大学《概率论》课件第四节 条件概率与事件的相互独立性

目录/Contents1.11.21.31.41.5随机事件及其运算概率的定义及其性质等可能概型条件概率与事件的相互独立性全概率公式与贝叶斯公式目录/Contents1.4条件概率与事件的相互独立性一、条件概率二、事件的相互独立性三、伯努利概型甲乙两台车床加工同一种机械零件，质量表如下：正品数次品数

合计甲车床35540乙车床501060总计8515100一、条件概率

从这100个零件中任取一个，求下列事件的概率：引例1.1.引例(1)取出的一个为正品；(2)取出的一个为甲车床加工的零件；(3)取出的一个为甲车床加工的正品；(4)已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为正品.ABABC(1)(2)(3)解一、条件概率1001585总计601050乙车床40535甲车床

合计次品数正品数解附加条件BA(4)(1)取出的一个为正品；(2)取出的一个为甲车床加工的零件；(3)取出的一个为甲车床加工的正品；(4)已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为正品.ABABC1001585总计601050乙车床40535甲车床

合计次品数正品数一、条件概率

注.BA

这是巧合吗？不是.一、条件概率

定义

设A，B是同一样本空间中的两个事件，且P(B)>0,则称为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率.注.①样本空间缩减法；2.条件概率的定义②用定义.一、条件概率

(1)求在有3个小孩的家庭中，至少有一个女孩的概率(设男孩与女孩是等可能的).解例1男女123样本点总数：23.一、条件概率

在有3个小孩的家庭中，已知至少有1个女孩，求该家庭至少有1个男孩的概率.(2)解一、条件概率

设A=“能活20岁以上”的事件;

B=“能活25岁以上”的事件,则有

某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?例2一、条件概率

解3.条件概率的性质(2)规范性：(3)可列可加性：(4)对立事件的条件概率：一、条件概率

4.乘法公式推广：意义：两事件积的概率等于其中的某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率.一、条件概率

一般地，设则推广：证:一、条件概率

从100件产品（其中有5件次品）中，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少?例3

设A=“第一次取到正品”;B=“第二次取到次品由于第一次取到正品后不放回，因此，第二次是在99件中（不合格品仍是5件）任取一件，所以故由乘法公式即得解一、条件概率

某人忘记电话号码的最后一个数字，因而任意例4地按最后一个数，试求：(1)不超过四次能打通电话的概率；设Ai=“第

i次能打通电话”，i=1,2,3,4(1)设A=“不超过四次能打通电话”，则A=A1∪A2∪A3∪A4故解一、条件概率

设B=“已知最后一个数字是偶数，不超过三次能B=B1∪B2∪B3故

某人忘记电话号码的最后一个数字，因而任意地按最后一个数，试求：(2)若已知最后一个数字是偶数，则不超过三次能打通电话的概率是多少？

设Bi=“已知最后一个数字是偶数，第

i

次能打通电话”，i

=1,2,3打通电话”，则例4一、条件概率

解1、两个事件的独立性一般地，这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.然而，在有些情形下又会出现：二、事件的独立性则有引例二、事件的独立性2.定义(两个事件的独立性)二、事件的独立性注：

独立与互斥的关系两事件相互独立两事件互斥例如二者之间没有必然联系两事件相互独立两事件互斥.二、事件的独立性11又如：两事件相互独立.两事件互斥可以证明：

特殊地，A与B

独立

A与B

不互斥或A与B

互斥

A与B

不独立二、事件的独立性定理（相互独立的充要条件）二、事件的独立性定理

二、事件的独立性定理二、事件的独立性甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率解设A={甲击中敌机}B={乙击中敌机}C={敌机被击中}依题设,例5为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.

