2022届广东省揭阳市高考数学模拟考试选编卷一（解析版）

揭阳市2022年高考科模拟考精编题(一)

数学

全卷满分：150分考试用时：120分钟

一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项是符合题目要求.)

x—7

1.已知集合4={划--<0},则Af]N的元素个数为()

x+1

A.6B.7C.8D.9

2.已知i^=z(i为虚数单位，ZH0),则复数z在复平面内所对应的点一定在()

A.实轴上B.虚轴上

C.第一、三象限的角平分线上D.第二、四象限的角平分线上

3.设a、6是不为1的正数，则“log*=log〃a"是"a=6”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.函数/(X)的图象如下图，其对应的函数解析式可能是(

A-/(x)=M

D.

卜卜1|

5.下列说法中，正确的个数为()

①将一组数据中的每一个数据都加上同一个常数后，方差不变;

②设有一个线性回归方程9=3—5x,变量x增加1个单位时，£平均增加5个单位;

③设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为「，则卜|越接近于1,x和y之间的线性相关程度

越强；

④在一个2x2列联表中，计算得K?的值越大，则判断两个变量间有关联的把握就越大;

A.3B.2C.1D.0

6.将函数/(x)=Gsin2x-2cos2x+l的图象向右平移三个单位长度后得到函数g(x)的图象，

6

则g(%)的一个单调递增区间为()

A.勺B.[0,勺C.弓,与D.[-^,0]

442442

7.已知函数/(x)是定义在实数集上的奇函数，当尤2()时，/(幻=9'-。31则关于x的不等

式/(x)>-6的解集为()

A・(―oo,-1)U(1,4-oo)B.(—1,1)C.(—1,+8)D.(-1)

8.已知三棱锥S-ABC的底面是以A8为斜边的直角三角形，AB=4,SA=SB=SC=逐，则三棱

锥S-ABC的最大体积与其外接球的体积之比为()

A.---B.----C.---D.---

75万125〃25乃75万

二、选择题(共4小题，每小题5分，共20分，每小题有不少于一项符合题目要求.)

9.已知向量£=(-1,6),B则下列关系正确的是()

A.allbB.|tz|=|IC.a.LbD.(a+h).L(a-b)

10.经过点尸(1,0)的直线/被圆(X—l)2+(y+3)2=5截得的弦长为4,则直线/的斜率可能为

()

A.2\/2B.-2-^2C.D.—\/2

11.已知平面a经过圆柱QQ的轴，A、8是圆柱侧面上且不在平面a上的任意两点，则下列判

断正确的是()

A.存在平面夕，使ABu/?且6//aB.存在直线/,使/u。且///AB

C.存在平面夕，使且尸_LaD.存在直线/,使/u。且/_LAB

12.己知实数a、0、ce(0,e),且2。=4,3b=b\5C=c5,则()

A.Q=4B.c<aC.c>hD.b>a

三、填空题(共4小题，每小题5分，共20分.)

TT

13.已知函数/(%)=/'(l)+xln%在x=1处的切线为/,g(x)=sinx+acosx在x=万■处的切线

为机，且/J_"7,则a=.

14.某小学开设了象棋、围棋和剪纸三门课后延时服务课程，某班的4名同学每人选择了其中的一

门课程，若每门课程都有人选，则不同的选课方案种数为.(用数字作答)

15.已知正实数x、y,则x+y+巨匕生的最小值为.

孙+y

16.若直线y=与抛物线C:y2=2px相交于A、B两点，M为抛物线的准线与坐标轴

的交点，的面积为26，则抛物线的方程为.

四、解答题(6道大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(满分10分)等差数列｛4｝满足々=7，/+%=30,数列也“｝满足4=4,b“=gb,中

("GN*).

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)若数列｛q｝满足c„=an+ibn+l-anbn(neN*),求数列｛%+6.+c”｝的前〃项和Sn.

18.(满分12分)在A43C中，角A、8、C的对边分别为a、b、c,已知---------=―匕上一

sinB-sinCsin8-sinA

角C的平分线CD与AB相交于点D.

(1)求角C的大小；

(2)若a=2,SMBC=3sin5,求cos/CZM的值.

19.(满分12分)如图，在四棱锥P—A5CD中，

底面ABC£＞是菱形，ZADC=\20°,底面

ABCD,M为PC的中点，PD=DA=DC.

(1)证明：孙〃平面8MO；

(2)证明：平面以C_L平面PBZ)；

(3)求二面角的余弦值.

20.(满分12分)已知双曲线4y2一手=1的焦点是椭圆氏5+m=1(a”＞。)的两个顶点，

E的离心率为由.

2

(1)求椭圆E的方程；

(2)设A、8是椭圆E的左、右顶点，C是椭圆E的上顶点，。是椭圆E上不与顶点重合的动

点，若直线ACn8O=M,BCAAD=7V,试判断△CMN是否为等腰三角形，请说明理由.

