2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷及答案解析

2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号

条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在

试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。）

1.复数(1+bi)(2i)=()

A.-2>/3+2iB.2^3-21C.1+V3iD.l-\/3i

2.集合A={x*-x-6<0},B={-2,0,1,2,3},则AC8=()

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1,2)D.{-2,-1,0,1,2)

3.在。2一65的展开式中，犬4的系数是()

A.20B.10C.-10D.-20

4.“角a,0的终边关于x轴对称”是“sina+s呻=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.下列函数中，在（0,+8）为增函数的是（）

A.y=tanxB.y=e^11

c.y=ln^D.y—(x-1)2

6.如图，在下列四个正方体中，A,3为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线A3与平面MNQ不垂直的是（）

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rl

7.等差数列｛斯｝的公差dWO,数列｛2而｝的前〃项和Sn=3+/c,则（）

A.d=log32,k=-1B.d=k>g23,k=O

C.d=k）g23，k=-1D.d=log32，k=0

8.点尸在抛物线/=4x上，则P到直线x=-1的距离与到直线3x-4），+12=0的距离之和

的最小值为（）

A.4B.3C.2D.1

9.在函数/（x）=ox-2的图像上存在两个不同点A,B,使得A,8关于直线y=x的对称

点4,在函数g（x）="的图像上，则实数a的取值范围是（）

A.（…，e）B.（0,|）C.（0,e）D.（0,

10.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照

综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标.

分值权重表如下：

总分技术商务报价

100%50%10%40%

技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价表则相对灵

活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%,则在基

准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础

上加0.8分，最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%,

在80分在基础上扣0.8分.

在某次招标中，若基准价为1000（万元）.甲、乙两公司综合得分如下表：

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公司技术商务报价

甲80分90分A甲分

乙70分100分A乙分

甲公司报价为1100(万元)，乙公司的报价为800(万元)则甲，乙公司的综合得分，分

别是()

A.73,75.4B.73,80C.74.6,76D.74.6,75.4

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分。)

11.(5分)双曲线C；会?=1的一条渐近线为bx+y=0,则C的焦距为.

12.(5分)已知尸为平面上的动点，-1,0),B(1,0)为平面上两个定点，且易♦而=0,

则动点P的轨迹方程为.

13.(5分)函数火x)=sin2x的图像向左平移个长度单位得到函数g(x)=sin⑵+第

的图像，若函数g(x)在区间(0,«)单调递增，则。的最大值为.

14.(5分)在梯形ABC。中，AB//DC,AD=BC=2,AB=4,4ABC=5，尸是BC的中点，

贝以•AP=.

15.(5分)已知函数y=/(x+2)为奇函数，且f(x+3)=/(3-x),当尤［0,1］时，/(x)

=2'+Iog4(x+l)-1,给出下列四个结论：

@f(x)图像关于(-2,0)对称；

②/•(工)图像关于直线x=l对称；

③f(2021)=1；

@f(x)在区间(2021,2022)单调递减.

其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题(本大题共6小题，满分85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。)

16.(12分)在△ABC中，yf3(bcosC+ccosB)=2acosA.

(I)求4：

(II)若a=2,从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使△ABC存在并唯一

确定，并求c的值.

条件①：b=2>/3；

条件②：b=l；

1

条件③：cosB=_3,

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17.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB=AD=PO=2,DC=4,

AB//DC,乙40c=£,平面ABC。，E,尸分别为PO,PC的中点.

(I)判断直线AE与8F的位置关系，并说明理由；

(II)求二面角P-BC-A的余弦值；

(III)求点E到平面PBC的距离.

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18.(15分)第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办.为了普及冬奥知识，

京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级(共六个班)答题优秀的

学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下:

高一班级一(1)-(2)-(3)-(4)-(5)-(6)

人数454331

(I)从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛.

(力恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？

(«)设这2名学生中来自高一(2)的人数为求&的分布列及数学期望；

(II)如果该校高中生的优秀率为0.1,从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为

中求n的期望.

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19.(15分)已知函数/(x)=sinx+ln(1+x).

(I)求/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)证明：/(X)在区间(-1,TT)存在唯一极大值点:

(III)证明：当x20,/(x)>0.

