2021届人教A版（文科数学） 计 数 理 单元测试

2021届人教A版（文科数学）计数原理单元测试

（X--）0

1、X的展开式中的常数项为（）

A.20B.-20C.15D.-15

2、若（5x-y）”展开式的系数之和等于（2019.+201助）1°展开式的二项式系数之和,

则n的值为（）

A.15B.10C.8D.5

3、若3C„J=5Ad,则n的值是（）

A.11B.12C.13D.14

4、（2x—l）5的展开式中/的系数是（）

A.-80B.80C.—5D.5

5、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各

两名，分乘甲、乙两辆汽车.每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），

其中大一的李生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自

于同一年级的乘坐方式共有（）

A.24种B.18种C.48种D.36种

6、

已知（2+以）（1-2呼的展开式中，含一项的系数为70,则实数。的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

7、二项式（正-子1的展开式中常数项为（）

A.5B.10C.-20D.40

8、5个A,5个B,5个C排成一排，前5个字母没有A,中间5个字母没有B,最

后5个字母没有C,则不同的排法共有（）种

5151

A.＞（Cf）3B.C.325D.315

h5（51）3

9、A.B.C.D.E共5人站成一排，如果A.B中间隔一人，那么排法种数有（）

A.60B.36C.48D.24

10、现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为

（）

p3.p3Ps_P6.p3p3.n5p8_p4

A.GJB.63C.65D.s6

11、有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的

不同分派方法种数为（）

A.150B.180C.200D.280

12、如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q,R,S,计划建立三座独立大桥，将这

四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接

方式有（）.

0

、----

p

A.24种B.20种C.16种D.12种

13、

(l+-)(l+2x)n

已知(1+展开式中只有第4项的二项式系数最大,则x展开式中常数

项为.

14、已知”=1sinxdx,则(x+——)‘的展开式中的常数项是_________.

Joax

15、〃个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？

16、用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如下图)，

使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”

的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有种.

□O

□匚□

1

17、已知集合A可表示为｛a,a2,a｝,求实数a应满足的条件.

18、设全集U=R,M=｛，川方程/苏-x-l=0有实数根｝

N=｛川方程^_x+〃=o有实数根｝,求(「加)0乂

19、已知M)的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36.

(I)求〃的值；

3

(II)求展开式中含户的项及展开式中二项式系数最大的项.

(2_r｝''

20、若二项式“的展开式中的常数项为第5项.

⑴求n的值；

(2)求展开式中系数最大的项；

21、求(l+2x-3/)6的展开式中式项的系数.

22、求二项式(近-4产的展开式中:

(1)第三项；(2)所有有理项.

参考答案

1、答案C

(X2—)61_0k,2、6-k,-l»k_/11k-k12-3k

x的展开式的通项Tk+l=Cqx)(-x)=(-1)C6x,令12-3k=0,得k=4,即常

44

数项为(-1)。6=15；故选C.

2、答案D

由二项式定理可得(2019。+2。18份”>展开式的二项式系数之和为210,(5x->)“展开式

的系数之和(5-1)=4\再列方程求解即可.

详解

解：由题意有(2°19。+201昉)'°展开式的二项式系数之和为严，

令x=l,y=l,则(5x-y)"展开式的系数之和(5T)=4\

即4"=2,所以"=5，

故选:D.

名师点评

本题考查了二项式展开式系数及展开式二项式系数，重点考查了二项式定理，属基础题.

3、答案A

4、答案A

5、答案A

根据题意，由于大一的李生姐妹需乘同一辆车，那么如果甲车4名同学中恰有2名同学

是大一的李生姐妹，那么只需从剩余的6人中任意选两个人，有C；C；C；=12种，或者

甲车4名同学中恰有2名同学不是大一的李生姐妹，而是大二，大三或者大四，则有C；,

然后从剩余的6人中任意选两个人，有C；C；=4种，结合分步乘法计数原理可知为

12+12=24,故选A.

6、答案A

(2+办)(1-2x)5=2(]_24+or(l-2X)’

(1—2x)5展开式的通项公式为：&=Gxl5-rx(—2。=(一2)’GV,

取「=2,含有V的项为：2x(—2)2go/,

取厂=1,含有一的项为：^(-2)'C5X1=-10ax2,

结合题意由：80-10。=70,解得：a=\.

本题选择A选项.

7、答案D

仁跖）3（—壬2=40

由题可知,展开式中的常数项为，故选口.

