大学《微积分》课件6 广义积分与G函数z

一、广义积分二、

函数§6.8广义积分与

函数破坏这两个条件中的一条，就称为广义积分.引入定积分概念时，有两个基本要求：1、积分区间[a,b]是有限的；

2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的.这种通常意义下的积分称为常义积分.对应上面的两个条件，若[a,b]变为无限区间，则称为无穷限的广义积分；

若

f(x)为无界函数，则称为无界函数的广义积分.一、广义积分（一）问题的提出解：由定积分的几何意义0xyy=11+x2A求由曲线与坐标轴所“围成”的开口曲边梯形的面积.bB1、引例在(0,+∞)内任取一点b，过b作x轴的垂线x=b，则曲边梯形A0bB的面积当b→+∞时，

即（二）无穷限的广义积分0xyy=11+x2A定义6

2(无穷限广义积分)

设函数f(x)在区间[a,

)上连续

存在

则称此极限值为f(x)在[a,

)上的广义积分

记作2、概念如果极限定义6

2(无穷限广义积分)2、概念

设函数f(x)在区间(

,b]上连续

如果极限存在

则称此极限值为f(x)在(

,b]上的广义积分

记作定义6

2(无穷限广义积分)2、概念

设函数f(x)在区间(

,

)上连续

则f(x)在(

,

)上的广义积分定义为

解

按定义(2)约定记号:若

，则(1)计算步骤:先求定积分,再取极限.3、计算

解

例2.

思考：=

0？结论：广义积分收敛的时候满足定积分“偶倍奇零”的结论.练习：判别下列广义积分的敛散性.当时，例4.讨论

的敛散性.故

在

时收敛；在时发散.解:当

时，

练习：下列积分收敛的是（）C（三）无界函数的广义积分瑕积分注：一个积分是不是瑕积分，就是看在积分区间上有没有无界的点.C例5.下列积分属于瑕积分的是_____注：被积函数若不满足可积条件,则不能使用牛顿-莱布尼兹公式.如果

f(x)在区间[a,b]上某点无界，则称该点为f(x)的瑕点，并称积分

为瑕积分.定义6

3(无界函数的广义积分)

设函数f(x)在(a,b]上连续

当x

a

时

f(x)

但在任何存在

则称此极限为无界函数f(x)在[a,b]上的广义积分

记作

如果上述极限不存在

就说广义积分不存在或发散

闭区间[u,b](a,b]上有界且可积.如果极限定义6

3(无界函数的广义积分)

设函数f(x)在[a,b)上连续

当x

b

时

f(x)

但对任何存在

则称此极限为无界函数f(x)在[a,b]上的广义积分

记作

如果上述极限不存在

就说广义积分不存在或发散

闭区间[a,u][a,b)上有界且可积.如果极限定义6

3(无界函数的广义积分)

设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a

c

b)外连续

而当x

c时

f(x)

则f(x)在[a,b]上的广义积分定义为(2)约定记号:若

，则(1)计算步骤:先求定积分,再取极限.瑕积分的计算

解

显然x=0为瑕点提示

例6.

解

显然x=0为瑕点例7.综上：当p<1时，原积分收敛；当

时，原积分发散.二、

函数

解：此题分部积分两次，若被积函数中x的指数为3,4,5…，则分别积分3次，4次，5次…，得到相对应的值.定义6

4(

函数)递推公式

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n为正整数)

积分是参变量r的函数

称为

函数

递推公式

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n为正整数)

又因为

(n+1)=n

(n)

n

(n

1)

(n

1)

n!

(1)

所以

(n

1)

n!

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n为正整数)

例9

2

4

1

4

0

4

(0

4)

(3

4)

(2

4

1)

2

4

(2

4)

2

4

(1

4

1)

2

4

1

4

(1

4)

2

4

1

4

(0

4

1)例10.