2021年高考数学最后冲刺讲次3

专题3.3高中数学解答题解题技巧

一、以退为进

二、正难则反

高中数学解答题解题技巧

—四、分解分步

——归纳,总结：

解答题是高考数学的一个大板块，是学生突破思维和能否取得高分的关键。对解答题的

解题策略，首先需要审清题意，这是做好解答题最关键的一步，一定要全面、认真地审清关

键词语、图形和符号，包括题中所涉及到的隐性条件等，恰当理解条件与所求目标间的联系,

合理设计好解题程序。在做好第一步的同时，根据解答题的特点，探求不同的思路，是做好

解答题的又一关键步骤。由于高考数学解答题设计比较灵活，寻求解题思路时，尽可能地将

条件和问题熟悉化、具体化、简单化，再合理运用分析法和综合法将其不断地转化与化归，

使问题不断清晰明了。除此之外，如果遇到一个很难的解答问题，可以将其分解为一系列的

步骤，或者是一个个的小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少；还有的一些

解答题分成了几步，而有时往往会在某一环节上卡壳，这时我们可以先承认这一未完成的中

间结论，跳步解答，看能否得出最后的结论；如果所要解决的问题较为抽象和普遍，而较难

证明和求解，不妨从一般到特殊转化，从具体到抽象转化，先将所求问题退化一步，拿到关

键得分点；最后要注意书写格式的清晰和规范，这也是完成解答题的一种辅助方式。

留题侬瞅

1、审清题意，综合所有条件，提炼全部已知线索，形成整体认识；

2、画好图形：涉及到图形的题目要做到定形状、定性质、定数量，注意图形中的可变因素，

注意图形的运动和变换；

3、寻求合理的解题思路和方法，找到得分点：以退为进、正难则反、大胆猜测、分解分步;

4、确保运算准确，学会检验结果。

一、以退为进

1I

【例1】已知函数/（x）=XH--X—

XX

（1）指出/（%）=|%+'|-|%一』|的基本性质（结论不要求证明）并作出函数的图像;

xx

（2）关于x的不等式灯.2（幻-24/'3+6（左-7）〉0恒成立，求实数k的取值范围;

（3）关于X的方程「⑺+m|*x）|+〃=O（私〃eR）恰有6个不同的实数解，求〃的取

值范围.

【难度】★★★

【答案】（1）解：D=（-oo,0）U（0,+oo）

2/

—--oo,-1）

L7

f（x）=\zn..........1分/（幻是偶函数........2分

2xxe（0,l]

—XG（l,+00）

在区间（一00,—1）和（0,1）匕单调递增，在区间（一1,0）和（L+oo）上单调递减…3分

/（x）的最大值是2,无最小值，值域为（0,2]...........................4分

（说明：在端点-1和1处可开可闭，在0处必须是开的，两个区间可以用“和”连接，但不

能用“U”连接；写对值域给分）

（作图如下：）....................6分

(2)因为关于x的不等式4/'2(%)-24。)+6(左一7)〉0恒成立,

令/(x)=f,则fe(O,2]7分

即不等式女(/—2r+6)>42在re(0,2]上恒成立8分

.,42

>2

当fe(O,2]时，v/2-2/+6e[5,6]9分"t-2t+610分

42-42J42]42

Xr2-2r+6-(r-l)2+5e[..............11分"k>~5........................12分

(3)关于％的方程/2(x)+m，(x)[+〃=0(九〃wR)恰有6个不同的实数解即

/2(幻+7/•(X)+〃=0有6个不同的解，.................................13分

数形结合可知必有/(幻=2和力(x)=f,re(0,2].............................................14分

令〃=/(%),则关于〃的方程8(〃)=〃2+〃.+〃=0有.根为2,另根在(0,2)间…15分

2m+〃+4=0

g(0)>0

18分

-j2)n"4)

2

tn2-4〃>0

【解析】对于复合型的函数、方程或不等式问题，我们可以先利用换元的方法将其退化为己

知熟悉的二次方程的形式，利用二次方程的特点去讨论和转化，这时候题目分析起来会相对

简单许多。

【例2】已知等差数列｛”“｝的首项为“，公差为b,等比数列也“｝的首项为〃，公比为4,其

中4、匕都是大于1的正整数，且6<4，b2<a..

