专题1.4 数轴与动点经典题型（四大题型）（原卷版）

专题1.4数轴与动点经典题型（四大题型）重难点题型归纳【题型1最值问题】【题型2线段的和倍差问题】【题型3数轴与行程相遇综合问题】【题型4数轴上新定义问题】满分必练【题型1最值问题】【典例1】（2023•五华县校级开学）已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【变式1-1】（2022秋•广阳区校级期末）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示5和3的两点之间的距离是．②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是．③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝．②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝．③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是．④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是．（4）拓展：已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．【变式1-2】（2022秋•玉屏县期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣3|的几何意义是数轴上x所对应的点与3所对应的点的之间距离．因为|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的几何意义是数轴上x所对应的点与﹣2所对应的点的之间距离．（1）发现问题：|x+2|+|x﹣3|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A，B，P分别表示数﹣2，3，x，AB＝5．∵|x+2|+|x﹣3|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB＝5，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB＞5，∴|x+2|+|x﹣3|的最小值是5．（3）解决问题：①|x﹣1|+|x+3|的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣4|＞7；③当m为何值时，代数式|x+m|+|x﹣7|的最小值是6．【变式1-3】（2022春•南谯区期中）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是，数轴上表示x和﹣4的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和1的两点之间的距离为5，则x表示的数为；（3）若x表示一个有理数，则|x+1|+|x﹣7|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．【变式1-4】（2022春•南岗区校级期中）我们知道数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如|3﹣1|可表示为数轴上3和1这两点的距离，而|3+1|即|3﹣（﹣1）|则表示3和﹣1这两点的距离．式子|x﹣1|的几何意义是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，而|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，所以|x+2|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣2所对应的点之间的距离．根据以上发现，试探索：（1）直接写则|8﹣（﹣2）|＝；（2）结合数轴，找出所有符合条件的整数x，|x﹣2|+|x+3|＝5的所有整数的和．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x+4|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，请写出最小值并说明理由；如果没有，请说明理由．【变式1-5】（2022秋•江岸区校级月考）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为|a﹣b|＝AB．（完成下面填空）Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为﹣3、2、x．如图①，当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝PA+PA+AB＝2PA+AB＝2PA+5；如图②，当﹣3≤x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝＝5；如图③，当x≥2时，|x+3|+|x﹣2|＝PA+PB＝PB+AB+PB＝+AB＝2PB+5．Ⅱ．由Ⅰ可得：∵PA≥0，PB≥0，∴2PA+5≥5，2PB+5≥5，∴|x+3|+|x﹣2|在﹣3≤x≤2时有最小值为．（2）直接应用：求|x﹣4|+|x+5|的最小值．（3）应用拓展：若S＝|x﹣1|+|x+2|+|x﹣6|，当﹣2≤x≤6时，直接写出S的取值范围．【变式1-6】（2023春•南岗区校级月考）【问题提出】|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…+|a﹣2021|的最小值是多少？【阅读理解】为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．|a|的几何意义是a这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么|a﹣1|可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；|a﹣1|+|a﹣2|就可以看作a这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究|a﹣1|+|a﹣2|的最小值．我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．（2）如图②，a在1和2之间（包括在1，2上），可以看出a到1和2的距离之和等于1．（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．所以a到1和2的距离之和最小值是1．【问题解决】（1）|a﹣3|+|a﹣6|的几何意义是；请你结合数轴探究：|a﹣3|+|a﹣6|的最小值是；（2）请你结合图④探究：|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|的最小值是，此时a为；（3）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+|a﹣4|+|a﹣5|+|a﹣6|的最小值为；（4）|a﹣1|+|a﹣2|+|a﹣3|+…|a﹣101|的最小值为．【拓展应用】如图⑤，已知a到﹣1，2的距离之和小于4，请写出a的范围为．【题型2线段的和倍差问题】【方法技巧】两点之间的距离：大的数减去小的数注：（1）已知两点的距离和较大数，较小数=较大数－距离；（2）已知两点的距离和较小数，较大数=较小数+距离.2、两点的中点公式：.3、解题方法：（1）遇动点问题注意动点的起始位置以及方向和速度；（2）当无法比较两数大小的时候，求两者之间的距离时需要添加绝对值；（3）若遇相遇或追击问题，通常抓路程作为列等量关系的依据.【典例2】（2022秋•泉港区期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．（1）填空：线段AB的长度AB＝；（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．【变式2-1】（2022秋•越秀区校级期末）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为x．（1）若点P为AB的中点，则x的值为；（2）若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为；（3）某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒0.5个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．