第7页共22页

20.(15分)已知椭圆C的离心率为三，长轴的两个端点分别为4(-2,0),A2(2,0).

(I)求C的方程；

(II)设直线x=WX+l与C分别相交于尸1,尸2两点，直线4P1与A2P2相交于点P.试

问：当山变化时，点尸是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你

的结论；若不是，请说明理由.

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21.（15分）若集合A={m,〃2,…，an]（OWmV^V。3VYs?）满足：对任意i,j（l〈i

WjWn）,均存在％,r（1使得（勾一3-次）（勾+〃LC〃）=0,则称A

具有性质P.

（I）判断集合用={0,3,6,9},N={1,4,6,8}是否具有性质P；（只需写出结论）

（II）已知集合4={。1,。2,…，an]（0^ai<a2<«3<-<aw）具有性质P.

（i）求m；

n

（ii）证明：-an=%+。2+,・,+。〃・

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2022年北京市门头沟区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。）

1.复数(1+V5i)(2i)=()

A.-2V3+2iB.2V3-2iC.1+V3iD.1-V3i

解：(1+V3i)(2i)=-2V3+2i,

故选：A.

2.集合A={x|»-x-6<0},B={-2,-1,0,1,2,3},贝ljACB=()

A.{-2,-1,0,1,2,3}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

解：集合A={AU2-x-6<0}={x\-2<x<3},

B={-2,-1,0,1,2,3},

.*.AAB={-1,0,1,2}.

故选：C.

3.在(小一1)5的展开式中，产的系数是()

A.20B.10C.-10D.-20

解：展开式的通项公式为公=很，/）5”（一少』（-1）r-C；-x'0-3r,

令10-3r=4,则，=2,所以展开式中小的系数为盘=10,

故选：B.

4.”角a,。的终边关于x轴对称”是“sina+sin0=O”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解：由角a,0的终边关于1轴对称，可知0=-a+2匕i（依Z）,故sina=-sin0,所以

sina+sin0=O,

若sina+sin0=O,取a=京0=苧，则角a,0的终边不关于x轴对称，

所以“角a,p的终边关于x轴对称”是“sina+sinB=0”的充分不必要条件.

故选：A.

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5.下列函数中，在（0,+8）为增函数的是（)

A.y=tarvcB.y=e^x11

C.y=尾D.y=(x-1)

jrTC

解：函数产tanx在区间（一今+匕1,万+如）keZ上为增函数，故A不满足要求;

函数y=ek"的图象关于直线x=l对称，故B不满足要求;

函数/（x）=/〃1=-/内在（0,+8）递减，故C不满足要求;

函数/（X）=（X-1），2,于，（7）=e「2+G-1）"-2=xF-2>0在於（0,+8）

恒成立，故/）满足要求

故选：D.

6.如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，M,N,。为所在棱的中点,

则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）

C.

解：对于4,AB为体对角线，MN,MQ,NQ分别为棱的中点,

由中位线定理可得它们平行于面对角线,

连接另一条面对角线，如图,

由三垂线定理可得AB垂直于MMMQ,NQ,可得ABL平面MNQ,故A中直线A8与

平面MNQ垂直;

第11页共22页

对于8,A8为前面的侧面的对角线，则A8垂直于MN,

与AB相对的侧面的平行于AB的对角线与MQ垂直，如图,

,：MNC\MQ=M,...AB，平面MNQ,故B中直线AB与平面MN0垂直;

对于C,AB为前面的侧面的对角线，则AB垂直于MM

与AB相对的侧面的平行于A8的对角线与垂直，."BLMQ,如图,

：A/NriMQ=M,...AB，平面MNQ,故B中直线A8与平面MN。垂直；

对于力，AB为前面的侧面的对角线，上面的平行与对角线的线段，如图,

作出等边三角形，得到AB与MN所成角为60°,

直线AB与平面MNQ不垂直，故D中直线AB与平面MNQ不垂直.

故选：D.

