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专题三反比例函数试题的解题思路一、方法简述初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象,中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合,由于解析式的特征,不但能以函数图象为载体考查几何,而且能够以解析式为载体考查代数,如分式的变形运算等,是中考的热门题型,解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法,代定系数法的灵活应用。二、常用方法1.求反比例函数解析式的方法:①求反比例函数图象经过一点的坐标,利用代入法;②利用几何图形的数量关系来确定;③利用实际问题中的数量关系来确定;2.从反比例函数的图象上一点,作两坐标轴的垂线,两垂线与坐标轴围成的矩形面积为;3.反比例函数图象上的两个点(,)、(,),则。三、典例分析例1:如图,直线与双曲线相交于两点.(1)当为何值时?;(2)把直线平移,使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为2,求平移后得到的直线解析式.解:(1)根据图象,当或时,(2)∵∴∴(1,-2)根据题意得:…解得:直线与坐标轴的交点分别为(0,-1)、(-1,0)方法一:设把直线向上平移个单位长度,所得到的直线为该直线与轴相交于,于轴相交于,则(0,)∵∥∴∴=解得:,所以平移后所得到的直线为或方法二:设把直线向右平移个单位长度,所得到的直线为即该直线与轴相交于,于轴相交于,则(0,)∵∥∴∴=解得:,所以平移后所得到的直线为或评析:第(1)小题,实际上是求直线在双曲线上方部分的自变量的取值范围,所以要先求出点的坐标,然后根据图象就可以直接写出自变量的取值范围;第(2)小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解,要注意平移方向与平移距离之间的关系。例2:探索发现:如图,过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线间的距离叫的“水平宽()”,中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高()”,我们可以得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.(不必证明)图图4图3图2图1ODCBAxyyxCOBAyxOCBADCBAha应用求值:(1)如图,、是直线上的两个动点,横坐标分别为、,,且,点(,).求:的面积; (2)如图,直线与双曲线()相交于、两点,与轴相交于点,的面积为6,求:的值;(3)如图,、是双曲线()在第一象限上的两点,⊥轴于交于点,,,求:的值及的面积.解:(1)过作∥轴交直线于如图:当时,(2),当时,记点的横坐标为,点的横坐标为.∵∴∴设点的横坐标为,则点的横坐标为∴(,),∴解方程得:∴(,)(3)∵,,∴∴∵∴∴∴∴(,)∴直线为,设点(,),则,或(不合题意舍去)所以的水平宽为3.评析:“探索发现----应用求值”与“阅读理解----创新应用”类似,解题时,要认真阅读“阅读理解”部分的内容,确实理解所用的知识、方法,并作为应用中的借鉴;把新的三角形面积计算方法应用在直角坐标系中,、两点横坐标之差,就是水平宽,、(或、)两点纵坐标之差便为铅垂高。四、强化训练1.如图,一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形(阴影部分)的面积是,与反比例函数的图形相交于点(,)和(,),求的值.yxOABCED2.如图,已知直线与轴交于点,与双曲线交于(,)、(,)两点.轴于点,∥轴且与轴交于点.yxOABCED(1)求点的坐标及直线的解析式;(2)判断四边形的形状,并说明理由.3.已知反比例函数(为常数)的图象经过点(,).(1)求的值;(2)如图,过点作直线与函数的图象交于点,与x轴交于点,且,求点的坐标.4.已知:如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的.两点,与轴交于点,点的坐标为(,),点的坐标为(,),。(l)求该反比例函数和一次函数的解析式;(2)在轴上有一点(点除外),使得与的面积相等,求出点的坐标.5.如图,在矩形中,、两边分别在轴、轴的正半轴上,,,过边上的点,沿着翻折,点恰好落在边上的点处,反比例函数在第一象限上的图象经过点与相交于点.(1)求证:四边形是正方形;(2)点是否为正方形的中心?请说明理由.6.如图,在平面直角坐标系中,(,)、(,),四边形是矩形,、分别是、边上的点,沿着折叠矩形,点恰好落在轴上的点处,点落在点处.(1)求、两点的坐标;(2)反比例函数在第一象限内的图象经过点,判断点是否在这个反比例函数的图象上?并说明理由;(3)点是(2)中反比例函数的图象与原矩形的边的交点,点在平面直角坐标系中,以点、、、为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标。7.探索发现:如图1,过的三个顶点分别画出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线间的距离叫做的“水平宽()”,中间的直线在三角形内部的线段叫做的“铅垂高()”,我们可以得出一种计算三角形面积的新方法:,即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.(不必证明)应用求值:(1)如图2,在直角坐标系中,(,)、(,),点在第一象限,轴于点,交于点,,.求:(2)①如图3,、是反比例函数的图象在第一象限上的两点,过作轴于,交于,,连接,,点的横作标为,求点的坐标及的值.②如图3,、是①中反比例函数图象上两个动点,、的横作标分别为、(),,求:的值.8.如图,等边△和等边△的一边都在轴上,双曲线经过边的中点和的中点,已知等边△的边长为.(1)求该双曲线所表示的函数解析式;(2)求等边△的边长.9.如图,点是反比例函数在第一象限的图象上一个动点,过点作∥轴交反比例函数的图象于点(),分别过点、作轴的垂线,垂足为、,连接交反比例函数的图象于点.(1)求:矩形的面积(用含的代数式表示);(2)若点恰好是矩形的中心.①求:的值②若,其它的条件不变,判断的形状
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