求当点A，B之间的距离为3个单位长度时，点P表示的数．【变式2-2】（2023•紫金县校级开学）如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；（2）若点A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．【变式2-3】（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20．（1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数．（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．【变式2-4】（2022•东阳市校级开学）如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C＝2πr，本题中π的取值为3.14．（1）把圆片沿数轴向右滚动2周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是；（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+4，﹣5，+2，﹣3①哪两次滚动后Q点到原点的距离相等？②当圆片第7次滚动结束时Q点恰好回到原点，第7次圆片向什么方向滚动了多少周？此时点Q运动的路程共有多少？【变式2-5】（2022秋•宛城区校级期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝；（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数对应的点重合；（3）若点A、B、C是数轴上的动点，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，那么3BC﹣2AB的值是否随着运动时间t（秒）的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．【变式2-6】（2022秋•黄埔区校级期末）数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）a＝，b＝，并在数轴上面标出A、B两点；（2）若PA＝2PB，求x的值；（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【变式2-7】（2022秋•承德期中）如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝，BC＝，AC＝；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【变式2-8】（2022秋•和平区校级期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．（1）MN的长为；（2）如果点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是；（3）数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．（4）如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，求t的值．【变式2-9】（2022秋•鼓楼区校级期中）在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中数b是最小的正整数．数a，c满足|a+4|+（c﹣9）2＝0．若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．（1）由题意可得：a＝，b＝，c＝；（2）若点A沿数轴向左运动，点B和点C沿数轴向右运动，3个点均保持运动速度不变，其中点A和点B的速度分别为每秒1个单位长度和每秒2个单位长度．设点A，B，C同时运动，运动时间为t秒．①当t＝15时，若AB是BC的5倍，求点C的速度；②在点A，B，C同时运动的过程中，若3AC﹣5AB的值始终不变，求出3AC﹣5AB的值及点C的速度．【变式2-10】（2022秋•徐闻县期中）已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值，a＝，b＝，c＝．（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）．（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【变式2-11】（2022秋•南城县期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足|a+2|+（c﹣7）2＝0．（1）a＝，b＝，c＝．（2）①若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合．②点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，则AC＝．（用含t的代数式表示）（3）在（2）②的条件下，请问：3BC﹣2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【题型3数轴与行程相遇综合问题】【典例3】（2022秋•鄄城县期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）数轴上点B表示的数是，点P表示的数是（用含t的代数式表示）；（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？【变式3-1】（2022秋•沙坪坝区校级期中）数轴上给定两点A、B，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，若数轴上有两点M、N，线段MN的中点在线段AB上（线段MN的中点可以与A或B点重合），则称M点与N点关于线段AB对称，请回答下列问题：（1）数轴上，点O为原点，点C、D、E表示的数分别为﹣3、6、7，则点与点O关于线段AB对称；（2）数轴上，点F表示的数为x，G为线段AB上一点，若点F与点G关于线段AB对称，则x的最小值为，最大值为；（3）动点P从﹣9开始以每秒4个单位长度，向数轴正方向移动时，同时，线段AB以每秒1个单位长度，向数轴正方向移动，动点Q从5开始以每秒1个单位长度，向数轴负方向移动；当P、Q相遇时，分别以原速立即返回起点，回到起点后运动结束，设移动的时间为t，则t满足2≤t≤2.96（t≠2.8）时，P与Q始终关于线段AB对称．【变式3-2】（2022春•普陀区校级期中）如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为2个单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值（写出解题过程）．【变式3-3】（2022秋•新泰市期中）如图．A、B、C三点在数轴上，A表示的数为﹣10，B表示的数为14，点C在点A与点B之间，且AC＝BC．（1）求A、B两点间的距离；（2）求C点对应的数；（3）甲、乙分别从A、B两点同时相向运动，甲的速度是1个单位长度/s，乙的速度是2个单位长度/s，求相遇点D对应的数．【变式3-4】（2022秋•永安市月考）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为90．（1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是；（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是；（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距24个单位长度？【变式3-5】（2021•新华区校级三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．（1）点A表示的数是：；点B表示的数是：．（2）A，B两点间的距离是个单位，线段AB中点表示的数是．（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．