专题4.9 导数综合练（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题4.9导数综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，求出不等式的解集即可.【详解】函数的定义域为.，则.令，解得.故选：D2．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）函数的导数（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数公式可得.【详解】由知故选：B3．（2023春·吉林·高三校联考期中）曲线在点处的切线垂直于直线，则（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于的方程，解出后可得正确的选项.【详解】，所以，因为在点处的切线垂直于直线，故切线的斜率为，故即，故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数，结合题意可得，进而得到时，函数单调递减，转化为，结合单调性即可求解.【详解】设，则，即当时，函数单调递减，由，所以，即，所以，解得，则不等式的解集为.故选：D.5．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）设有三个不同的零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，构造函数和，画出函数图像，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图像关系即可求解．【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出函数的图像，直线过定点，当时，设过的直线与的切点为，由，得，所以，故切线方程为，把定点代入得：，即，所以，即直线的斜率为，由图知，当时，与有三个交点，所以使有三个不同的零点的的取值范围是.故选：C.6．（2023春·广东茂名·高三广东高州中学校考期中）设函数，若是函数的极大值点，则函数的极小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，求出的值，即可求出，再对求导，得到单调性，即可求出答案.【详解】由，得，又是函数的极大值点，，，则，，令，得或，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，则当时，的极小值为.故选：D.7．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）已知函数，分别与直线交于点，，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依题意，表示出两点坐标和，构造函数，利用导数研究单调区间和最值.【详解】

由题意，，，其中，且，所以，令，，则时，解得，所以时，；时，；则在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，故选：B．8．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设函数的导数为，且，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】可先求函数的导数，令求出即可.【详解】由，令得，解得.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，满足，（e为自然对数的底数），且，则（

）A． B．C．在处取得极小值 D．无最大值【答案】AD【分析】由题意，构造函数，利用导数可得新函数的单调性，解得函数的解析式，根据导数求得该函数的单调性，可得答案.【详解】解：设，则，可设，则，解得，故，即，令，则，故在上单调递增，∴，即，则，A正确；∵，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，∴，在处取得极小值，无最大值，B、C均错误，D正确．故选：AD.10．（2023春·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考期中）下列结论中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用基本初等函数求导公式，复合函数求导公式以及导数的运算法则的进行求导，逐项分析即可.【详解】对于A，常数的导数等于0，故A错误；对于B，令，，则，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，利用公式，故D正确.故选：BD.11．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求导，利用基本不等式可得导数范围，然后可得垂线斜率范围，进而可得答案.【详解】的定义域为，，即直线的斜率，设与垂直的直线的斜率为，则，所以，．故选：AB．12．（2023春·湖北·高三宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知函数，则（

）A．函数在上单调递增 B．有三个零点C．有两个极值点 D．直线是曲线的切线【答案】CD【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何意义求已知斜率的切线方程.【详解】函数，定义域为R，，，解得或；，解得，在和上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，，，函数图像如图所示，则函数的图像与轴只有一个交点，即只有一个零点，所以AB选项错误，C选项正确；曲线切线的切点坐标为，当切线斜率为2时，，解得，当时，切点坐标为，切线方程为，即，D选项正确.故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2023春·广东江门·高三新会陈经纶中学校考期中）已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为_______．【答案】【分析】根据题意得函数在区间内单调递增，利用导函数与单调性的关系即可得恒成立，即可求解.【详解】不妨设，则由，可得，即，设，则在区间内单调递增，，则在区间内恒成立，即，也即，因为二次函数在单调递减，所以，所以，故答案为:.14．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考期中）函数的导函数的图像如图所示，以下结论正确的序号是______．

