2022年高考数学真题分类汇编10：解析几何解析版

2022年高考数学真题分类汇编专题10：解析几何【解析】【解答】解：因为离心率e=,=/_(»=-解得多=旨则b2=1a2，

一、单选题

记Ai,A?分别为C的左右顶点，则Ai(-a,0),A2(a,0),

1.(2022•全国甲卷)椭圆C：^|+^f=l(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，且关于y轴对

又B为上顶点，所以B(0,b),

称.若直线AP,AQ的斜率之积为1，则C的离心率为()

所以BAi=(-a,—b),BA2=(a，—b)»

A•第B.乎C.iD.1因为•BK=-i

【答案】A所以/+b2=l,将b2=1a2代入,解得昌=9,b2=8,

【知识点】斜率的计算公式：椭圆的简单性质

故椭圆的方程为祟+e=1.

【解析】【解答】解：依题意易知A(-a,0)9o

故选：B.

设P(xi,yi)，则Q(-xi,yi),

则K”

【分析】根据离心率及B7].B72=_1，解得关于a?，b?的等量关系式，即可得解.

故-KAQ=熹J-号0=_&2=I

3.(2022•全国乙卷)设F为抛物线C：y2=4x的焦点，点A在C上，点8(3,0)，若\AF\=\BF\,则

+3=i,则中庐史艺,

\AB\=()

庐仅2_吊)

所以“1，A.2B.2V2C.3D.3V2

【答案】B

1,

【知识点】两点间的距离公式；抛物线的定义

【解析】【解答】易知抛物线的焦点为F(L0)，则\AF\=\BF\=2,

所以椭圆C的离心率e房1a

4=T.

即点A到准线％=-1的距离为2,所以点A的横坐标为1,

故选：A.

不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2)，

【分析】设P⑶，y,)'则Q(凶，"根据斜率公式结合题意可得心."=+1再根据汨所以\AB\=J(3—4)2+(0—=2A/2-

故选：B

3=1,将》用布表示，化简求鸣=%再结合离心率公式e=Ji-图即可得解.

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得

到答案.

2.(2022•全国甲卷)已知椭圆C;^|+^f=l(a>fe>0)的离心率为1,A2分别为C的左、右顶

4.(2022•全国乙卷)双曲线C的两个焦点为F],F2,以C的实轴为直径的圆记为D,过F1作D的切线与

点，B为C的上顶点.若西.丽=-1,则C的方程为〈)

3

C交于M,N两点，且coszRNFo-则C的离心率为()

A.哈+片=iB..+*=1C.竽+片=1D.缶+y2=i5

乎

孚

或3

-Ca

【答案】B2B.2

【知识点】平面向量数量积的运算：平面向量数量积坐标表示的应用：椭圆的简单性质【答案】C

【知识点】双曲线的简单性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用

【解析】【解答】解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过Fi作圆D的切线切点为G,【知识点】轨迹方程；棱锥的结构特征

所以OGJ.N无，因为cosZ^NFz=|>0，所以N在双曲线的右支，【解析】【解答】过点P作底面的射影点O,则由题意，。。=2百，PC=6,所以P0=2^,当CO上

所以|0G|=a,[OF/=c,|G&|=b,设/-FXNF2=a,，与RN=°,存在一点Q使得PQ=S,此时QO=1,则动点Q在以QO为半径，。为圆心的圆内，所以面积为兀

34

则

--邛8sA=

由cos乙FiNF?5即cosa=F，5si

在AF2F1N中，sinz.F1F2N=sin(?r-a-/?)=sin(a+/?)

