专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题13双曲线中的定点、定值、定直线问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．P为椭圆上异于左右顶点，的任意一点，则直线与的斜率之积为定值，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线上异于左右顶点，的任意一点，则（

）A．直线与的斜率之和为定值B．直线与的斜率之积为定值C．直线与的斜率之和为定值D．直线与的斜率之积为定值【解析】设，则，即：，，，，为定值.故选：D.2．已知直线l：与双曲线C：交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线C的另一个交点为T，则（

）A． B． C．1 D．2【解析】设，，，，则.由得，，则，.，∴，∴.故选：B.3．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1＋k2 B．|k1－k2|C．k1k2 D．【解析】由题意可得A(－a，0)，B(a，0)，设P(m，n)(m＞0，n＞0)，可得即，又k1＝，所以k1k2＝，所以k1k2为定值，不为定值；，不为定值；，不为定值故选：C4．已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（

）A．2 B．1 C． D．【解析】由题意设直线方程为，直线方程为，设则，同理，所以，，即.故选：D5．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（）A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化【解析】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)，…………(2)由(1)+(2)得，.故选：A6．已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（

）A． B． C． D．【解析】双曲线的两条渐近线方程为，所以，因为焦距为，所以，又，所以，，故双曲线的方程为．设点，则根据对称性可知，点，，，所以，且，，两式相减可得.故选：B7．已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【解析】由题得，设的中点的中点，则，得，所以，所以①，同理得②，因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即，因为直线l的斜率存在，所以，所以，即点E在直线上.故选：A.8．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称（其中）的双曲线为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原点O为圆心，实轴长为直径作，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则（

）A． B． C． D．【解析】设，则，即.因为，，所以，解得.由题意四点共圆，圆心为的中点，半径为，所以方程为；的方程为；两式相减可得直线的方程，令得，即；令得，即；，所以.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，下列结论正确的是（

）A．B．双曲线的渐近线方程为C．存在点，满足D．点到两渐近线的距离的乘积为【解析】对于A选项，因为，，则，所以，双曲线的方程为，则，A错；对于B选项，双曲线的渐近线方程为，B对；对于C选项，若存在点，使得，则点必在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，可得，设点，则，则，矛盾，故不存在点，使得，C错；对于D选项，设点，则，则点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以，，D对.故选：BD.10．已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设的面积为S，则（

）A．为定值 B．为定值C．为定值 D．为定值【解析】不妨设，则，，，因此，其中．对于选项A，为定值．对于选项B，由于，因此若为定值，则为定值，从而和是确定的值，矛盾，对于选项C，D，有，因此是定值，不是定值．故选：AC.11．已知点P为双曲线上任意一点，为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（

）A．为定值 B．O、P、M、N四点一定共圆C．的最小值为 D．存在点P满足P、M、三点共线时，P、N、三点也共线【解析】设，点到渐近线的距离为，同理，则，，即，（定值），故A正确；当M、N均不与O重合时，由，和均为直角三角形，故M，N两点在以OP为直径的圆上；当M、N有与O重合时，也满足O、P、M、N四点共圆．故B正确；由双曲线的对称性可知，其中，，成立，故C正确；如图，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为M；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，故D不正确．故选：ABC．12．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（

）A．的最小值为8B．若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6C．为定值D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为【解析】依题意，，，，，，设，则，，即，双曲线C的两条渐近线方程为，对于A，，A正确；对于B，若Q在双曲线C的右支，则通径最短，通径为，若Q在双曲线C的左支，则实轴最短，实轴长为，B错误；对于C，是定值，C正确；对于D，不妨设，，直线l的方程为，由得，若直线l与双曲线C相切，则，化简整理得，则点M，N的纵坐标之积，D正确.故选：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．设P是双曲线右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则的值为．【解析】渐近线方程为，设，则，所以．由点到直线的距离公式有，，∴.14．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线（且）与双曲线交于A，B两点，直线，的斜率的倒数和为，则直线恒经过的定点为.【解析】因为双曲线方程为一条渐近线的倾斜角的正切值为.所以，解得，所以双曲线方程为.设，，联立得，.由韦达定理得，.因为，所以.所以，由题意知，此时.所以直线方程为，恒经过的定点为.15．双曲线的离心率为，分别是的左，右顶点，是上异于的一动点，直线分别与轴交于点，请写出所有满足条件的定点的坐标.【解析】双曲线的离心率，，即双曲线，，，设，则，，直线，，，，设，则，，，又，，，解得：，定点或.16．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为．【解析】设，，，，则，由，可得，则，，所以，要使为定值，则，可得，，或，，，故．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．从双曲线上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，点分别是双曲线的左、右顶点，点，且，.(1)求双曲线的方程；(2)过点作直线分别交双曲线左右两支于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上.【解析】（1）令，代入双曲线方程可得，所以设，，因为，所以，即，所以.因为，所以，所以，，，所以双曲线的方程为.

（2）设，，直线，联立可得，，由可得或，所以，，直线

①直线

②

③由①÷②可得把③代入上式化简可得，解得，所以点在定直线上.

18．已知双曲线过点，且焦距为.(1)求的方程；(2)已知过点的动直线交的右支于两点，为线段上的一点，且满足，证明：点总在某定直线上.【解析】（1）由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为.（2）设点、、，因为，即，记，

又A、P、B、Q四点共线，则，，即，，有，，得，，又因为，则，作差可得，即，得，即，故点Q总在定直线上.19．已知双曲线的焦距为，点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)点是双曲线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点，且，求证：直线过定点，并求出该定点坐标.【解析】（1）由题意知，解得，，，双曲线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，联立方程组，消去，得，则，，所以直线方程为，令，则，同理直线方程为，令，则，由，可得，即，即，即，即，即，即，即，当时，，此时直线方程为，恒过定点，不符合题意；当时，直线方程为，恒过定点符合题意，综上所述，直线过定点.

20．已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【解析】（1）设到渐近线，即的距离为，则，结合得，又在双曲线上，所以，得，所以双曲线的标准方程为.（2）联立，消去并整理得，则，，即，设，，则，，则，所以，所以，所以，整理得，所以，所以，因为直线不过，即，，所以，即，所以直线，即过定点.

21．已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①为定值；②为定值；③为定值【解析】（1）设是上的一点，与是的两条渐近线，到两条渐近线的距离之积，依题意，，故，双曲线的标准方程为；（2）正确结论：③为定值.证明如下：由（1）知，，设，，因为，不与，重合，所以可设直线：，与联立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，不是定值，②，不是定值，③，所以是定值.

22．已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.(1)求双曲线的方程.(2)过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【