考研数学真题极极限和连续

考研数学真题极限与连续数学考研取得高分主要的几个环节：•1.客观题（选择题、填空题）必须处理好一一快、准！•2.手必须熟，笔不离手，不但会算而且算的快、算的准！•3.归纳总结每一章的重点题型、常用方法、常用结论及有关技巧!重点题型一：求极限•L函数求极限常考题型：七种未定式的极限常用方法：等价代换、洛必达法则、泰勒公式、拉格朗日中值定•常用结论：•*-«a■j*jnminrs.描_值城穷关蘿linftJJ-.4^..rijj.4+ff_其哗hki'.Z-bd+jl-y?1等鎗代裁羣邏guiri*i(忽如AML隹Oh_fiH

A*.J-laJ—yf'ij-«rt«1■^yJ,|1霣_的_»代》i

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〜*4--】〜：rfn+jrb—1*»trd十j+++十+肉、aibj-"j~yIflJ*(S)如霰•〜人卜f_*bu^-=a*h•么fl—卜/-f'apa—皿、學么a+芦〜if+/T.1几十轚•甬徽的奉瞧屑拜式In■b4-r今Ph(1^)*=I+!><?).4,寶限职#的等快<J(rhf1(j>((jJ*f1Q>(1)*lrlr)*f*(jh/tr)-r(JhH/⑴

dr-’*/*<，)*(数二)解法3/(j)/w/44liniX—Iiff/

Vrlf/(j'—/)dz0[2005]—f)f(t)dt设函数/Cr)连续_且/(0)乒0.求极限lini_：—=1_lim-(x—O/(f)dfL」。,t-=10if0’"i/hh0遡221戸/卜輪=101__L22L£_=1__1121_=丄lim/(.r)+/(0)■f(0)+/(0)'Vr-*0解=2lim-6j*■r<larctanfl+/)d/dw',=于是arctan(l+/)ds/(u)dw]〜=/(:)==yA=

A34-6*raretan(l+/)d/(J-'uarctand+/)d^du0Q—Qr2jarctan(l+j?y)2、、

Z1t

；x=L

lim-?-------=—hmarctanf1十jt)J-+0OT3其中f(u)=oarctanfl+r)d/dw=o-Ca

1iXarctand+⑽

o_3i'原极限-2lim^j-M)（数三）[Iarctand+/)d/1d«箱限!^-勺「-;-注J0LC.r解lm-rr*&2+cosj~—3rb2+cosi,丁Hi2-ln（l+‘，-=lini-x（^S）求极限li二一KShhm0,i2+cosi2+cost

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原式"r*QXr*fl2+COSJ=lim—^—r~r*0r（数二）解—04*而=2(tani)'i=2sc(^=4,4故时•雏也可以转化为麵极限利用洛必达法则，但+如上醜接凑导数注26tan[7―)_1_h.

V4uf求!im---r™1这是？”型，直接有liratan（了A=1醐ifinJF*X(++斗1lani£III-1n[測-I]|计算limtarf(-7-+—).\4nz，[邮(f巧)-[]=〆，tan~1=lim—h1J的定义方便.[20U]Bilim(tanjr)（数三）34}

l答应填这是*T”型，直接有1im(tanj

-e二e1，而A=\mtan^J-=lim——~~-~=-<^2，故lim(tan.^cosz-sinz^cos^(l-lanx)巧注如没想到对分母提出一个cos也可采用洛必达法则计算lim-H—^cossinx2.已知极限反求参数常用结论-—0—0,则litngUO—1.lim=AJimg(x)=0,则lim/(j)=0,gCr)9i.fkl(数一)1-COST即l=yA—At:命=1胱Ij_」m7-，-cosi//—cosjA+jJ广cosJ则必有1_-««)=0,否则，上式右端求导后的极限是0,脚根据洛必达法则，左端极限也应该是0,这1^)与左端极限是1矛盾!故卜1，进而53[1987~1

