2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练

12020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】(1)求cosB(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.(2)b=2.【解析】由题设及A+B+C=π得故sinB=4(1-cosB)上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0(2)由又又由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cos所以b=2.【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用2【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符号。【解析】因为c>b,所以B<C,所以由正弦定理得,所以所以【易错点】大边对大角，应注意角的取值范围【解析】(1)由A,B,C成等差数列，有2B=A+C(1)(2)由a,b,c成等比数列，有b2=ac(4)由余弦定理及(3),可得b²=a²+c2-2accosB=a²+c2-ac再由(4),得a²+c2-ac=ac,即(a-c)2=0。因此a=c从而A=C(5)3.:.:【思维点拨】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了.【易错点】条件的转化运用(1)一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；(2)另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理例1△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,【解析】由正弦定理得,又即bc=8由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,4【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形建立函数关系式，如y=Asin(Ox+φ)+b,从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具acosC+√3asinCbc=0⇔sin⇔sinAcosC+√3sinAsinC=sin(A+C)+sinC当且仅当b=c=7时等号成立∴(b+c)2≤4×49,又∵【易错点】求周长范围的问题，应先用余弦定理列出等式，再根据基本不等式求出所求问题例3△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-a=2bcosA.5且到A的距离为3,则B、C间的距离为∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos6乙两楼的高分别是()AB₂=AC2+BC₂-2ACBCco即1600=x2+x2+x2,【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【巩固训练】时，求b及c的长7所以或,求,求角A的大小.或【解析】(I)由正弦定理得sinB+sinC=2si(Ⅱ)由故有得,因为sinB≠0,得sinC=cosB.3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.8.,所以ab=6题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA—sinB·所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2s所以cosA(sinB-sinA)=0,所以.B=A或B=a-A(含去),9A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形一sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角，△ABC是钝角三角形化简，得sin²B=sinAsinC.由正弦定理，得b2=ac,∴a,b,c成等比数列.当且仅当a=c时，等号成立.2在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知;;,事,故2b-c=4sinB—2sinC1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是().【答案】A∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30,∠ADB=45,【解析】如图所示，在△ACD中，∠ACD=120,∠CAD=∠ADC=30,3.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60cm,则A.240(√3-1)mB.180(√Z-1)mC.120(√3-1)mD.30(√3+1)m【答案】C2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练A.5B.3A.a>1,b<0C.O<a<1,b>0A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<b0)即对称轴在所给区间内时，fx)的最小值在对称轴处取得，其最小值是的最大值为0ok名ADBCDB的图像大致为()【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值.题型五复合函数的简单性质例1ì是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是【答案】(-1,0)由f(x)<0,定义域为(一1,1).或或【解析】令u=g(x)=x2-ax-a,∵函数为减函数，∴u=g(x)=x2-ax-a在区间【易错点】对数型函数的定义域【思维点拨】利用复合函数同增异减的性质得出参数需满足的不等式组例1设函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1,则a=()A.-1C.2【巩固训练】故-2)+f(log,12)=3+6=9,.范围.【答案】(1)a=2;(2)[2,3].又a≥2,∴2≤a≤3.的图象大致是()单调性可排除C.故选D.【答案】B.【解析】自变量x满足当x>0时，可得x>1,当x<0时，可得-1<x<0,即函数f(x)的定义域是(-1,0)U(1,+x),据此排除选项A、D;ACBD题型五复合函数的简单性质a=1.A.