山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高二上学期11月期中质量检测数学试题【含答案解析】

2023～2024学年度第一学期期中质量检测高二数学2023.11注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根据直线的特征结合倾斜角的定义分析求解.【详解】因为直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为.故选：C.2.在棱柱中，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的加法运算法则直接计算.【详解】，故选：B.3.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】对于A选项，不存在使得成立，故能构成空间的另一个基底；对于B选项，，故不能构成空间的另一个基底；对于C选项，，故不能构成空间的另一个基底；对于D选项，，故不能构成空间的另一个基底.故选：A.4.若，，三点共线，则（）A.4 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.【详解】因为，，所以，解得．故．故选：A.5.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将直线化为，然后根据两条平行直线之间的距离公式，计算即可得出答案.【详解】将直线化为，所以，这两条平行直线之间的距离.故选：C.6.已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则满足条件的直线l有（）条.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，讨论直线是否为0，结合相切关系及点线距离公式分别求出对应切线方程即可.详解】由圆，则圆心，半径，若截距为0，设，则，此时；若截距不为0，设，则，此时；综上，共有3条件满足条件的直线l.故选：C7.圆上到直线距离为的点共有A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.【详解】圆可变为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离，圆上到直线的距离为的点共有个.故选：C.【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.8.在棱长为2的正方体中，点平面，点F是线段的中点，若，则面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，利用，找到点的坐标的关系，利用垂直关系，表示面积，再求最值.【详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，得，平面，，，当时，函数取得最小值.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量坐标的应用，本题的关键是找到点的坐标的关系，再利用，表示的面积.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的是（）A.若非零向量，，满足，，则有B.任意向量，，满足C.若，，是空间的一组基底，且，则四点共面D.对于任意向量，必有【答案】CD【解析】【分析】根据空间向量的平行和垂直关系判断A；根据空间向量的数量积运算判断B；根据空间向量基本定理，及四点共面问题判断C；向量的三解不等式判断D．【详解】对于A：若非零向量，，满足，，则，不一定平行，如在长方体中，令，，，满足，，显然，故A错误；对于B：∵，不一定共线，则不一定成立，故B错误；对于C：若、、是空间的一组基底，且，则，即，则四点共面，故C正确；对于D：对于任意向量，，必有，当且仅当与同向时取等号，故D正确；故选：CD10.下列说法正确的是（）A.截距相等的直线都可以用方程表示B.方程能表示平行轴的直线C.经过点，倾斜角为直线方程为D.经过两点的直线方程【答案】BD【解析】【分析】对于A，根据截距式方程的适用条件，可得答案；对于B，平行于轴的直线，斜率不存在，令，可得答案；对于C，根据倾斜角与斜率的关系以及点斜式方程的使用条件，可得答案；对于D，根据两点的横坐标是否相等进行讨论，可得答案.【详解】对于A，当直线的截距不为零时，可用方程，当截距都是零时，不可用，故A错误；对于B，当时，方程为，此时所表示的直线与轴平行，故B正确；对于C，当时，不存在，此时直线方程为，故C错误；对于D，当时，由斜率公式，可得，可整理为；当时，方程可整理为；故D正确.故选：BD.11.已知点在圆上，点，，则（）A.点到直线的距离最大值为B.满足的点有3个C.过点作圆的两切线，切点分别为､，则直线的方程为D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；对B，设点，根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；对C，设，进而得到切线方程MB，NB，再根据点B在两条切线上求得答案；对D，设，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案．【详解】对A，，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为．A正确；对B，设点，则，且，由题意，两圆的圆心距为，半径和与半径差分别为，于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个．B错误；对C，设，则直线MB，NB分别为，因为点B在两条直线上，所以，于是都满足直线方程，即直线MN的方程为．C正确；对D，即求的最小值，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有，设，则有，化简得，∵，则有，即，∴，则，所以，所以D正确．故选：ACD．12.在正方体中，动点满足，其中，，且，则（