8、答案A

9、答案B

解：因为将A,B排列有A；,然后选一个人排在中间，作为整体共有C；,然后其余的人任

意排列即可共有A；,利用分步计数乘法原理得到共有C；A；&=36,选B

12..将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数

为（）

A.24B.36C.48D.96

答案B

解：因为将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则

G4G用=36种，选B

4=1+1+2,分为三组，然后分配，则不同的放法种数为

4

10、答案c

先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3个位置排甲、乙、丙三人，即年.6,选

C.

11、答案A

试题分析：根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3,分别计

算两种情况下的情况数目，相加可得答案.

试题解：人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.

C3c1

若是1,1,3,则有3=60种，

4A3

2c2

若是1,2,2,则有-532x3=90种

A2A3

A2

所以共有150种不同的方法.

故选：A.

考查目的：排列、组合及简单计数问题.

点评：本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定.

12、答案D

由建桥的方式可以分为两类：（1）从一个地方出发向其他三个地方各建一桥，（2）一个

地方最多建两桥但不能交叉，利用去杂法，即可求解.

详解：由建立三座大桥，将这四个地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体

交叉形式，

可分为两类：

第一类：从一个地方出法向其他三个地方各建一座桥，共有4种不同的方法；

第二类：一个地方最多建两座桥，如这样的建桥方法：尸-5-/?一。和°一;?一5一尸属于

LA：=12

相同的建桥方法，所以共有2种不同的方法，

其中交叉建桥方法，例如：这样建桥P-Q，。一旦Q-S不符合题意，共有4种，

所以第二类建桥，共有12-4=8种不同的建桥方法.

综上可得，不同的连接方式有4+8=12种.

故选：D

名师点评

本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，以及排列的计算公式的应用，

着重考查分析问题和解答问题的能力，属于较难试题.

13、答案61

(l+H(l+2x)n

分析：根据题设可列出关于n的不等式，求出n=6,代入可求x展开式中常

数项为61.

-3

详解：r(l+2x)的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即%最大，

32

"\r3r4

Fnf,解得5<n<7,

*

又n6N,・•・n=6,

1n

(1+—)(l+2x)022_

则X展开式中常数项为‘6+C6・2=61

名师点评：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的

项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式L+1.

14、答案160

15、答案〃

每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2'2、...*2(〃个2)=2"

16、答案108

17、答案aWO,aWl,aWT.

试题分析：分析：利用元素的互异性求解.

1

a工一

（a

1a2」

详解：由题意可得A二｛a,a：斗，由集合中元素的互异性可得1aa,解得

aWO,aWl,aWT.故实数a应满足的条件为a7^0,aWl,aWT.

名师点评：本题考查集合中元素的互异性，由集合中元素两两不等，可得a的范围.

18>答案当m=0时，x=-l,KP0eM；当相。0时，△=1+4/%之0,即加之一!，

4

且机WOAm>CJJM-|m<1而对于N,△=1-4〃20,即〃W；,

***N=|〃W—j,*,•：

19、答案（I）8；（II）1120~.

x6

试题分析：分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值；

（2）二项展开式的通项公式中，令x的幕指数等于士，求得r的值，可得展开式中含炉

2

的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.

详解：（I）由题意知，第二项的二项式系数为C：,第三项的二项式系数为C：,

.y+q=36,得：/+〃—72=（）,

:G*除■电・。

得〃=8或〃=一9（舍去）.

（□）（&-的通项公式为:

I-V）

r\8-5A

Tk+]=以（五严（—彳）《=（-1）*2*。«亍，令8-5k=3,求得k=l,

x~

333

故展开式中含妙的项为4=-2以/=_]6/.

又由”=8知第5项的二项式系数最大，此时r

名师点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性

质，属于基础题.

5

20、答案(1)10；(2)15360x6.

试题分析：(1)根据二项式的展开式的通项公式求出n的值，(2)根据二项式的展开式

的通项公式系数列不等式组，解得系数最大时的项数，再代入通项公式得结果.

详解

⑴因为二项式的展开式的通项公式为L+1=4展)的,

所以X的指数为-7+；.

又因为嗫+底)的展开式中的常数项为第五项，

n-44

所以r=4,且-^"+『0,解得n=10.

(2)因为Tr+l=C：。电(2其系数为C>21°：

设第k+l(kCN)项的系数最大，

k.10-kk+1.9-k

'Jo/-^10乙

l2(k+l)>10-k,811

化简得lU-k“k,即

55

因为k^N,所以k=3,即第四项系数最大，且T4=C]=27-X'=15360X：

名师点评

本题考查二项式的展开式的通项公式及其应用，考查综合分析与运算能力