（1）是函数的极值点；（2）是函数的极小值点（3）在区间上严格增；（4）在处切线的斜率大于零；【答案】（1）（3）（4）；【分析】利用导函数与原函数的关系一一判定即可.【详解】由图象可得时，，且时，时，即是函数的极小值点，（1）正确；而时，，但与时，，∴不是函数的极值点，（2）不正确；由图象可知上，∴在区间上严格增，（3）正确；处，所以该处切线的斜率大于零，（4）正确；故答案为：（1）（3）（4）；15．（2023春·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）函数，其中，函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是_________【答案】【分析】根据平均变化率公式求出与，再比较大小即可；【详解】依题意，，所以，而，所以.故答案为：16．（2023·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为______【答案】【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【详解】的定义域为，求导得，令，解得，则，故切点坐标为，故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导函数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】根据函数的求导公式和四则运算即可求解.【详解】（1），所以.（2），所以.（3），所以，.（4），所以.（5），所以.（6），所以.18．（2022·天津·高三专题练习）设函数（其中无理数，）．(1)若函数在上不是单调函数，求实数的取值范围；(2)证明：设函数的图象在处的切线为，证明：的图象上不存在位于直线上方的点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由单调性可知在上必存在变号零点；分别在仅有一个变号零点和两个变号零点的情况下，结合二次函数性质构造不等式组求得结果；（2）利用导数的几何意义可求得切线斜率，可得：；令，利用导数可求得单调性，得到，由此可得结论.(1)由题意得：，在上不是单调函数，在上必存在变号零点；令，当在有且仅有一个变号零点时，，解得：；当在有两个变号零点时，，不等式组无解；综上所述：实数的取值范围为.(2)，，又，切线方程为：，即；令，，令，解得：或（舍）；当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即，的图象上不存在位于直线上方的点【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明函数图象之间的关系；本题证明的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为所构造函数最值的求解问题，通过说明得到所求的函数与直线的位置关系.19．（2023·全国·高三专题练习）．(1)当时，求的单调区间与极值；(2)当时，设，若既有极大值又有极小值，求a的取值范围．【答案】(1)的单调增区间为，单调减区间为；极大值为，无极小值；(2).【分析】（1）由题可得导函数，然后根据导数与函数单调性及极值关系即得；（2）由题可得有两个不等正根，进而可得有两个不等正根，然后构造函数，利用导数研究函数的性质作出函数的大致图象利用数形结合即得.【详解】（1）因为，当时，，所以，由，得，由，得，所以的单调增区间为，单调减区间为；所以在处有极大值，极大值为，无极小值；（2）因为，所以，则有两个变号零点，由，可得，所以有两个不等正根，设，则，由，可得，函数单调递增，由，可得，函数单调递减，所以在处有极大值，，又，时；时，，作出函数的大致图象，由图象可知要使有两个不等正根，则，即a的取值范围为.【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.20．（2023春·高三课时练习）已知，函数.求在区间上的最小值．【答案】答案见解析.【分析】先求导，再对分三种情况讨论，结合函数的单调性求出函数的最小值.【详解】因为，所以，x∈．令得x=a.①若a≤0，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．②若0<a<e，则当x∈时，，函数在区间上单调递减；当x∈时，，函数在区间上单调递增，所以当x=a时，函数取得最小值lna.③若a≥e，则当x∈时，，函数在区间上单调递减，所以当x=e时，函数取得最小值.综上可知，当a≤0时，函数在区间上无最小值；当0<a<e时，函数在区间上的最小值为lna；当a≥e时，函数在区间上的最小值为.21．（2022·高三课时练习）如图①是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r分米的半圆，及矩形ABCD组成，其中AD的长为a分米，如图②所示．为了美观，要求r≤a≤2r．已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分(箱体)的制作费用为每平方分米1百元，上半部分(箱盖)制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y百元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？【答案】(1)，r∈；(2).【分析】(1)根据容积为4立方分米即可用r表示出a，再根据题意即可表示出y关于r的函数表达式；(2)令y＝f(r)，根据导数正负判断f(r)的单调性即可判断其最小值，从而求解问题.（1）由题意可知，∴，由r≤a≤2r，得．∴，即y，定义域为；（2）令，∴，令，即，解得，当时，，为增函数，当时，，为减函数．又∵，∴在上为增函数，∴当时，首饰盒的制作费用最低．22．（2023