2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第十八讲全称量词与存在量词的否定

第十八讲：全称量词与存在量词的否定【教学目标】1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础知识】（1）含量词的命题的否定p结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题命题的否定：=1\*GB3①改量词，=2\*GB3②否结论.（2）命题的否定与原命题真假性相反.【题型目录】考点一：全称量词命题的否定考点二：存在量词命题的否定考点三：全称量词与存在量词命题的否定（判断真假）考点四：全称量词与存在量词命题的否定应用【考点剖析】考点一：全称量词命题的否定例1．设命题，，则为（） A．， B．， C．， D．，或【答案】D【详解】根据命题的否定得任意变存在，结论相反，故为，或，故选：D.变式训练1．已知命题，则为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以.故选：B.变式训练2．已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题p的否定是（） A．某班至多有一个男生爱踢足球 B．某班至少有一个男生不爱踢足球 C．某班所有的男生都不爱踢足球 D．某班所有的女生都爱踢足球【答案】B【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故命题p的否定是某班至少有一个男生不爱踢足球．故选：B．变式训练3．若命题：，，则命题的否定为（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】根据全称量词的否定规则，先改写量词，再否定结论，可得原命题的否定为“，”.故选:D考点二：存在量词命题的否定例2．命题“，”的否定是（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】命题“，”为特称量词命题，其否定为：，.故选：D变式训练1．命题“”的否定是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】命题“”的否定是“”.故选：C变式训练2．命题“有一个偶数是素数”的否定是（） A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数 C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数【答案】B【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B变式训练3．设命题p：，使得，则为（） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有【答案】C【详解】为，都有.故选：C考点三：全称量词与存在量词命题的否定（判断真假）例3．写出下列命题的否定，并判断它们的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)三个连续整数的乘积能被6整除;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)至少有一个整数是4的倍数.【答案】(1)所有实数都不是无限不循环小数，假命题(2)存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题(3)任意一个三角形都是中心对称图形，假命题(4)任意整数不是4的倍数，真命题【详解】（1）命题的否定为：“所有实数都不是无限不循环小数”，因为实数是无限不循环小数，所以其为假命题；（2）命题的否定为：“存在三个连续整数的乘积不能被6整除”，因为三个连续整数中必有一个能被2整除，一个能被3整除，则三个连续整数的乘积一定能被6整除，所以其为假命题；（3）命题的否定为：“任意一个三角形都是中心对称图形”，因为等边三角形不是中心对称图形，所以其为假命题；（4）命题的否定为：“任意整数不是4的倍数”，当时，不是4的倍数；当时，不是4的倍数，所以其为真命题.变式训练1．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)，使；(3)，有.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：，有．因为当时，，所以“，有”是假命题．（3）命题的否定：，使．因为当时，，所以“，使”是真命题．变式训练2．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.变式训练3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．(1)末尾数是偶数的数能被整除；(2)对任意实数，都有；(3)方程有一个根是奇数．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析【详解】（1）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被整除；该命题的否定是真命题．（2）该命题是全称命题，该命题的否定是：存在实数，使得；该命题的否定是真命题．（3）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题．考点四：全称量词与存在量词命题的否定应用例1．已知命题，使，命题．(1)写出“”；(2)若命题p、q有且只有一个命题为真，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)或．【详解】（1）；（2）p是真命题，得，所以．若p为真命题，q为假命题，则得；若p为假命题，q为真命题，则，得；所以，m的取值范围为或．变式训练1．已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．【答案】【分析】根据为假命题，可判断为真命题，再根据全称量词命题及存在量词命题为真求出参数的取值范围，最后取公共解即可；【详解】因为为假命题，所以为真命题，命题，都有，为真命题，则，即命题，使，为真命题，则，即因为命题、同时为真命题，所以，解得，故实数m的取值范围是．变式训练2．已知命题，使得成立；若命题为假命题，求实数的取值范围；【答案】.【详解】因为命题r为假命题，所以命题r的否定：恒成立为真命题，则，解得，故实数a的取值范围为变式训练3．已知命题p：，，命题q：，．(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)或.【详解】（1）由题意命题p：，，当时，，不合题意；当时，命题p为真命题，则需满足，即；（2）由（1）知命题p为真命题时，a的取值范围为；命题q：，为真时，则，当命题p真而命题q假时，且，故；当命题p假而命题q真时，且，故；当命题p和命题q都真时，且，则，故命题p和命题q至少有一个为真命题，a的取值范围为或.【课堂小结】1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．(3)全称量词命题与存在量词命题的综合应用．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．【课后作业】1、已知命题，，则的否定为（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】先变量词，将“”改为“”，再改结论，将“”改为“”，则的否定为：，.故选：D.2、命题“对，都有”的否定是（） A． B．，都有 C． D．【答案】C【详解】因为原命题为“对，都有”，所以其否定为“”，故选：C.3、已知命题，则（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，故选：C.4、设命题，则的否定为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】命题，则的否定为：.故选：B5、命题“”的否定是（） A．“” B．“” C．“” D．“”【答案】A【详解】命题“”的否定是“”故选：A.6、已知命题，，则是（） A．， B．， C．， D．，【答案】C【详解】由特称命题的否定可知为：，.故选：C.7、已知命题，，则命题的否定为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】命题，的否定是．故选：D．8、关于命题，下列判断正确的是（） A．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题 C．命题“”的否定为“” D．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”【答案】C【详解】A选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错；B选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错；C选项，命题“”的否定为“”故C正确；D选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错；故选：C9、命题：，，则命题的否定以及的真假性正确的选项是（） A．：，使得，假 B．：，使得，真 C．：，使得，假 D．：，，真【答案】B【详解】由全称命题的否定为特称命题，可得否定是“，使得”，令，则，所以命题“，使得”为真命题，故选：B.10、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：A11、已知命题，则为______________________．【答案】【详解】由全称命题的否定为特称命题，已知，所以.故答案为：.12、命题“”的否定是___________.【答案】【详解】命题“”的否定是“”故答案为：13、写出下列命题的否定并判断真假:（1）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）某些梯形的对角线互相平分；（3）被8整除的数能被4整除.【答案】（1）命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题.（2）命题的否定:任意梯形的对角线都不互相平分，是真命题.（3）命题的否定:存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.14、写出下列命题的否定，并判断其真假.（1）p：所有的方程都有实数解；（2）q：；（3）r：；（4）s：某些平行四边形是菱形.【答案】（1）：存在一个方程没有实数解，真命题.比如方程就没有实数解.（2）：，假命题.由于恒成立，是真命题，所以¬q是假命题.（3）：，真命题.（4）：每一个平行四边形都不是菱形，假命题.15、已知：，，：，．（1）写出命题的否定；命题的否定；（2）若和至少有一个为真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）：，；：，；（2）.【详解】（1）：，；：，．（2）由题意知，真或真，当真时，，当真时