,.q46.3a3a+4b

=smacos/?o+cosasin/?=^xv-+^x-=-―,

由正弦定理得襦=蟹=费*=竽，

Kt；ri...n..5c•-n5c-3a+4b3a+4bIMn.5c.e5ca5a

所以INF/=区smi&FzN=yx—g--=——，\NF2\=彳sin夕=yX-=y

-3

即Q

-=-所以双曲线的离心率e=^=

又|NFI|—|NF2|="^—¥=W=2Q，所以2b=3Q,Q2

故答案为：B

故选：C

【分析】过点P作底面的射影点O,根据题意可计算P0=2通，当CO上存在一动点Q使得PQ=5,此

【分析】依题意设双曲线焦点在x轴，设过％作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右支，设

时QO=1,即可得动点Q的轨迹，从而计算T表示的区域的面积.

乙F\NF?=a,LF2F\N=/?.即可求出sina.sin0,cos/?,在△七F〔N中由sinzF1F2^=sin(a4-

7.(2022•浙江学考)已知圆M的方程为Q+1)2+(y_2)2=4，则圆心M的坐标是()

0)求出sinzFi^/V,再由正弦定理求出|NFJ,\NF2\,最后根据双曲线的定义得到2b=3a,即可得

A.(-1,2)B.(1,2)

解.

C.(I,-2)D.(-1,-2)

5.(2022•北京)若直线2%+y—1=0是圆(x—a)2+y2=1的•条对称轴，则a=()

【答案】A

A.1B.-iC.1D.-1

【知识点】圆的标准方程

【答案】A

222

【解析】【解答】v(x-a)+(y-b)=r的圆心坐标为(a,b):

【知识点】直线与圆的位置关系

(x+I)2+(y-2尸=4的圆心坐标为(一1,2)□

【解析】【解答】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0),所以由2Q+0—1=0解得Q=

故答案为：A.

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合圆的标准方程，进而求出圆的圆心坐标。

【分析】由直线是圆的对称轴，则直线过圆心，求圆心代入直线方程即可求得a的值.

8.(2022•浙江学考)设A,B是平而上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PAHPB||=3,则P点的

6.(2022•北京)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是△4BC及其内部的点构成的集合，设集合

轨迹是()

T=[QES\PQ<5},则T表示的区域的面积为()

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

A.竽B.nC.27rD.37r

【答案】C

【答案】B【知识点】圆锥曲线的轨迹问题

【解析】【解答】因为||P川一俨引|=3V4,翼即可判断C选项；由函•话<0，拓？•丽V0求得^AOB,乙4MB为钝角即可判断D选项.

所以P点的轨迹是双曲线。

10.（2022•新高考团卷）已知O为坐标原点，点A（l,1）在抛物线C：x2=2py（p0）上，过点8（0,-1）的

故答案为：C.

直线交C于P,Q两点，则（）

A.C的准线为y=-lB.直线AB与C相切

【分析】利用已知条件结合双曲线的定义，进而求出点P的轨迹。

二、多选题C.\OP\•\OQ|>|OAI2D.|BP|-|BQ|>|BAI2

9.（2022・新高考12卷）己知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线与C交于A,B两【答案】B,C,D

【知识点】导数的几何意义；平面向量数量积的运算；直线的两点式方程：抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关

点，点A在第一象限，点M（p,0），若\AF\=\AM\，则（）

系

A.直线AB的斜率为2nB.\OB\=\OF\

【解析】【解答】解：由题意可知：l=2p,所以抛物线C：x2=y,故C的准线为>=-常故A错误；

C.\AB\>4|OF|D.LOAM+Z.OBM<180°

由y=2x得曲线C在点A（l,1）处的切线斜率为2,所以切线方程为y=2x-l,又直线AB为：薛?=/，

【答案】A.C,D

【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质：直线与圆锥曲线的关系即y=2x-l,故直线AB与C相切，故B正确；

【解析】【解答】对于A：易得F（宗0）,由\AF\=\AM\可得点A在FM的垂直平分线上，则A点横过点B（0,-1）的直线设为y=kx-l,交C于P,Q两点的坐标分别设为P（xi,yi）,Q（x2,y2）,