21.（满分12分）右图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘

中心，盘面分为A、8、C三个区域每次转动转盘时，指针最终都会随机

停留在A、8、C中的某一个区域.现有一款游戏：每局交10元钱，可以

随机转动上述转盘3次；每次转动转盘，指针停留在区域A、8、C时分

别获得积分10、5、0分；三次转动后的总积分不超过5分时获奖金2元,

超过25分时获奖金50元，其余情况获奖金5元。假设每次转动转盘相互

独立，且指针停留在区域4、8的概率分别是p、2p（0</?<-）.

6

（1）设某人在一局游戏中获得总积分为5的概率为/（p）,求/（P）的最大值点P°；

（2）以（1）中确定的P。作为p值，某人进行了5局游戏，设“在一局游戏中获得的总积分不低

于5分”的局数为3求J的数学期望；

（3）玩家发现：玩很多次该游戏，玩得越多，输得越多。请用概率统计的相关知识给予解释.

22.（满分12分）已知函数/。）=这2Y%-1）产.

（1）若/（X）在R上单调递增，求a的取值；

（2）当。=1,x,>x,>1时，求证：-，（尤2）>£

X]-x2x}x2

揭阳市2022年高考数学科模拟考精编题(一)

参考答案

一、单选题：1-4：CCBD,5〜8：ABCB.

1.A={x\-l<x<7},AnN={0,l,2,…,7},有8个元素；

2.设2=。+初，则，/二八侬一人打二力+山，由题意得a=b,z对应的点Z(〃,")为Z(a,〃)；

3.lognb==log/?a=,(In。)？=(In/?)?,lna=±lnb,得。=8或。='；

InaInZ?b

4.由x0±l及/(x)>0,排除A、B、C；

5.①正确，②亍平均减少5个单位，③正确，④正确；

6./(%)=V3sin2x-cos2x-2sin(2x--),g(x)=/(x--)=-2cos2%,画图可选；

66

7.7(0)=0,知a=l,当x»0时，/(x)=3'(3x-l)>0,

由y=3*>0和y=3工—1A0在［0,+8)单调递增，知/(x)=3*(3*-1)在［0,+8)上单调递增,

又/(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)在R上单调递增，可知/(x)=-6时，x<0,

当尤<0时，一x>0,f(x)=-/(-x)=-3-r(3-A-1)=-6,得3r(3-*-1)=6,

得3T=3,x=-l,所以/(—1)=-6,所以/(x)>—6=/(—l)ox>—l；

8.可知平面ABC与外接球。的截面圆是直角三角形ABC的外接圆，

设S在平面ABC上的射影为。，由SA=SB=SC=J^,得DA=DB=DC,

得点。是直角三角形ABC的外心，所以。是AB的中点，又ODJ•面4BC,S£>_L面ABC,

所在点。在直线S力上，易知S£>=1,设外接球的半径为R,由0。？+082=082,

得(R—1)2+22=R2,R工外接球的体积匕=3乃火3,

2-3

直角三角形ABC的最大面积SA=；x4x2,三棱锥S-ABC的最大体积匕=JS4•SO.

二、多选题：9：BD；10：AB：11：CD；12：BD.

9.\a\=2,\b\=2,(a+b)-(a-b)=a2-b2^al1~\^=0,所以B、D正确;

-3

10.设直线/为y=A(x—l),由题意知圆心(1,一3)到/:。=依一。一4=0的距离d=谷=1,

42+1

解得/的斜率左=±2&；

11.选项A、B,仅当A8//a时，才存在，所以A、B项错误；

选项C,作BCLa于C,则平面A8C满足题意，所以C项正确；

选项D,在选项C的基础上，设平面ABCn&=m，在a内作/，加，即满足题意，D项正确；

12.由2"=/取对数，得a］n2=21na,得电工=也同理得㈣=辿，地=叵

2a3b5c

设/(©=生£,则/(幻=匕旦，由/，(x)>0得0<x<e,

XX

所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+00)上单调递减，可知吧>个>叱，又殍=当

4口InhInQInc「,小、，口,c

倚--->---->----,又a、b\c£(0,e),d寸b>a=2>c.

bac

三、填空题：13：1；14：36；15：5；16：y=±4x.

13./Xx)=lnx+1,g\x)=cosx-asinx9/的斜率。=/*(1)=1,m的斜率0=g'(—)=一。，

由/_Lzn得K•左2=一1，得a=1；

14.由题意知，4人中有2人选同门课，先把4人分成三组，有2人在一组，有C：=6种分法,

其他2人为二组，是一种分法；再任选三门课程，共有C1A；=36种选法；

15.%+,+―+1+4y=x+y+.x+l+4y=(X+1)+J+—+———1>274+2-1=5；

孙+y'(x+l)y')'x+\

16.联立直线和抛物线方程得)，2—2y—p2=0,设A(x，x)、B(X2,y2),又

直线过定点N(W，O),则SA=g|MN||y「%l=26,又(y—为尸=(乂+必产一4y跖，

\MN\^p\,得|川Jp?+1=2右,解得〃=±2,所以抛物线的方程为V=±4x.