(1)求”的值；

(2)若对于任意的〃GN*,总存在meN*,使得。,“+3=4成立，求人的值；

(3)令G=a“+|+2,问数列｛C,J中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等

比数列的连续三项；若不存在，请说明理由.

【难度】★★★

【答案】(1)由已知，得a“=a+(〃-l»,bn=h-a"~',由4<々，b2<a,,得a<b,

ab<a+2h,因a、方都是大于1的正整数，故。22,又b>a,故。23,再由出?<〃+如,

得(a-2»<a,故("2)b<b,即(。一3»<0,所以a<3,综上，a=2；

(2)由a=2,对于任意的〃wN*,均存在6eN*,使得Mm—l)+5=b-2"T,则

从2"-|一加+1)=5,又bN3,由数的整除性，得6是5的约数，故2"T—〃?+1=1,b=5,所

以〃=5时，存在正整数机=2"T满足题意；

(3)设数列｛《｝中，C“，C“M，C,+2成等比数列，由G=2+泌+。2一，(C.M)2=C,,.C.+2

得(2+油=(2+油+42"T](2+成+2匕+42川)化简得b=2"+(〃-2)-A2'T

(*)

当〃=1时，8=1时，等式(*)成立，而823,不成立；

当”=2时，/?=4时，等式(*)成立；

当”23时，b=T+[n-2)-b-r-'>4&,这与。23矛盾，这时等式(*)不成

立；

综上，当6声4时，不存在连续三项成等比数列；当b=4时，数列｛C“｝中的第二、三、四项

成等比数列,这三项依次是18,30,50.

【解析】对于第一问中的a的值的求解，很多学生感觉没有思路，对于列出的己知条件，观

察对比得到不等式是关键；第二问中的b的值的求解，学生也许不会求解其整数的存在性，

但可以通过特殊值的方式来先列出等式，看有无可能求出〃的值，通过由特殊到一般的方式

来退化计算，多观察几个就能得到满足题意的b；第三问同第二问，可以先找后求其唯一性。

【例3】已知椭圆「:下+铲=1(a>8>0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等

腰直角三角形，。为坐标原点.

(1)求椭圆「的方程;

11

(2)设点A在椭圆「上，点3在直线y=2上，且。4_LO8,求证:左+左为定值;

(3)设点C在椭圆「上运动，OC_LQD,且点。到直线CO的距离为常数d(O<d<2),

求动点。的轨迹方程.

【难度】★★★

【答案】(1)由条件可得b=c=夜，a=2)...................3分

22

椭圆「的方程为三+匕=1.........................................5分

42

(2)设4%,%),则。B的方程为尤,/+%y=0,由y=2得8(-处,2)…7分

*0

._L+_L=1+1=4+无；=4+x；,so分

22422

OAOB-V+J()墟+4(V+y0)4(r；+2-疸)

•V°2

(3)设。(％),%),£)(刀,丁)，由。C_LO£)得=0①

22

又。点在椭圆上得：工+2也=1②

42

4v~4J

联立①②可得x02=，，y02=:X,③....................12分

2x-+y-2x-+»

由OC_LOD得OCOD=CDd，即OC?■OD2=(OC2+OD2)-d2

可得—7=——7H-7，........................................14分

d2OC2OD2

将③代入得：—<=+——7=-j------H弓-

22

d~OCOD-x0+城x-+y

_________1________12x2+y2+4

2+2222

4x4y②x+y4(x+y)'

