第13章 轴对称（单元复习课件）-人教版初中数学八年级上册

单元复盘提升思维导图知识串讲一、轴对称的相关定义和性质(1)如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做____________，这条直线就是它的_________.(2)将一个平面图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线就是它们的对称轴.轴对称图形对称轴1.定义知识串讲(3)轴对称图形的________，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.性质(1)关于某直线对称的两个图形是全等图形；(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的____________；垂直平分线对称轴二、垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.相等判定：与线段两个______距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．端点知识串讲点(x，y)关于

x轴对称的点的坐标为

；三、平面直角坐标系中的轴对称(x，-y)点(x，y)关于

y轴对称的点的坐标为

.(-x，y)四、等腰三角形的性质及判定1.性质(1)两腰相等；(4)___________、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.顶角平分线(3)两个_______相等，简称“等边对等角”；底角(2)是轴对称图形，等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴；知识串讲2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形；(2)如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“____________”）.等角对等边五、等边三角形的性质及判定1.性质(1)等边三角形的三边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于_____；(3)是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线；(4)任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.60°(5)在直角三角形中，30°

角所对的直角边等于斜边的一半.知识串讲2.判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的___________是等边三角形.等腰三角形六、有关作图1.过已知直线外的一点作该直线的垂线；2.作线段的垂直平分线；3.最短路径问题：(1)将军饮马问题；(2)造桥选址问题.考点梳理考点一：轴对称及轴对称图形例1下列交通标志中，是轴对称图形的是（）

ABCDC刻意练习练1如图，∠3

=

30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1

的度数为______.60°练2如图，如果直线l是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝120°，∠C＝110°，那么∠CDE的度数等于（）

A．40° B．60° C．70° D．80°

D练3将一张矩形纸片叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=_____cm．6考点梳理考点二：关于坐标轴对称的点的坐标例2按要求完成作图：(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标：xyOABCA1B1C1A1在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m的值分别为（）A.3，-2B.-3，-2C.3，2

D.-3，2CP(-3,0)例3刻意练习练6已知点P1（a＋1，4）和P2（2，b）关于y轴对称，则a－b的值为（）

A．－7 B．－1 C．1 D．5

A点（－1，2）关于x轴对称的点的坐标是（）

A．（1，2） B．（1，－2）

C．（－1，－2） D．（2，－1）

点P（3，4）关于y轴对称的点的坐标是（）

A．（3，－4） B．（－3，4）

C．（－4，－3） D．（－4，3）

CB练4练5考点梳理考点三：线段垂直平分线的性质和判定例4如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝10，

△ABD的周长是40，则△ABC的周长是（）

A．70 B．60 C．50 D．40

B已知△ABC，∠BAC=110°，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线且DE交BC于M点，FG交BC于N点，求∠MAN的度数.解：设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴110°+∠B+∠C=180°，∴x+y=70°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC-（x+y）=110°-70°=40°．（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）例5刻意练习练7

如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝110°，则∠EAF为（）

A．35° B．40°

C．45° D．50°

B如图，已知AC=AD，BC=BD，则（）A.CD平分∠ACBB.CD垂直平分ABC.AB垂直平分CDD.CD与AB互相垂直平分C练8刻意练习练9在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，

已知AB+BD=DC.求证：E点在线段AC的垂直平分线上．证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD=DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB+BD=AE+DE，又∵AB+BD=DC，∴DC=AE+DE，∴DE+EC=AE+DE∴EC=AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．考点梳理考点四：等腰三角形的性质和判定例6如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，下列结论中不正确的是（）

A．D是BC中点B．AD

平分∠BAC

C．AB＝2BDD．∠B＝∠C

C如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD.

求证：△OAB是等腰三角形．

∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BCA，在Rt△ABD和Rt△BAC中，

，∴Rt△ABD≌Rt△BAC，∴∠ABD＝∠BAC，∴OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形．

例7刻意练习练10长方形具有对边平行的特征，将长方形ABCD按如图所示折叠．

（1）若∠FEC＝64°，求∠1的度数；

（2）求证：△EFG是等腰三角形．

解：(1)由折叠得∠GEF＝∠CEF＝64°，∴∠GEB＝52°，∵AD∥BC，∴∠1＝∠GEB＝52°.(2)由折叠得∠GEF＝∠CEF，∵AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，∴∠GEF＝∠GFE，∴EG＝FG，∴△EFG是等腰三角形．刻意练习练11如图，AB∥CD，E是BC的中点，DE平分∠ADC，延长DE交AB的延长线于F.（1）求证：△BFE≌△CDE；（2）求证：AE⊥DF.

解：(1)∵AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，在△BFE和R△CDE中，

，∴△BFE≌△CDE.

(2)∵AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，由(1)得△BFE≌△CDE，∴DE＝FE，∴AE⊥DF.考点梳理考点五：等边三角形的性质和判定例8在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（）A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等边三角形D.△ADE的周长是9B刻意练习练12如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，

点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，

则BC=_____．2如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，

过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．练13考点梳理考点六：含30°角的直角三角形例9如图，△ABC为等边三角形，

DC∥AB，AD⊥CD于D，若CD＝2，

则AB的长度为

．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，

AD是△ABC的角平分线，

CD＝2，则BC＝

．

46例10刻意练习练14如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，

AE⊥AC，DE垂直平分AB于D，若DE＝2，

则EC＝

．

如图，等边△ABC中，AD＝BD，过点D作DF⊥AC

于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF＝6，则

线段BE的长为

．

815练15考点梳理考点七：最短路径问题例11如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，

AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）A．7.5B．5C．4D．不能确定BABCDFE解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，

即点B与点C关于直线AD对称.

∵点F在AD上，故BF=CF.

即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，

故连接CE即可，

线段CE的长即为BF+EF的最小值.刻意练习练16如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10．若在OA、OB上分别