＋2004的最小值．解：原式＝〔x－2y〕2＋〔y－1〕2＋2003，∴当x＝2，y＝1时，原式取得最小值2003．【黄冈02竞赛，桥东03～04】观察：1×2×3×4＋1＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，…⑴请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；⑵根据⑴，计算2000×2001×2002×2003＋1的结果〔用一个最简式子表示〕．解：⑴结论：n〔n＋1〕〔n＋2〕〔n＋3〕＋1＝〔n2＋3n＋1〕2，证明：n〔n＋1〕〔n＋2〕〔n＋3〕＋1＝〔n2＋3n〕〔n2＋3n＋2〕＋1＝〔n2＋3n〕2＋2〔n2＋3n〕＋1＝〔n2＋3n＋1〕2；⑵2000×2001×2002×2003＋1＝〔20002＋3×2000＋1〕2＝40060012；一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，那么称自然数a为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数．假设a＝20022＋20022×20032＋20032，求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根．解：先从较小的数字探索：a1＝12＋12×22＋22＝32＝〔1×2＋1〕2，a2＝22＋22×32＋32＝72＝〔2×3＋1〕2，a3＝32＋32×42＋42＝132＝〔3×4＋1〕2，a4＝42＋42×52＋52＝212＝〔4×5＋1〕2，…于是猜测：a＝20022＋20022×20032＋20032＝〔2002×2003＋1〕2＝〔4010007〕2，证明采用配方法〔略〕．推广到一般，假设n是正整数，那么a＝n2＋n2〔n＋1〕2＋〔n＋1〕2是一个完全平方数［n〔n＋1〕＋1］2．解题策略：猜测是数学中重要的思想和方法之一。较大的数字问题可仿较小数字问题来处理，实现了以简驭繁的策略。在解题时，如果你不能解决所提出的问题，可先解决“一个与此有关的问题〞。你能不能想出一个更容易着手的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？你能否解决这个问题的一局部？这就是数学家解题时的“绝招〞。公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，老人说：“我们俩的年龄的平方差是195……〞不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。〞这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。〞现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。解：由x2