1.等差数列｛加｝的公差d#0,数列｛2。”｝的前〃项和%=3n+k,则()

A.d=log32,k=-1B.d=log23,k=0

C.d=log23,k=-1D.d=log32,k=0

解：等差数列｛a〃｝的公差dWO,数列｛2而｝的前n项和%=3n+k,

则Si=2%=3+k,

S2=2al+2az=3+A+2az=9+匕A2a^=6,

第12页共22页

S3=2%+2a2+2a3=9+H2g=27+4,：.2a^=18,

/.6Zl=10g2(3+左),«2=10g26,«3=10g218,

Van。2,。3成等差数列,A2Xlog26=log2(3+Z)+Iog218,

解得k=-\,d=log218-Iog26=log23.

故选：C.

8.点P在抛物线/;标上，则P到直线x=-1的距离与到直线3x-4)，+12=0的距离之和

的最小值为()

A.4B.3C.2D.1

解：•.”=-1是抛物线7=4x的准线，

至ljx=-1的距离等于

•.,抛物线方=叔的焦点尸(1,0),

.•.过户作/1：3x-4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是尸，

.•.点P到直线3x-4y+12=0的距离和到直线尢=-1的距离之和的最小值就是尸(1,0)

到直线3x-4y+12=0的距离，

.•.点P到直线/1：x=-1的距离与到直线12：3x-4y+12=0的距离之和的最小值为

|3-0+12|_

V9+16―，

故选：B.

9.在函数/(X)=ax-2的图像上存在两个不同点A,B,使得4,8关于直线y=x的对称

点4,用在函数g(x)=，的图像上，则实数a的取值范围是()

A.(…，e)B.(0,1)C.(0,e)D.(0,e2)

解：在函数/(x)=ax-2的图像上存在两个不同点A,B,使得A,8关于直线y=x的

对称点4,在函数g(无)="的图像上，

转化为函数f(x)=以-2与函数且(%)=/"有两个交点，

函数(x)=办-2恒过(0,-2),直线y=ax-2与y=/nr的切点为Cm,Inm),

可得＜=1,所以切线的斜率为：工=空空£,解得相=3切线的斜率为：e,

7xmm-0e

所以(0,e).

故选：C.

10.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照

综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标.

第13页共22页

分值权重表如下:

总分技术商务报价

100%50%10%40%

技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价表则相对灵

活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%,则在基

准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础

上加0.8分，最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上（不含15%）每再低1%,

在80分在基础上扣0.8分.

在某次招标中，若基准价为1000（万元）.甲、乙两公司综合得分如下表：

公司技术商务报价

甲80分90分A甲分

乙70分100分A乙分

甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分

别是（）

A.73,75.4B.73,80C.74.6,76D.74.6,75.4

解：甲公司的报价分数A甲=68—x100x0.8=60,

乙公司的报价分数A乙=80—写罂x100x0.8=76,

甲公司的综合得分为80X50%+90X10%+60X40%=73分，

乙公司的综合得分为7OX5O%+IOOX10%+76X40%=75.4分.

故选：A.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分。）

II.（5分）双曲线C：*[=1的一条渐近线为雇+y=0,则C的焦距为4.

解：由双曲线方程可得户=3,二6=75,

双曲线C的一条渐近线+y=0,

bV3厂

A-=——=v3,得a=l,

aa

Ac2=o2+fe2=4,

得2c=4,即双曲线。的焦距为4.

故答案为：4.

第14页共22页

12.(5分)已知P为平面上的动点，A(-1,0),8(1,0)为平面上两个定点，且P4-P8=0,

则动点P的轨迹方程为/+、2=1.

解：设P(x,y),

因为A(-1,0),B(1,0),

所以P4=(-l-x,-y)/PB=(1-x,-y),

所以易•丽=(一1一x)(l-%)+(-y)2=0,

整理得f+尸=1,

故答案为：,+)2=1.

7TTT

13.(5分)函数/(x)=sin2x的图像向左平移_彳_个长度单位得到函数g(x)=sin(2x+N

O十

71

的图像，若函数g(x)在区间(0,«)单调递增，则a的最大值为_展_.

8

TCTT

解：函数f(x)=sin2x的图像向左平移^•个单位，得到函数g(x)=sin(Zr+五)的图

像，

令-5+2/CTTW2%+彳工2kji+亍(ZeZ),

z4z

整理得一咨+kn<x<kn+与(AwZ),

由于函数g(x)在区间(0,a)单调递增，

故一券+kn<0<xVa<kn+工；

n

故a的最大值为g；

故答案为：—;

88

14.(5分)在梯形ABC。中，AB//DC,AD=BC=2,AB=4,Z,ABC=尸是3C的中点，

则族•AP=14.