(0,+o)B.(1,+m)【解析】令2=1,则函数y=4x+2*1+1可化为y=2+2r+1=(t+1)(>0).∴所求值域为(1,+α).故选B.所以f(O)=0,即解得b=1.解得a=2.等价于f(p-2n<由上式易知fx)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式等价于f(p-2n<-f(2r²-k)=f(-2r²+k).因为f(x)是R上的减函数，由上式推得r2-2r2020年高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】A.【解析】方法一：对于平面向量与一表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A,B均错；又一中的较大者与一定构成非锐角三角形的必有,故选项D正确，选项C错误.二,一二,一二,=;若令=,=,这时,而=,显然对任意与的大小关系不确定，即选项A、B均错.同理，若同向，取==,则,故选C项错.【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；项，得出正确答案.题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用【解析】方法一：二二所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系.由已知得因为,所以可求得--,于是=--,而==,若设=,则有【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. (2)由A.B. 【解析】过点作,垂足为.如图所示， 取点P靠近点B的三等分点.则一【解析】-故选B.例1.若非零向量满足=—,且一,则与的夹角为()A.-B.-二二【思维点拨】利用垂直得出的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决；例1.在边长为2的等边三角形中，是是的中点，设∵二值为();以所在直线为为坐标原点建立空间直角坐标系，的最大值为一，故选：D∴例4.已知,且与的夹角为锐角，则的取值范围是【解析】由于与的夹角为锐角，,且与不共线同向，由,解得一，当向量与共线时，得,得-,因此的取值范围是一且题型六平面向量在三角函数中的应用②若与的夹角为-,求的值.【解析】①∵二二，二—.【思维点拨】利用平面向量坐标运算性质及垂直关系建立等式即可得出结果。的值为【答案】:-【解析】:∵=2.已知为圆上的三点，若-,则与的夹角为【答案】:--A.-B.--C.-D.--1.若等腰底边上的中线长为1,底角>,则【解析】因为等腰底边上的中线长为1,底角>∴【答案】【解析】∵∴A.-2B.-1【答案】D——即为,解得=【解析】方法一：由题意可知，,则实数的值为,即的夹角为因为=所以因此式可化为-方法二：以为原点，.解得(舍去)或-,所以的长为-.为轴建立如图的直角坐标系，过作于点.因为E是CD的中点，所以一-一.所以 【解析】如下图所示，,则【解析】由题意得【答案】B∴且且,则与的夹角的最小值是.B.二_题型六平面向量在三角函数中的应用(1)若一,求证：(2)设=,若+=,求的值.又因为,所以一=,即=,故A.=B.=C.【答案】【解析】依题意有【答案】2020年高考理科数学《不等式》题型归纳与训练【题型归纳】【答案】6.用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千y≥0.y≥0.y≥0.例1.若实数x,y满足约束条件,则的最小值为【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率.由图知，点P与点连线的斜率最小，由得又又因此所以.故选C.因此所以例1.已知实数x,y满足约束条件则z=x²+y2的取值范围为()x²+y²+2x=(x+1)2+y²-1,+y²的最小值为点(-1,0)到直线y=-x所以x2+y2+2x的最小值的距离的平方，即；例1.当实数x,y满足时，1≤ax+y<4恒成立，则实数a的取值范围是【解析】作出不等式例2.(2018·郑州质检)已知x,y满足约束条件,若目标函数z=3x+y的最大值为10,则z【解析】画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l:3x+y=0,平移l,从而可知经过C解例3.若不等式组解为坐标的点所表示的平面区域为三角形，且其面积则实数a的值为()A.-3B.1C.-3或1D.3或-1【答案】B【解析】做出不等式组对应的平面区域如图所示，若不等式组表示的平面区域为三角形，本题选择B选项.例1.若实数x满足x>-4,则函数，的最小值为_.【答案】2;;当且仅当当且仅当的最小值为2.例2.正数a,b满)若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3,+x]B.(一0,3)C.(一△,6)D.[6,+o【答案】D所以当且仅兰即a=4,b=12时，等号成立.,由题意，得16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立，所以fx)的最小值为一6,所以-6≥-m,即m≥6.【巩固训练】题型一截距型线性规划问题【答案】-282.设变量x,y满足约束条件则目标函数Z=3x+5y的最大值为()A.6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，本题选择C选项.产品都需要在A,B两种设备上加工，在每台设备A,每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h,加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h,A设备每天使用时间不超过4h,B设备每天使用时间不超过5h,C.10万元D.8万元∈为8万元.A.-1【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，【答案】D【解析】所求可视为点从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可，B.c.○○平面区域Ω:a2+b2的最大值为()A.5当点C在点N(6,1)处时，a2+b2取得最大值62+12=37,故选C.B【答案】【解析】.,由ax+y≤4得y≤-ax+4,要使ax+y≤4恒成立，则平面区域在直线y=-ax+4的下方，若a=0,则不等式等价于y≤4,此时满足条件，若-a>0,即a<0,平面区域满’综上所以实数a的取值范围’【解析】由约束条件画出可行域如下图，,3.