四、解答题

17.(1)设数列｛凡｝的公差为d,由已知得24+41=30,d=4,;.4=3,

由已知得%=2*又4力0,所以数列也｝是公比g=2的等比数列，得4=1,

n1

所以=q+(n—1)d=4n—1,bn=b^q"'=2；

(2)q+a2H--卜a“==(2〃+l)n,

bx+h,+---+bIIn=""一')=2"—1,

JZ1

i-q

c,+c24-----卜c“=(a2b2—afy)+(a3b3—a2b2)4-----卜+也用—a“b“)

=%+也用一岫=(4〃+3)2"-3

S,,=(2〃+l)n+(〃+1)2,,+2-4.

is.(I)由已知及正弦定理，得一生=2±£

b-cb—a

2t22I

则b2-c2=ah-a2,由余弦定理得cosC="一。=—r所以c=9；

2ab2ab

(2)由Sgbc=5〃csin8=3sin8,得ac=6,c=3,

2sinCG

由‘一=—^,得sinA

sinAsinC33

由a<c,得A<C=2,得cosA=Vl-sin2A

3~T,

cosZCDA=cos()-A——)=-cos(A+—)

66

V3.I.4V3V2

=----cosAH--sinA=--------.

2262

19.(I)设ACnBO=O,则。为AC中点，

又M为尸C的中点，连。W,得B4//OM,

又平面BMD,QMu平面8WD

所以B4〃平面BMQ；

(2)由PZ)_L底面ABCO,得POL4C,

在正方形ABCD中，BDLAC,

又尸。口8£>=。，所以ACJ_平面P8D；

又ACu平面B4C,所以平面必C_L平面P8D；

(3)取A8中点E,连DE,由已知得△48。为正三角形，可知

易知。ELOC,又包>，底面A3CQ,如图，以。为原点，建立空间直角坐标系£>-xyz,

设。C=2个单位，则尸D=OA=2,可知。E=OAsin600=6,AE=BE=1,

得A(百，一1,0),5(73,1,0),P(0,0,2),C(0,2,0),M(0,1,1),

得加=(6,1,0)，DM=(0,1,1),设云=(x,y,z)是平面MB。的法向量，

则m-DB=6x+y=0,m-DM=y+z=0,

令x=l,得y=-6,z=百，得加=(1,-G,百)，

由(2)知恁=(一百,3,0)是平面P8力的一个法向量，

近而缶g+…久日-En..恁।4也2J

设二面角p—BD—M的大小为e,易知。为锐角，则cos0=:=—

\m\-\AC\V7x2V37

-)2

上工—113

20.(1)双曲线标准方程为丁一丁一I,-+-=1,得双曲线的焦点为(0,±1),

44

44

是椭圆的上、下顶点，得b=l,由£=走，得£=心工=3,解得用2,

a2a~a~4

v.2

椭圆E的方程为二+/2=1；

4'

(2)画图可粗略判断|CM|=|CN|,ACMN为等腰三角形，

由⑴知4—2,0),6(2,0),C(0,l),设D(x0,%),则4靖=4一x02,

kBD=^4",k,D='°与,，％//>=设"(X|，X)，N(x,,%)，

-2x0+2x0-44

联立直线AC:y=+1和6。：y=kBD(x-2),得怎。(％-2)=g%+1①，

联立直线BC.y=~x+\和AD:y=kAD(x+2),得kAD(x2+2)=+1②，

①、②式相乘，得&皿心。(%一2)(々+2)=土¥.考2,

所以(％-2)(/+2)=(内+2)(%—2),解得王，

又飙|=’1+媾1内邛1%1,|。川=1+噎2|々1=争尤21，

所以|CM|=|CN|,△CMN为等腰三角形.

21.(1)每次转动转盘获10、5、0分的概率分别是p、2p、l-3p,

可知/(2)=。；(2。)(1-3。)2=6(9〃3-6〃2+，),

所以尸(P)=6(27p2—12p+l),令/'(p)=0,又0<〃<[，得p=](p=：舍去)

当pe(0,/时，f'(p)>0,f(p)单调递增，当peg,》时，f\p)<0,/(p)单调递减，

所以当P=4时，/(P)取得最大值，故/(。)的最大值点为="

(2)P=P0="，每一局游戏中总积分低于5分指三次转动转盘都获0分，其概率为(1-3p)3,

所以每一局游戏中总积分不低于5分的概率口=l-(l-3p)3=4，

1n1n05

由题意可知J~8(5,二)，所以埼=5乂==不；.

272727

(3)法一：由题意知，每一局游戏中获得的奖金数x要多，必需总分y多，必需获io分的概率0

要大，取〃=!，得每次转动转盘获10、5、0分的概率分别是，、:、!，

63

3

8

尸(X=50)=P(y=10+10+10)=(%=」-，P(X=5)=1-----—,

621682168216

所以每局游戏获得奖金的期望值，最大都不到所交钱数的一半，玩得越多，输得越多.

法二：设每一局游戏中获得的奖金数为X、总分数为匕则X可能取2,5,50；

乂=2指丫45即丫=0+0+0或丫=5+