）A.对于任意的，且，都有平面平面B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，存在点，使得D.当时，不存在点，使得平面【答案】ABD【解析】【分析】设正方体的棱长为，以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误．【详解】对于A选项，设正方体的棱长为，以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，，取，可得1)，，因为，设平面ACP的法向量为则，取，可得，因为，所以，所以，对于任意的且，都有平面ACP⊥平面，故A对；对于B选项，当时，点，设平面的法向量为，，，则，取，可得，且所以，点P到平面的距离为，又因为的面积为定值，故三棱的体积为定值，故B对；对于C选项，当时，则，，所以，当时，不存在点，使得，故C错；对于D选项，当时，，假设存在点P，使得AP⊥平面PCD，因为DC平面PCD，则AP⊥DC，则，可得，与题设条件不符，假设不成立，故当时，不存在点P，使得AP⊥平面PCD，故D对.故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则点坐标为____________．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算法则即可求出点坐标.【详解】设点的坐标为，又，则,即，解得；即故答案为：14.已知，则向量在上的投影向量的坐标是______．【答案】【解析】【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案.【详解】因为，，所以，向量在上的投影向量是，其坐标为.故答案为：.15.直线被圆截得的最短弦长为________.【答案】【解析】【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.【详解】直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又圆的圆心为，半径，因为，当时直线被圆截得的最短弦长，最短弦长为.故答案为：16.已知，是圆：上的两个不同的点，若，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】为和到直线距离之和的倍，是的中点到直线距离的倍，利用点轨迹，求取值范围.【详解】由题知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以．设为的中点，所以，所以点的轨迹方程为．点的轨迹是以为圆心半径为的圆.设点，，到直线的距离分别为，，，所以，，，所以．因为点到直线的距离为，所以，即，所以．所以的取值范围为．故答案为：【点睛】思路点睛：利用的几何意义，问题转化为为和到直线距离之和，再转化为的中点到直线距离，由点轨迹是圆，可求取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知空间三点、、，设，．（1）设，//，求．（2）若与互相垂直，求．【答案】（1）或（2）或．【解析】【分析】（1）利用向量共线定理，结合即可得出；（2）利用向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系即可得出.【小问1详解】由于，，则，由于//，设，由，则，即有，则或．【小问2详解】与互相垂直，则，则，由（1），，即有，解得或．18.已知圆与圆（1）求经过圆与圆交点的直线方程：（2）求圆与圆的公共弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.【小问1详解】圆的圆心为，半径为，圆即，圆心为，半径为，则，故圆与圆相交；将圆与圆的方程相减，得，即经过圆与圆交点的直线方程为；【小问2详解】圆的圆心为，半径为1，到直线的距离为，故圆与圆的公共弦长为.19.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．（1）用，，表示向量；（2）在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）当时，【解析】【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可；（2）设，，用，，表示向量，依题意可得，根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解．【小问1详解】解：因为是中点，所以，所以；【小问2详解】解：假设存在点，使，设，，显然，，因为，所以，即，，，，即，解得，所以当时，.20.已知的顶点，边上的高线所在的方程为，角的角平分线交边于点，所在的直线方程为.（1）求点的坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设点，由，所在的直线方程建立方程求解即可；（2）根据角平分线的性质求关于直线的对称点，即可求直线方程.【小问1详解】设，则由题意可知①，又，所以②，联立①②方程解得，即；【小问2详解】设关于直线对称点，则有的中点在直线上，即，解之得，显然直线为的角平分线，即直线与重合，则，所以直线的方程为.21.如图，己知在四棱锥中，平面，点在棱上，且，底面为直角梯形，，分别是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，由，即可证明；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.【小问1详解】以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，由，分别是的中点，可得：，∴，设平面的的法向量为，则有：，令，则，∴，又平面，∴平面.【小问2详解】设平面的的法向量为，又则有：，令，则，所以又，设直线与平面所成角为，∴，∴求直线与平面所成的角的正弦值为.22.已知圆经过两点，，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）设直线与圆相交于，两点，为坐标原点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用几何法求出圆心坐标，圆心到点的距离求出半径，最后写出圆的半径；（2）联立直线方程和圆的方程，根据求出直线的