苏教版数学必修二讲义第1章1.31.3.1空间几何体的表面积Word版含答案

1.3空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积学习目标核心素养1.了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征．(重点)2.了解柱、锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式)．(易错点)3.会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积．(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学运算核心素养.1．几种特殊的多面体(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．2．几种简单几何体的侧面展开图与侧面积几何体直观图侧面展开图侧面积直(正)棱柱S直(正)棱柱侧＝ch正棱锥S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′正棱台S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′圆柱S圆柱侧＝cl＝2πrl圆锥S圆锥侧＝eq\f(1,2)cl＝πrl圆台S圆台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)l思考：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？提示：S圆柱侧＝2πrleq\o(→,\s\up16(r′＝r))S圆台侧＝π(r′＋r)leq\o(→,\s\up16(r′＝0))S圆锥侧＝πrl.1.思考辨析(1)棱长都相等的长方体是正方体． ()(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱． ()(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱． ()(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．正三棱锥的底面边长为a，高为eq\f(\r(3),3)a，则此棱锥的侧面积为________．eq\f(\r(15),4)a2[如图，在正三棱锥S­ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),6)a，所以侧面积S＝3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(15),6)a×a＝eq\f(\r(15),4)a2.]3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于__________．2π[以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.]4．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为__________．6π[S＝2π×1×2＋2π×12＝6π.]棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积【例1】正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．思路探究：由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．[解]如图，设PO＝3，PE是斜高，∵S侧＝2S底，∴4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2.∴BC＝PE.在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE.∴9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PE,2)))eq\s\up12(2)＝PE2，∴PE＝2eq\r(3).∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12.S侧＝2S底＝2×12＝24.∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，[解]如图所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，所以S侧＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′.又A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq\f(\r(3),4)×(202＋302)＝325eq\r(3)(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325eq\r(3)，所以DD′＝eq\f(13,3)eq\r(3)(cm)，又因为O′D′＝eq\f(\r(3),6)×20＝eq\f(10\r(3),3)(cm)，OD＝eq\f(\r(3),6)×30＝5eq\r(3)(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝eq\r(D′D2－（OD－O′D′）2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(3),3)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\r(3)－\f(10\r(3),3)))\s\up12(2))＝4eq\r(3)(cm).圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积【例2】已知圆锥的底面半径为R，高为3R.若它的内接圆柱的底面半径为eq\f(3,4)R，求该圆柱的全面积．思路探究：作出轴截面，转化为平面问题，利用比例关系找出高与半径的函数关系．[解]设圆柱底面半径为r，高为h，由题意知r＝eq\f(3,4)R，∴eq\f(h,3R)＝eq\f(R－r,R)，∴h＝eq\f(3,4)R，∴S圆柱全＝2πr2＋2πrh＝2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)R))eq\s\up12(2)＋2πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)R))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)πR2.1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键．2.解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题，通常是作出轴截面，转化为平面问题来求解．2．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°[解]如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圆台的表面积为1100πcm2.几何体侧面积和全面积的实际应用[探究问题]如图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积与正方体的表面积之比为多少？(1)(2)[提示]由已知可得正方体的边长为eq\f(\r(2),2)a，新几何体的表面积为S表(2)＝2×eq\f(\r(2),2)a×a＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝(2＋eq\r(2))a2.S表(2)∶S表(1)＝(2＋eq\r(2))a2∶6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝(2＋eq\r(2))∶3.【例3】用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂)，桶口直径为30cm，桶底直径为25cm，母线长是27.5cm，已知每平方米需要油漆150g，思路探究：求水桶的表面积→计算总油漆量．[解]每个水桶需要涂油漆的面积为S＝(S桶底＋S侧)×2＝πeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.25,2)))\s\up12(2)＋\f(0.25,2)×0.275＋\f(0.3,2)×0.275))×2＝0.1825π(m2)，因此100个水桶需要油漆100×0.1825π×0.15≈8.6(kg)．对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题，求解的关键是把题设信息数学化，然后借助数学知识解决该问题．3．一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，[解]圆柱形物体的侧面面积S1≈3.1×1×3＝9.3(m2)，半球形物体的表面积为S2≈2×3.1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)≈1.6(m2)，所以S1＋S2≈9.3＋1.6＝10.9(m2)，即10.9×150≈1635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体的表面积求法，难点是求组合体的表面积．2．本节课要掌握的规律方法(1)求简单空间几何体侧面积、表面积的方法技巧．(2)求组合体的表面积方法．3．本节课易错点是求几何体表面积时弄错数据和运算错误．1．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于()A．42π B．51πC．58π D．67πD[S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底＝π(3＋4)×6＋π×32＋π×42＝67π.]2．一个正六棱柱的侧面都是正方形，底面边长为a，则它的表面积是________．6a2＋3eq\r(3)a2[正六棱柱的表面积为6a2＋3eq\r(3)a2.]3．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．4πS[设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝eq\r(\f(S,π))，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2eq\f(S,π)＝4πS.]4．一座仓