]■求正常心与6，使弑I*?r姑I_I*1十f_pVil—’I*J解1-lim—.-；---lim-：-----linir/mmjw-cosi4blimT1-r^-Jlimx1-r^9L-|3.数列求极限常考题型：n项和（积）、递推关系的数列常用方法：假币准则、定积分定义、单调有界准则[1998]29解由于丌S1D~n_________4sin—n求iin+2ksin—.1m.msin—sin—<jj+11nn十一所以乂■fTIsin一"+丄叫-1Iulim丄Ssin^=ff*™flf=l

III1.2sinjr.rdz—一onlimb

，2于是巾夹過准则推知原式答案为丌(数二)|E_]H■-i.r：■广*所以即H=0,；r+l<I)c、in/udr足典型的循环积分(两次分部积分后再次出现本身\注(2)本题实际上有着更•般的结论:门答解imlim•Itr，sinnr(Li=—e-rsinnr+j#|^'cosMrdr=—fsinni

—r;c_r(x)s打r—hj应填o.令=limraphs若在，阶连续异数•则hm/U)smnrdr=0,可用夹逼准劓去推导.留给读若自练.e_r

sinnrcLr=___________o(i-mM7-

+»cosm,,一7+1一+('<?icc)snr4-sin)c_/1!

"17T1I。」Giaw/j+sinn)t_l

,+

^+Ue-Jsinnrclr=limoIF«(数一数二数三)[2(110](I)比较pi30的大小，说明理由I(11)记|Inf|Jn(I+f)]Mdi与广|In/|d/(n=1，2,…)J0J0IInH[ln(l+d]ffd/(H=].2,…)0fl由定积分的性质，得0\\nt\

ln(l+/)]Nd/^l/N

|Inf|d/.（n）由（i）知0w为0.厂1

,t

IInHd/=0,故山央逼准则知,Jo11071十1J1(”+1k’解(1)当(«1时,因为(<ln(l+构，所以0<|!n，|[h(l+f)]fl<r|ln小|In'|[ln(l+/)],Jdz<广|Inf|At.⑴本题第一剛到基本不輒南＜_丄）＜川e＜（），》■■1严find/hu（2）第二问实kk有更一般的结论:若/Cr＞在［0，1］上连续.则lim|.r7（T）d.r

=0（读者可用夹遥非«r-™J0则简单验证）.由于linVIIntI=0_记/（/）—t

|IntI，0＜/＜1，则可补充定义/（0）=0.这样i-*o+/（O=f|InfI在［0,1］上连续，再根据上面的结论便有Ilimllinif1

|In;|［1n（1+，）］7k=riIInf|=—所以limt*Inz|d/=0.故由夹逼准则知limiz^O.o0ri（数二）1U=1.2,•“），证明数列的极限存在.I证即数列W单猢城少_故由单S有界数列必有极限的准则知数列UJ的极限存在.fM/(Hl)C/(j)dj</(na=l>2r-)t［1999］设八j）是区间［0，+«O上单调减少且非负的连续函数人=S/（»-「/Gr）drBr1-|—心=/h+b—歐a-=/Cddi=X/^)_X/<^^=S/(()—/'(J)心Ji!_i*-i*-iL

“」（数二数三）Tl-ln(1':卜7)[2011]（I_:对任意的正整数«.OTj|<ln[l十$<丄成立(

II>设t^=l+j+**.+^—ln"(H=l，2r“).证明数列W收敛.证法3令F(z)=丄一Inf1+丄)(r〉O)，uf知|imF(j)=0.T\Tfr*細(D证由<I>知，当时a„

