初中函数知识点总结

1/1初中函数知识点总结

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2bxc

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到。

当h0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2k的图象；

当h>0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2k的图象；

当h0时，开口向上，当a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2bxc=0

(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x-x|

当△=0。图象与x轴只有一个交点；

当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a0(a0时，函数的最小值为2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。

3、函数的最值在实际问题中的应用

函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

（四）、函数的奇偶性

1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）。

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：

（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件；

（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定义域上的恒等式。（奇偶性是函数定义域上的整体性质）。

2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。

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常量：不变的量

自变量x和X的一次函数y有如下关系：

y=kxb(k为任意不为零常数，b为任意常数)

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应.如果有2个及以上个值与x对应时，就不是函数.

x为自变量，y为因变量，k为常量，y是x的一次函数.

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数.即：y=kx(k为常量，但K≠0)正比例函数图像经过原点.

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义;要与实际相符合.[xx本段]相关性质函数性质

的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kxb(k≠0)(k不等于0，且k，b为常数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的，坐标为(0，b).

为一次函数y=kxb的斜率，k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，Θ≠90°)

形、取、象、交、减.

4.当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

5.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行;当k不同，且b相等，图像相交;当k互为负倒数时，两直线垂直;当k，b都相同时，两条直线重合.

图像性质

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表[一般取两个点，根据两点确定一条直线];

(2)描点;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线.因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可.(通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b，0与0，b)

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kxb(k≠0).(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像都是过原点.

3.函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.

，b与函数图像所在象限：

y=kx时(即b等于0，y与x成正比)

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k0，b>0，这时此函数的图象经过一，二，三象限.

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一、函数的概念与表示

1、映射

(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

注意点：

(1)对映射定义的理解。

(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

2、函数

构成函数概念的三要素

①定义域②对应法则③值域

两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

二、函数的解析式与定义域

1、求函数定义域的主要依据：

(1)分式的分母不为零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

(3)对数函数的真数必须大于零;

(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

三、函数的值域

1求函数值域的方法

①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

⑦利用对号函数

⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

四.函数的奇偶性

1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

函数。

2.性质：

①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称，y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称。

②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

3.奇偶性的判断

①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

五、函数的单调性

1、函数单调性的定义：

2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

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1.正比例函数

(1)定义

一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做

比例系数.

(2)举例

如y=-3x，y=1/2x均为正比例函数，比例系数分别为-3，1/2.

2.知识详解

(1)在正比例函数中，自变量x的次数是1且比例系数k≠0.当k=0时，y=0，函数的图象是x轴，它不具备正比例函数的一般性质；

(2)函数关系式中，等号右边的代数式是一个一次单项式；

(3)如果两个变量的比是一个常数，那么这两个变量之间的关系就是正比例函数关系；

(4)正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）必须满足两个条件：一是比例系数k≠0；二是自变量x的次数是1；

(5)一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数.

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一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H，A，P，Y}

(3)元素的无序性:如：{a，b，c}和{a，c，b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集：N_或N

整数集：Z

有理数集：Q

实数集：R

1)列举法：{a，b，c……}

2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2}，{x|x-3>2}

3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4)Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能

(1)A是B的一部分，;

(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)实

例：设A={x|x2-1=0}B={-1，1}“元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB，且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果AíB，BíC，那么AíC

④如果AíB同时BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4.子集个数：

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集

三、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).

如何养成良好的解题习惯

要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。

在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平dW时养成良好的解题习惯是非常重要的。

数学性质

数学性质是数学表观和内在所具有的特征，一种事物区别于其他事物的属性。如：平行四边形的性质：对边平行，对边相等，对角线互相平分，中心对称图形。

高等数学知识点

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1、二次函数的定义

一般地，形如y=ax2bxc(a，b，c为常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2x-1等都是二次函数。

注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式，二次项系数a必须是非零实数，即a≠0，而b，c是任意实数，二次函数的表达式是一个整式。

(2)二次函数y=ax2bxc(a，b，c是常数，a≠0)，自变量x的取值范围是全体实数。

(3)当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数。

(4)一个函数是否是二次函数，要化简整理后，对照定义才能下结论，例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x，故它不是二次函数。