联立直线与C方程可得'1=>x2-kx+l=0,

坐标为挈=翠，代入抛物线可得y2=2p^=^p2,则力用，挈），直线AB的斜率为烝=

则xi+X2=k,xiX2=l,且4=/c2-4>0,

2V6,A符合题意：即k2>4,则yi+y2=k2-2,yiy2=l>

对于B：由斜率为2通可得直线AB的方程为x=4=y+f,联立抛物线方程得y2-j^py-p2=0,

此时I°PI•々Qi=J（xl+yl）（x2+yl）=]。1+?）（力+%）

设B（Xi，），则枭+%=却，则为=-学，代入抛物线得（一孥；=2p*，解得小=与，

yi=+）+月+1）=>4,又|OAF=2,则\OP\•\OQ|>|OAI2»故C正确；

则唱一多，

\BP\'\BQ\=BP-BQ=（xl,%+1）・卜2，y2+1）=+为为+%+为+1=公+1>5.

则\OB\=J⑥*_挚2=冬#|0F|=E.B不符合题意：又|BAF=5,则IBP|-|BQ|>|84』，故D正确.

故选：BCD

对于C：由抛物线定义知：\AB\=^+£+p=^>2p=4|0F|,C符合题意：

对于D：OA.OB=（^,学）吟-学）=*[+季.（一字）=_等<0，则〃。8为钝角，

【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A,根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B,根据

又福•丽=（-掌，季）-（-华，-学）=-¥-（-冬）+率（-学）=-警<0，则44MB为钝角，直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C,根据向量的数量积运算可判断D.

三、填空题

又Z.AOB+/.AMB+Z.OAM+“BM=360°,则Z.OAM+4。8M<180°,D符合题意.11.（2022.浙江）已知双曲线《一5=l（a>0,b>0）的左焦点为F,过F且斜率为A的直线交双曲线于

故答案为：ACD.

【分析】由\AF\=\AM\及抛物线方程求得省雪，浮），再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线AB点力（占，%），交双曲线的渐近线于点B（X2,力）且MV0VM.若\FB\=3\FA\,则双曲线的离心率

是

的方程，联立抛物线方程求得8q，一浮），即可求出\OB\判断B选项；由抛物线的定义求出\AB\=

【答案】¥【答案】x+V2y-2V2=0

【知识点】椭网的应用；直线与圆锥曲线的关系

【知识点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：记AB的中点为E,因为\MA\=|NB|,所以\ME\=\NE\,

【解析】【解答】如图，过点A作AA，_Lx轴于点A，，过点B作BB，_Lx轴于点B，,

f

设A(xx,%)，Bg，力)，则+^1

O3OJ

。「、2）（勺+》2）,（力+力）（丫1-32）

所以=0，即

bb3J6十3

所以黑:;器;,岩=-4，即%。£.以3=-4，设直线AB：y=kx+m,k<0m>0,

令％=0得y=m,令y=0得x=-受，即M（-旨,0）,N（0,m），所以E（-最,y）,

即上乂工=-劣，解得k=_卒或k=卒（舍去），

F222

又|MN|=2V3，即\MN\=J7n2+（企7n/=26，解得m=2或m=-2（舍去），

f

由于B（x272）且V0V必，则点B在渐近线y=上，不妨设8（m,，7n>0,

所以直线AB：y=-x+2，即x+V2y-2V2=0:

设直线AB的倾斜角为0,则tan。=泵则踪|=卷即向|=卷则尸8'|=4m故答案为：x+>/2y—2^2=0

【分析】记AB的中点为E,设A（xlf%），8（必，y2），利用点差法得到koE*AB=-3，设直线

•*»\OF\=c=3m，

AB：y=kx+m»k<0,m>0,结合已知条件求出M、N的坐标，再根据|MN|求出k、

|^£|_\AF\_1|.bmbe

又网一师一守则[n|历4z|=五=幅，

m,即可求得直线方程.