【变式3-6】（2021秋•方城县期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【变式3-7】（2022秋•太湖县期末）已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80．（1）请直接写出AB的中点M对应的数．（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题：①试求出点C在数轴上所对应的数；②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？【变式3-8】（2022秋•阳新县期末）如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度．点A、B、C、D对应的数分别是a、b、c、d，且d﹣3a＝20．（1）a＝，b＝，c＝．（2）点A以2个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点B到达D点处立刻返回，返回时，点A与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数．（3）如果A、C两点分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向数轴的负方向运动，同时，点B从图上的位置出发向数轴的正方向以1个单位/秒的速度运动，当满足AB+AC＝AD时，点A对应的数是多少？【变式3-9】（2022秋•工业园区期末）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？（2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等；（3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值．【变式3-10】（2022秋•柯城区校级期末）如图，点O为数轴的原点，A，B在数轴上按顺序从左到右依次排列，点B表示的数为7，AB＝12．（1）直接写出数轴上点A表示的数．（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．①经过多少秒，点P是线段OQ的中点？②在P、Q两点相遇之前，点M为PO的中点，点N在线段OQ上，且QN＝OQ．问：经过多少秒，在P、M、N三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点？（把一条线段分成1：2的两条线段的点叫做这条线段的三等分点）【题型4数轴上新定义问题】【典例4】（2022秋•海门市期末）对于数轴上的线段AB与不在线段AB上的点P，给出如下定义：若点P与线段AB上的一点的距离等于a（a＞0），则称点P为线段AB的“a距点”．已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是m，m+1．（1）当m＝1时，在﹣2，﹣1，2.5三个数中，是线段AB的“2距点”所表示的数；（2）若数轴上的点P为线段AB的“a距点”，则a的最大值与最小值的差为；（3）若数轴上﹣2所对应的点是线段AB的“a距点”，且a的最大值与最小值的比为2：1，求m的值．【变式4-1】（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是；（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．【变式4-2】（2022秋•青浦区校级期末）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：、、．（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点．（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．【变式4-2】（2022秋•临汾期末）阅读材料：定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为﹣1，0，2，且满足AB＝BC，则点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示．基础巩固：（1）在A，B，C三点中，点是点M，N的“倍分点”．尝试应用：（2）若数轴上点M是点A，D的“倍分点”，则点D在数轴上对应的数有个．灵活运用：（3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P在数轴上表示的数．【变式4-3】（2022秋•丰台区期末）在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（m≠0）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点Q，如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”．如图1，若m＝﹣1，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4，则点P与线段OM的“闭距离”为4．（1）如图2，在该数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．①当m＝1时，点A与线段OM的“闭距离”为；②若点B与线段OM的“闭距离”为3，求m的值；（2）在该数轴上，点C表示的数为﹣m，点D表示的数为﹣m+2，若线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．【变式4-4】（2022秋•如皋市期中）定义：在数轴上，若M，N两点到原点的距离之和等于点P到原点的距离，则称点P为M，N两点的“和距点”．例如，数轴上，表示5的点是表示2，3的点的“和距点”；表示的点是表示，的点的“和距点”．已知数轴上A，B，C三点表示的数分别是a，b，﹣6，点C为A，B两点的“和距点”．（1）如果a＝﹣3，点B在x轴的正半轴，则b＝；（2）若点A也是B，C两点的“和距点”，请确定b的值，并说明理由；（3）若a＝﹣2b+1，请直接写出b的值．【变式4-5】（2022秋•东城区校级期中）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合的两点A，B以及一条线段PQ，（1）若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“中位点”；（2）若点A与点B的“中位点”M在线段PQ上（点M可以与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ“中位对称”．如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M表示的数为﹣1，点M到点A的距离等于2，点M到点B的距离也等于2，那么点M为点A与点B的“中位点”；点P表示的数为﹣2，点Q表示的数为2，点A与点B的“中位点”M在线段PQ上，那么点A与点B关于线段PQ“中位对称”．根据以上定义完成下列问题：已知：如图2，点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣2，点R表示的数为3．（1）①若点B表示的数为﹣5，点M为点A与点B的“中位点”，则点M表示的数为；②若点A与点B的“中位点”M表示的数为1，则点B表示的数为；（2）①点B，C．D分别表示的数为1，，6，在B，C，D三点中，点A与关于线段OR“中位对称”；②点N表示的数为x，若点A与点N关于线段OR“中位对称”，则x的取值范围是；③点E表示的数为m，点F表示的数为m+2，若线段EF上至少存在一点与点A关于线段EF“中位对称”，直接写出m的取值范围．【变式4-6】（2022秋•雨花区校级月考）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以．（1）若点N为数轴上的一个点，点N表示的数是﹣1，则＝；（2）数轴上的点M满足OM＝2OA，求；（3）数轴上的点P表示有理数p，已知2≤|P|≤100且p为整数，则所有满足条件的的和．【变式4-7】（2022秋•商河县期中）阅读下列材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“平衡点”．解答下列问题：经验反馈：（1）若点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“平衡点”，则点M表示的数为；（2）若点A