=1+++…十—Inrt>ln(l+l)+lnf1+各1

ln(1+—)—In=ln(l+/?卜Inh>0，故数列UJ单调减少且有下界，所以kJ收敛，■又GfCr)=_{"，、十、，<0(j〉0)，z(z^l)(I十J)H即G(i)(_r〉O)单调城少，所以G(.r)>0(_r〉O).故GU)>0,即士<ln(l十丄).«十1\nf11综上可知，有叔<ln(l++)<+■（数二）［2012］（丨細方程？+f+…+x=l（n为大于1的整数）在区间内有且仅有一个而4!>0.所以■r・〉^jr,r+1，a=2*3•1，65-i+^7l十…+A,|，实根；（U®1冲的1根为〜醐1腑,存在,并求此极限.<II）解由于所以数列有界，za，：；+…+」、=1，xr!+-r：i1+J口-----^-1（=1lillLf„=,J.IV警年BUU单调喊少，由以t讨论知.数列trd单调有界，故收敛，设a=K.由于J,JM令）wxj,并注意到则有解得zI_a'zC.r,—.1^1）!I+（人十人+l

>+…+（」厂［十.j'^\rw+1+--*+.r^i）］>O,显然方括号内各项均为TF.F是有重点题型二：无穷小的比阶常用方法：等价代换、洛必达法则、泰勒公式考点点睛两个无穷小的比阶本质上就是极f艮的问题.故常用的方洛扰是求型极限的方法:等；价代換.洛必达法则，泰勒公式.；⑴若J(j)〜ar\j40,则jiO叶,/(j)是滞阶无贫小量.；(2)=則jt+O时/Cr)是.r的无穷小量.!(3)若/(J)-£10+£^+(1/

qj*1+«/+■■■，|a(

==0j=…=且u,#0,则j一是j

的"降无穷小先(4)若f(i^~j"十刑/(t)〜■即当t->0时，/<j)是,r妁m阶充穷小量■[1993—]]设/Cr)=|sin/.1-*0时，/(_r)是g(j)的(/\)等价尤穷/|、.(OS阶无穷小.(B)同阶但_等价的无穷爪(D)低阶无穷小.答应选(Bhf(

“**inisin*/*1\e?imfcuvCi***111Jrj1解法2/0时，sinZ〜j‘1sinJ*~Ti则a:sint'dt

〜01/‘df=■故选(B)0i一!〜十a(当j-*0时，sin(sinM^x2)1=T所以，当i*0时,/Cr)与«Cr)是同阶但非等价的无穷小.(数二)故山)足和)同阶似不等价的无究小fs.70(A)髙阶无穷小.(C＞同阶但不等价的无穷小.解法2a^inj

丄(l+n，df0U十tJ'dz[1999]设—d/,/?(T)=Jo/..•i*sinI■j4itx——-—5_u=a_—•hni(l十sinj)射=—声1，答应选(C).解法1先利用洛必达法则求出hmg.Ff根裾此极限值进行判定.作r；n1*Sji*ryr^y-d/|Id/=="rr»K，Jf-ed/=Jo(1十sinjJ‘・mj?i(1+/)'d/_则4,r-*0时_aU)是的0(B)低阶尤穷小.(I))等价无穷小，(数二)___S3[1997]设函数f(j)=o答应选(B).1.解法2/U)=(A)低阶无穷小,(C＞等价无穷小.*l-co»xr，5r6sinrd/，g(j*)=:_-+7,则当j-^O

时，/(/是gG)的a0＜B＞高阶无穷小.阶fl不等价的无穷小.解法1名次剌ffl洛必伏決ffl_并利雕m^=l.束枨剛nr44广d/——?,紀o24仏*02

IJL'l-(nsjsin?山〜0(j：〉=++，故选(B>.bob■JI_£AiJL2sint

•(1—cos•cos(1—cosx)2=133?+4P..2(1—cosj?)..2sinxA=!^^+47'=^m=0'(数一数二)[2004]把j-*0+时的无穷小量fl=(D)jS.y.fl.解法2利用变限分的等价*0-时.《=n'rz?39，卜」:..2jtantrt=1血-=0COSJ=-7/.故选(B)4Jo4cos/2ck〜ld/=j，/3=tan\/Fd/〜=—/.cosJo后面的是前一个的高阶无穷小ft*则正确的棑列次序足⑷咖亂z，A((')〜,广tan^d/,y=[^sin排列起来，使排在..2jtanr„=lmi-7-=0，sin^zsinj-1所以7是较tr高阶的无穷小