解：•・,在梯形A8CO中，AB//DC,AD=BC=2,AB=4,Z.ABC=J,P是BC的中点,

第15页共22页

—>—>—>—>—»—>—»1TT21T—»[[

.'MBTP=AB<AB+BP)=AB2+AB-BC=AB--BA'BC=42-4x4X2x4=14,

2222

故答案为：14.

15.(5分)已知函数y=/(x+2)为奇函数，且/(x+3)=/(3-x),当xC[O,1]时，/(x)

=2A+log4(x+1)-1,给出下列四个结论：

®f(x)图像关于(-2,0)对称；

@f(x)图像关于直线x=l对称；

③/(2021)=今

@f(x)在区间(2021,2022)单调递减.

其中所有正确结论的序号是①②④.

解：根据题意，因为(x+2)为奇函数，

所以y=/(x)的图像关于(2,0)对称，即/(2+x)=-f(2-x),

因为f(3+x)=/(3-x),

所以函数的图像关于x=3对称，/(x+4)=/(-x+2),

/(2+x)=-f(x),即/(4+x)=f(x),

故函数/(x)是周期7=4的周期函数，

依次分析4个结论：

对于①，y=/(x)的图像关于(2,0)对称，且/(X)的周期为4,则y=/(x)的图像

关于(-2,0)对称，正确；

对于②，y=f(X)满足/(3+x)=/(3-x)且/(2+x)=-f(x),变形可得了(1+x)=

/(1-x),则/(x)图像关于直线x=l对称，正确；

对于③，/(x)是周期7=4的周期函数，则”2021)=/⑴=2+>1=|,错误；

对于④，当x6[0,1]时，f(x)=2x+log4(x+1)-1,易得f(④在[0,1]为增函数，

而图像关于直线x=l对称，在/(x)在区间(1,2)上为减函数，

又由/(x)是周期T=4的周期函数，且2021=505X4+1,2022=505X4=2,则/(x)

在区间(2021,2022)单调递减，正确；

故答案为：①②④

三、解答题(本大题共6小题，满分85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明。)

16.(12分)在△ABC中，y/3(<bcosC+ccosB)=2acosA.

(I)求A；

第16页共22页

(II)若〃=2,从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知，使△A3C存在并唯一

确定，并求c的值.

条件①：b=2V3；

条件②：。=1;

条件③：cosB=—

解：(I)由正弦定理，二=一二=三得，

sinAsinBsinC

A/3CsinBcosC+sinCcosB)=2sinAcosA,

即V5sin(B+C)=2sin>lcosA,

即V3sinA=2sia4cosA,

因为AW(0,IT),故siivlWO,

所以cos4=孚=4=亲

(II)选条件①，b=2«,又。=2,A=%

o

ab22y[3Q

由正弦定理宣可得一章=一不，解得sinB=苧,

sinBz

s6in-sinB

因为BE(0,n),

所以B=/或学

此时三角形不唯一，故选择条件①不符合题意;

选条件②，

121

由正弦定理得：—：—=—=>sinB=

sinB-4

2

由bVa=B<71=5=>cosB=

o4

sinC=sin{A+8)=——g——,

caV15+V3

所以由-73;=——=c=-------

sinCsinA2

选条件③，

D1.272

cosB=—可今sinDB=-",

.•rAl2/6—1

sinrC=sin{A+B)二-—,

第17页共22页

cCaL4V^—2

由正弦定理就=诉=c=一丁

17.(13分)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABC。为梯形，A8=AZ)=P£)=2,DC=4,

AB//DC,乙40C=5,尸。_1_平面ABC。，E,尸分别为PZ),PC的中点.

(I)判断直线AE与BF的位置关系，并说明理由;

(II)求二面角P-BC-A的余弦值:

(III)求点E到平面PBC的距离.

连结EF,因为E,尸分别是P£>,PC的中点，所以所〃处EF=^CD,

1

又因为AB〃C£>,AB=^CD,所以AB〃EF,AB=EF,

所以四边形ABFE为平行四边形，^AE//BF.