55

又翳^=牖=与则以'I=；四|=竽则，Ixd=3m-^m=-m-C

39

2

13.（2022•新高考13卷）已知点A（-2,3）,3（0,Q），若直线48关于y=a的对称直线与圆（x+3）+

.,.点A的坐标为（-济给，代入双曲线方程化简可得与=番

（y+2）2=1存在公共点，则实数a的取值范围为.

所以e=£=乎【答案】传,1]

a4

【知识点】与宜线关于点、宜线对称的直线方程：直线与圆的位置关系

故答案为：平【解析】【解答】解：因为A（-2,3）关于y=a对称点的坐标为A（-22a-3），8（0,a）在直线y=

4f

a上，所以AB所在直线即为直线I，所以直线I为y==^x+a，即（Q-3）无+2y-2Q=0；根据

【分析】过点A作AA，_Lx轴于点A、过点B作BB，_Lx轴于点B，，依题意，点B在渐近线y=1x上，不妨

圆方程可得圆心C（-3,-2），半径r=l»

设B（m,1m）,m>0,根据题设条件可求得点A的坐标为（-兽，器），代入双曲线方程，化简可得a,c

_|-3(g-3)-4-2fl|.

依题意知圆心到直线I的距离J(a-3)2+22

的关系，进而可求离心率.

12.（2022•新高考团卷）已知椭圆本+^=1,直线1与椭圆在第一象限交于A,B两点，与x轴，y轴分别即(5-5a心<(a-3)2+22，解得|<a<|»即a€生,1].

o3

交于M,N两点，且\MA\=\NB\f\MN\=273,则直线I的方程为.故答案为：

【分析】首先求出点A关于y=Q对称点A的坐标，即可得到直线I的方程，根据圆心到直线的距离小【分析】设出点M的坐标，利用点(3,0)和(0,1)均在0M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.

于等于半径得到不等式，求解即可.16.(2022•全国甲卷)记双曲线C：**l(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2%

14.(2022•全国甲卷)若双曲线y2-扁=l(7n>0)的渐近线与圆%2+y2-4y+3=0相切，则

与C无公共点”的e的一个值.

【答案】2(满足l<e4遍皆可)

【答案】等

【知识点】双曲线的简单性质

［知识点】点到直线的距离公式：圆的标准方程；圆的一般方程：双曲线的简单性质(解析］【解答】解：因为双曲线C：京―/=l(a>0,b>0)»

【解析】【解答】解：双曲线y2-^=l(m>0)的渐近线为y=±2，HPx±my=O,不妨取x+my=0,

所以C的渐近线方程为y=±，无，

圆%2+。2-4y+3=OEPx2+(y-2)2=1,所以圆心为(0,2),半径r=l,

结合渐近线的特点，只需0<1工2,即

.|2m|

依题意圆心(0,2)到渐近线x+my=0的距离d=百豪=1,

可满足条件''直线y=2x与C无公共点”

所以e=二=J1+%<V1+4=V5,

解得m=坐或m=-坐(舍去).

故答案为：字.

又因为e>l,所以iveg遥，

故答案为：2(满足1<e4遍皆可)

【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心

到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可.【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线y=±1x中0即可求得满足要求的e值.

15.(2022•全国甲卷)设点M在直线2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均在0M上，则OM的

17.(2022•全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程

方程为.

为.

【答案】(％-1)2+(y+l)2=5

【答案】Q-2)2+(”3)2=13或(x-2)z+(y-l)2=5或(X_/+(y=等或(%_/+

【知识点】圆的标准方程

(1、2169

【解析】【解答】解：•・•点M在直线2%+y—l=0上，

，设点M为(a,l-2a),又因为点(3，0)和(0,1)均在OM上，【知识点】圆的•般方程；点与圆的位置关系

【解析】【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,

・•・点M到两点的距离相等且为半径R,

(F=0(F=0

•••J(a-3)2+(1-2a)2=yjd2+(—2a)2»若过(0,0)，(4,0)，(-1,1)三点,则16+4D+F=0,解得D=-4,

(1+1-。+E+F=0(E=-6

化简得：a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2,