是较y高阶的无穷小量，即选项正确.23tan0•fl答应选(B).*/lan^d/n解法1因j-*0*£1j^*€+cos/ci/（数二）[0[2005]当[ht.a(jr)-kx'

J-)—/I+larwinjc~

人。s_r足等价尤穷小il•则k-（数一数一数二）43设函数_f(j}=_r+aln(l+j>+6jsinxfg(T)=^j\若/(1>与〆•!)在r~**0时是等价无■穷小，求d，M的值.*33解巾于ln(j=jT'^:y+o(j,3).IA

b■所以*7J/tr)=j+«ln(1+x)+frrsinj=j+«(j―+y)+&?+01?)=(1+士+(6—号)/+*|\^+0(/).■内为/(.r)与g(j}=^/在J-刊时等价•听以l+a=0J?—专1•卜号，解得a=-1，6=_~j，*=_去*重点题型三：连续与间断常用结论：考点点睛:1.连续的两种定义)=/(-r0)或lim^y=+=Ot;2.连续函数的运算性质(1)两个连续函教的和、差.枳、商(分母不为0)所荇的函教仍是连续函教.(2)涟续函钕复合连续其軚所洱的焱鲛仍是连续函致.■(3)基本初等函教在其定义域内连续.*(4)初等S教在其定义区阅内连续.:1间断点的判定(1)找函教的同断点往往是找函教区间内部的无定义点.若是分段函教还应该考虑分段点.(2>判定是忤么类型的间断点是通过求该点的效艰来磅定的，特別应注意常出现的+>”,wardan型要分左右极限.(数二)E3[2005]S函数则e-,~l(A).r=0，x=I都是/Cr)的第一类间断良(B)t=0,j=1都是/(t)的第二类间断屯(Ch=0是/(/)的第一类间断点u=l是/Cr)的第二类间断点.(l)h'=0是/U)的第二类间断点,.r=l是/(t®第一魏断点.应选(:儿解lim—，敁.r=0是第：类间断点.一1W为lim^—=-lJim^=0f故j=1是第一类间断点,eTd—[卜1

e1'1-1[2013]函数)ln|;|炯去间断点的个数为(A)0.答应选(CL(肌(02.(1))3.解巾函数的表达式可知需要考S的点只有三个:0•—1，1，在其他点处函数均连续.因为r

|什一1一」-|MnLrl1^j*(T+l)ln|r|Din|j*|j^?T(T+l)ln|T|J^ajt+1可知t-0是函数的一个可去间断点.，

|斤一1re^-l，‘Tin|j-|r

11ferU、+l)ln|i|=!ir?x7+lMd=tv+l)ln卜|士JTTY，可知x=l是函数的另一个可去间断点.r

|t|'—1Pe^l'I—jlti|z|v1而JHGr+l)ln|:rJHCr+l)ln|,rhcr+l)ln

W=蛔品=°°可知^=-1是函数的无穷间断点I不是可去间断点.综上可知，选项(C)符合题意.（数二）98j—aicsini[2(HI3]设g数八jO=<i<0，1=f）’问a为何K时，在T=o处连续;（J为何伉j〉0.时,户0是/Cr）的可去间断点?解i-e{Ind+aj5)_i-tzj3-hm-:一-lim--:—r-o-j—arcsmx

w~J^arc5inj___(.3oj':

(.orz—J_____________=Iim-----；—=Iim——-7—■lim/I■r*CT1一1.r]—j-*—]r*0*?F76ii,r-=lim----=一6(f.^0-____yi—?rr,、P

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+j^-d.r—1hninm--------—Ihm-；-jsmv________=4l]m-e—^^---=2+2)=2a:+(令lini/(J)=lim/Cr).^|'-6a=2a2+4<j=—1或a=—2.■rXfJ^CT当a=~l

时，Iim/b)=6=/