(II)由己知OP,DC,D4两两垂直，建立如图所示坐标系，

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),

、〃由ec八、+与且在―/、'n「BC=0—x+y—G#/DEL/#-

设平面7fsP8C法向里加i=(尤，y,z),_=4+=()#/DEL/#=%

711,rD—U

(1,L2),

平面ABC的法向量为(0,0,1),

--、nn76

cosv一=2r~

<ni/n2>==-53-,

\nA\-\n2\

V6

二面角P-BC-A的余弦值为

(Ill)E(0,0,I),扇=(2,2,-1),

TTL

设点E到平面PBC的距离为d,则d=I空⑦I=第

l«lls

第18页共22页

18.（15分）第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办.为了普及冬奥知识，

京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从高一年级（共六个班）答题优秀的

学生中随机抽查了20名，得到这20名优秀学生的统计如下：

高一班级一（1）一（2）一（3）一（4）一（5）一（6）

人数454331

（I）从这20名学生中随机抽取两名学生参加区里冬奥知识比赛.

（i）恰好这2名学生都来自同一班级的概率是多少？

（〃）设这2名学生中来自高一（2）的人数为讲求S的分布列及数学期望；

（II）如果该校高中生的优秀率为0.1,从该校中随机抽取2人，这两人中优秀的人数为

中求可的期望.

解：（I）（i）20名学生中随机抽取两名学生共有废°=190,

（2分）

设恰好2名学生都来自同一班级共有废+底+盘+或+或=28,.....（1分）

D/八28=14ri人、

=19xio95）...........................................♦•…。分）

（«7）己可取0,1,2,...........................................（1分）

P（f=°）=警=簧，P（f=1）==盖，PG=2）=%=播.....-（3分）

c20c20c20

彳的分布列为：

《012

p10575_10_

190190190

....................……（1分）

r的阳口乙_75x110x21

*的期望Ef="(J+190=2...............................(1分)

(11)1］可取0,1，2,（1分）

第19页共22页

n〜B(2,0.1),所以切=01x2=0.2......(2分)

19.(15分)已知函数/(x)=sinx+ln(1+x).

(I)求/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)证明：/(X)在区间(-1,TT)存在唯一极大值点；

(III)证明：当尤20,f(X)>0.

1

(I)解:/'(%)=cosx+.......................................................................................

(2分)

f(0)=2,f(0)=0,得切线方程为2x-y=0..............................................(2分)

(II)证明：由(I)得1(%)=cosx+(-1,0)时,/(x)>0..........................

(1分)

xe[0,IT)时，/(x)单调递减，/(0)=2,1(兀)=-1+亳V0,..............(2分)

由零点存在定理可得，f(JC)在xe(-1,n)存在唯一一个零点X0,..............(1分)

且当(-1,xo),f(%0)>0,xE(xo,IT),f(xo)<0»

所以，/(x)在区间(-1,7i)存在唯一极大值点.........................(2分)

(HI)证明：由(H)可知,/(x)在区间(0,刈)上单调递增，在(xo,n)单调递减，…….(1

分)

f(0)=0,f(TT)=勿(1+TT)>0,所以，当xe[O,TT)时，/(X)20,...............…

(2分)

当(TT,+°°)时，f(x)=sin%+/〃(1+x)>ln(1+Tt)-1>0................(2

分)

V3

20.(15分)已知椭圆C的离心率为三，长轴的两个端点分别为4(-2,0),A2(2,0).

(I)求C的方程；

(II)设直线x—my+l与C分别相交于P1,尸2两点，直线AiPi与A2P2相交于点P.试

问：当山变化时，点尸是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你

的结论；若不是，请说明理由.

L2

解：(I)由题意得：a=2,c=V3=匕=1=彳x+、2=

1.(3分)

(II)若〃?=0,/：x=l与椭圆C：1+*=1相交于P](i,易，p2(i,-易......

第20页共22页

（1分）

直线AiP］：y=-g-(%+2),直线42P2：y=(x-2)......................................(1分)

+2X

736-J

分x

)

囱(XV3)z

(X2

2--\

由椭圆的对称性若P1（1,-5），22（1，造）可得交点为P（4,-V3）............（1

分）