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文档简介

§6.7定积分的应用三、经济应用问题举例二、旋转体的体积一、平面图形的面积一、平面图形的面积

定积分的几何意义

由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(a<b)、

x轴所围成的平面图形的面积S为1、公式一：解:如图所示=2(1-1/e)

解

设椭圆在第一象限的面积为S1

则椭圆的面积为S

4S1

例2.例3.解:于是例4.解:则求平面图形面积的步骤:1画草图,求交点.2确定积分变量，确定积分区间.原则：尽量少分割图形3确定被积函数若以为积分变量，则用上边界减下边界；若以为积分变量，则用右边界减左边界.4求定积分，计算面积.练习：求由xy=1,y=x,x=2及

x轴围成的图形的面积.二、旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.

这条直线叫做旋转轴.

圆柱圆锥圆台任取x

[a,b]，在[a,b]上选取小区间[x,x+dx].0xyay=f(x)bxx+dx设想过x点及x+dx点而垂直于x轴切下厚度为dx的薄片,由于dx很小,则该薄片的体积可近似于一个以

f2(x)为底，以dx为高的圆柱体的体积.

旋转体是由连续曲线y

f(x)、直线x

a、x

b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.

绕x轴旋转的旋转体体积微元例5.

连接坐标原点O及点P(h,

r)的直线、直线x

h及x轴围成一个直角三角形.

将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.

计算这圆锥体的体积.

解:

绕x轴旋转：

绕y轴旋转的旋转体的体积

椭圆绕y轴旋转产生的旋转体的体积为

解

转体的体积

例6.例7.计算由曲线y=x2

与x=y2

所围成的平面图形绕y

轴旋转一周而成的立体的体积.解：如图所示：V2V11y=x31y1xy=x31练习：求下列旋转体的体积柱壳法——三、经济应用问题举例1、已知总量的变化率求总量的改变量已知某产品的总产量

的变化率是

,则从到

这段时间内的产量为：

例8

设某产品在时刻t总产量的变化率为f(t)

100

12t

0.6t2(单位/小时)

求从t

2到t

4这两小时的总产量

解：

设总产量为P(t)

则t

2到t

4这两小时的总产量为2、已知边际函数求总量函数▲已知边际成本

，求总成本C(x):移项，得▲

已知边际收益

，求总收益R(x):移项，得又

R(0)=0,得固定成本解：总成本总收入利润由故知：当

q=5时，利润有唯一的极大值，即最大利润为L(5)=30.5(万元).例9.某产品生产q吨产品的边际成本为固定成本为2万元，又边际收入为试求利润函数与最大利润.练习：

设某种商品每天生产x单位时固定成本为20元

边际成本函数为C

(x)

0.4x

2(元/单位)

求总成本函数C(x)

如果这种商品规定的销售单价为18元

且产品可以全部售出

求总利润函数

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