已知直线y=k(x+1)与不等式【解析】因为直线2mx-ny-2=0(m>0,n>0)过点(1,-2),【解析】∵a+b=4,∴a+1+b+3=8,∵当且仅当a+1=b+3,最小【答案】4性质得a₉+a₂ag=4,所以2020年高考理科数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】,.,.(1)求cosB(2)若a+c=6,△ABC面积为2,求b.(2)b=2.【解析】由题设及A+B+C=π得上式两边平方，整理得17cos2B-32cosB+15=0(2)由得,故·由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB【易错点】二倍角公式的应用不熟练，正余弦定理不确定何时运用【易错点】不会把边角互换，尤其三角恒等变化时，注意符,所以所以例1在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列得b=a²+c-2acoxA3)【易错点】条件的转化运用(1)一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；(2)另一个方向是角，走三角变形之路.通常是运用正弦定理(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【解析】即由正弦定理:.【易错点】不会利用将角的关系转化为边的关系【思维点拨】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形C(2)由余弦定理b²=a²+c2-2accosB,得12=a²+c2-ac.【思维点拨】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余(4)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化解题时可以把已知条件化为角的三角函例1在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,则B、C间的距离为()【解析】因∠BAC=120°,AB=2,AC=3.∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题例2设甲、乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30,则甲、乙两楼的高分别是().【答案】D:AB₂=AC2+BC₂-2ACBCco即1600=x2+x2+x2,解得则甲、乙两楼的高【易错点】没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型【思维点拨】正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题【巩固训练】时，求b及c的长时，求b及c的长【解析】当a=2,2sinA=sinC时，由正弦定理所以或【答案】(1)略(2)得得或或.由已知及余弦定理得，a2+bz-2abcosC=7题型二利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA—sinB·所以cosA=0或sinB=sinA,【答案】等腰三角形,A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【答案】A—sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,B为钝角，△ABC是钝角三角形，选A.题型三与三角形有关的不等式问题1.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos²B+cosB=1-cosAcosC.(2)若b=2,求△ABC的面积的最大值.化简，得sin²B=sinAsinC.由正弦定理，得b2=ac,∴a,b,c成等比数列.(2)由(1)及题设条件，得ac=4.当且仅当a=c时，等号成立.∴△ABC的面积的最大值为V3.A.B.::::,,根据余弦定理故2b-c=4sinB—2sinC题型四解三角形的实际应用1.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是().∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,∠ADB=45,求A,B之间的距河流的宽度BC等于A.240(√3-1)mB.180(√Z-1)mC.120(√3-1)m【答案】C2020年高考理科数学：基本初等函数题型归纳与训练题型一指数运算与对数运算例1已知函数，的值是()A.5B.3【答案】A【解析】由题意可知f(1)=log,1=0,f((1))=f(O)=30+1=2,,,的范围再代入.【思维点拨】本题较简单，分段函数计算题代入时要先确定范围，再代入函数【答案】D【易错点】转化过程【思维点拨】x>6时可以将函数看作周期函数，得到f2019)=f(3),然后再带入3,得出f3)=f-3).A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.O<a<1,b>0A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<b【解析】由函数fx)=2k-m-1为偶函数，得m=0,所以fx)=2u-1,业1,即业∴f(x)=ax²-2x在[0,1]上单调递减.例1函数的图象可能是()BCDBC【答案】B.A,选B.法二由已知，设的图象过点(一e,一1),排除故函数f(x)为奇函数，排除A,C;当x【思维点拨】含对数函数的图象要考虑定义域，对于含对数函数的复合函数图象题，要注意判断复合后的A【易错点】忽略正无穷大时的函数值【思维点拨】判断函数奇偶性→根据选项代入特殊值判断函数值正负→根据极限判断趋近值.例1ì是奇函数，则使f(x)<0的x的取【答案】(一1,0)【解析】由fx)是奇函数可得a=-1,:定义域为(-1,1).其中所有正确命题的序号是 .【答案】①②④【解析】由已知)是以2为周期的周期函数，①正确；当-1≤x≤0时，函数y=f(x)的图象【解析】由已知)是以2为周期的周期函数，①正确；因此②④正确，③不正确.【思维点拨】研究函数性质时一般要借助于函数图象，体现了数形结合思想.【巩固训练】题型一指数运算与对数运算A.3B.6【答案】C2.化简：2lg5+1g2(1【答案】2.则x+2y的值为则x+2y的值为【答案】3.题型二指对幂函数的图象与简单性质【答案】BA.c<a<b【答案】A的大小关系是()【答案】B当a>1时，不符合题意，舍去.所以实数a的取值范围是!1).题型三二次函数的图象与性质【答案】;也可利用二次函数性质分类讨论.【答案】D【解析】二次函数(x)=ax²-2ax+c在区间[0,1]上单调递减，则所以a>0,即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x=1.