由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立.二、事件的独立性（1）

三事件相互独立定义2、多个事件的独立性二、事件的独立性

设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意k(2≤k≤n),及1≤i1<i

2<···<i

k≤n

，有（2）n

个事件的相互独立性定义

特别地，设A1，A2，…，An为n个事件，若对于任意两个事件都相互独立，则称A1，A2，…，An两两独立.注.

二、事件的独立性设袋中有4个乒乓球，其中1个涂有白色，1个例6涂有红色，1个涂有蓝色，1个涂有白、红、蓝三种颜色.今从袋中任取一乒乓球，记A=“取出的球涂有白色”B=“取出的球涂有红色”C=“取出的球涂有蓝色”试证事件A，B，C两两相互独立，但三者不相互独立.证又有故二、事件的独立性即事件A，B相互独立.类似可证，事件A，C相互独立，事件B，C相互独立.但而所以事件A，B，C不相互独立.二、事件的独立性两个结论二、事件的独立性n个独立事件和的概率公式:设事件相互独立,则即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.

结论的应用二、事件的独立性若设n个独立事件A1,

A2,

…,An发生的概率分别为类似可以得出：p1,

p2,

…,pn，则事件A1,

A2,

…,An中至少有一个发生的概率为事件A1,

A2,

…,An中至少有一个不发生的概率为二、事件的独立性若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,假设解则例7每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.而依题设，二、事件的独立性用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的解在同时射击时，事件B1和B2是相互独立的，故有例8概率是0.6，试问：（1）两门高射炮同时进行射击，飞机被击中的概率是多少？故(1)二、事件的独立性（2）若有一架敌机入侵，需要多少门高射炮同时射击才能以99%的概率命中敌机？解令n是以99%的概率击中敌机所需高射炮的门数，故由上面的讨论可知若有一架敌机入侵，至少需要6门高射炮同时射击.(2)用高射炮射击飞机，如果每门高射炮击中飞机的例8概率是0.6，试问：二、事件的独立性则称这n次重复试验为n重伯努利试验.若n

次重复试验具有下列特点：1.n

重伯努利(Bernoulli)试验1)每次试验的可能结果只有两个：A或2)各次试验的结果相互独立，(在各次试验中p是常数，保持不变）三、伯努利概型实例3在相同的条件下独立射击n次，每次射击时观察是否命中目标就是n重伯努利试验.实例1

抛一枚硬币观察得到正面或反面.若将硬币抛n次,就是n重伯努利试验.实例2

抛一颗骰子n次,观察是否“出现

1点”,

就是

n重伯努利试验.实例4在产品抽样调查中，有放回抽取n次，观察出现正品还是次品就是n重伯努利试验.三、伯努利概型2.伯努利概型定理

如果在伯努利试验中，事件A出现的概率为p(0<p<1),则在n次试验中，A恰好出现k

次的概率为：利用上述关系式讨论事件概率的数学模型称为伯努利概型，又称为二项概型.三、伯努利概型推导如下：且两两互不相容.三、伯努利概型解由二项概型有，例9某车间有5台某型号的机床，每台机床由于种种原因（如装、卸工件，更换刀具等）时常需要停车.设各台机床停车或开车是相互独立的.若每台机床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3.试求在任一个时刻，(1)恰有一台机床处于停车状态的概率；设A=“任一时刻任一台机床处于停车状态”三、伯努利概型(2)至少有一台机床处于停车状态的概率；(2)设B=“至少有一台机床处于停车状态”某车间有5台某型号的机床，每台机床由于种种原因（如装、卸工件，更换刀具等）时常需要停车.设各台机床停车或开车是相互独立的.若每台机床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3.试求在任一个时刻，例9解三、伯努利概型(3)至多有一台机床处于停车状态的概率；(3)设C=“至多有一台机床处于停车状态”，则解某车间有5台某型号的机床，每台机床由于种种原因（如装、卸工件，更换刀具等）时常需要停车.设各台机床停车或开车是相互独立的.若每台机床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3.试求在任一个时刻，例9三、伯努利概型经计算得练习(