所以f(O)=f(2),则当f(m)≤fO)时，有O≤m≤2.a>0也可利用f(u)=ax2-2ax+c=a(x2-2x)+c=a(x-1)?-a+c在对称轴左3.已知函数fx)=x²-2ax+5(a>1).范围.【答案】(1)a=2;(2)[2,3].∴f(x)在[1,a]上是减函数.解得a=2.的图象大致是()【答案】D【解析】从奇偶性可排除B,且易知当x>1时，原函数大于0,排除A,当x>0时，对函数y=x31gx求导单调性可排除C.故选D.AB【答案】B.【解析】自变量x满足当x>0时，可得x>1,当x<0时，可得-1<x<0,即函数fx)的定义域是(一1,0)U(1,+驚),据此排除选项A、D;函数单调递增，故函数,(1,+0)上单调递增，故选B.ACBDa=1.则则A.(0,+o)B.(1,+o)【解析】方程的根分别为x₁,x₂,所以【答案】(1)a=2,b=1;(2)解得a=2.-f(2?-k)=f(-2r²+k).2020年高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一平面向量的线性运算=设为平面向量，则()A.【解析】方法一：对于平面向量与一表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A,B均错；又一中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有,故选项D正确，选项C错误.方法二：若同向，令==,这时==一=,而=,显然对任意与的大小关系不确定，即选项A、B均错.同理，若同向，取==,则,故选C项错.【易错点】平面向量加减法线性运算性质。【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到一的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案.题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用A.-—-B.---C=—--,于是=--,而==,若设=,则有又(1)求与的面积之比.-.即面积之比为:(2)由例3.设双曲线—一的右焦点为,过点与轴垂直的直线交两渐近线于两点，与双曲线的其中一个交点为,设坐标原点为,若【解析】由题意可知一一,代入故B为正确答案.,且-,则该双曲线的渐近线为()【思维点拨】解析几何中基本量的计算要注意方程思想的应用和运算的准确性.【易错点】正六边形的性质及平面向量的加减法运算法则的应用；起点是否共点.A.0B.6C.9取点P靠近点B的三等分点.则二一二二【思维点拨】利用垂直得出的等式关系，借助长度关系建立关于夹角余弦值方程即可解决；例1.在边长为2的等边三角形中，是是的中点，设由于为线段上的一动点，故,令一；【易错点】线性转化，函数关系的构造，取值值为()满足：一与的夹角为-,二二;以所在直线为为坐标原点建立空间直角坐标系，∴一且②若与的夹角为-,求的值. 二【解析】:∵=【答案】:--二一A.-B.--C-D.-【答案】【解析】过分别作准线的垂线交准线于.因为,所以,且【解析】∵为边上任意一点∴可设∵为AM中点∴AC1.若等腰底边上的中线长为1,底角>,则的取值范围是【解析】因为等腰底边上的中线长为1,底角>,所以,所以【答案】且的最大值为()题型四平面向量的夹角与模的计算1.已知向量与的夹角为,且;∵向量与∴2.平面向量=【答案】D【解析】方法一：由题意可知，,则实数的值为,即的夹角为,且与的夹角等于与的夹角，则=()二.由两向量的夹角相等可得:因为=所以因此式可化为-方法二：以为原点，—-.解得(舍去)或-,所以的长为-.为轴建立如图的直角坐标系，过作于点由,可得-- 3.非零向量满足【解析】由题意得整理得【答案】B【解析】由题可知：∴夹角为∴夹角为钝角时，,则与的夹角的最小值是.的夹角是,若与的夹角为钝角，则的范围是()与的取值范围是,即—时，向量与的取值范围是二-.故选择B.题型六平面向量在三角函数中的应用(2)设=,若+=,求的值.2.已知向量=二--,若向量的夹角为,则有()月收入(单位：百元)54赞成人数273;(a,b₂),(a,b),(a,b),(a,b₂),(a,b),(a,(Ⅲ)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为小于70的男生人数为3:2,所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据.对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1,当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个.【思维点拨】1.简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取.适用范围：总体中的个体较少.2.系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取.适用范围：总体中的个体数较多.3.分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取.适用范围：总体由差异明显的几部分组成.4.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者.在频率分布直方图中：(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.6.独立性检验的关键①根据2×2列联表准确计算K2,若2×2列联表没有列出来，要先列出此表.量指标代表);②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值X01234P38E(X)=2.x=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5.;;X01234P318例2、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量N(μ,σ2).(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：第个零件的尺寸，i=1,2,3,,16.用样本平均数x作为μ的估计值μ,用样本标准差s作为σ的估计值σ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(i-36,μ+36)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592【答案】(1)P(X≥1)≈0.0408;E(X)=0.04