2x2+V+2x2+y2

化简得。点轨迹方程为：(£一｝/+(£一5万2=1,...................16分

【解析】对于解析几何的一般思路，所有学生基本都知道是设直线方程，设点，然后联系方

程，求解计算，但大部分学生都卡在了计算这一步，其实对于类似本题的定值定点等问题，

可以先利用特殊值求出题中的结果是多少，然后再化简代数式即可，即时最后化不完全，也

能求出结果，再下一问中也能继续使用。

【巩固训练】

1.定义在。上的函数f(x),如果满足：对任意xe。，存在常数M>0,都有成

立，则称/(x)是。上的有界函数，其中M称为函数/(x)的上界.

(1)设/(x)=上，判断/(X)在-上，上上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写

x+1L22_

出了(X)的所有上界M的集合；若不是，也请说明理由;

（2）若函数g（x）=l+2'+a-4'.在xw[0,2]上是以3为上界的有界函数，求实数。的取值范

围.

【难度】★★

【答案】（1）/。）=1一——.则在上是增函数，故f

x+1

即...................................(2分)

故|/（x）区1,所以/（幻是有界函数....................................（4分）

所以，上界M满足A/N1,所有上界M的集合是口，+8）................（6分）

（2）因为函数g（x）在xe[0,2]上是以3为上界的有界函数,故|g（x）区3在xe[0,2]上恒

成立，即一34g（x）43,所以，一3<1+2"+入4*<3(xe[0,2]),（2分）

所以（一FT21

<a<(xe[O,2]),

令/=—9贝(J，£一,1,故一4厂一，WaK2广—t在tG-,1上恒成立,

2’44

所以，（一4/一。max4a4（2厂—r）mm(f€一,1)»（5分）

4

令〃⑺=-4『—八则〃⑺在/E时是减函数，所以〃⑺max=g[；）=—g：（6分）

令pQ）=2〃T,则在，£—,1时是增函数，所以P⑺min=〃（']=一，.…（7分）

414J8

所以，实数a的取值范围是「一」，—「|..............................（8分）

28

2.设集合W由满足下列两个条件的数列｛凡｝构成：①""[%<.；②存在实数“为使

a<an<b对任意正整数n都成立.

（1）现在给出只有5项的有限数列｛%｝,｛〃｝,其中q=2,4=6,4=8,a4=9,a5=12；

bk=log2k（k=1,2,3,4,5）.试判断数列｛。“｝,｛2｝是否为集合W的元素；

（2）数列｛5｝的前〃项和为S“,q=1,且对任意正整数〃，点（c„+1,S„）在直线2x+y-2=0

上，证明：数列｛S〃｝eW,并写出实数。力的取值范围；

（3）设数列｛4｝eW,且对满足条件②中的实数6的最小值为，都有弘片瓦（neN"）.求证：数

列｛4｝一定是单调递增数列.

【难度】★★★

【答案】(1)对于数列｛4｝,•.•&•爱=1()〉/，不满足集合w的条件①，.•.数列｛4｝不是

集合w中的元素.

对于数列他卜.•华=晦6<晦2支空%叫必1呜3%

么答=log2V15<log24=三,而且，当ne｛1,2,3,4,5｝时有log?1<^<log25,显然满足集

合W的条件①②，故数列｛〃｝是集合W中的元素.-------------------4分

(2)因为点(c“+],S“)在直线2x+y-2=0上，所以

2%+S“-2=0①当〃22时，有2c“+S,T—2=0②

①—②，得2c,+1-2c,+%=0(〃22),所以，当〃22时，有q,M=；c..

又2c2+S-2=0,S1=q=l,

所以c?=g=gq.

因此，对任意正整数〃，都有—=L所以，数列｛%｝是公比为人的等比数列，故

Cn22

%=击，5“=2一击(〃6").

对任意正整数〃，都有以产=2—£-9<2—5=S向，且14s“<2,故｛SjeW,实数

a的取值范围是(f,1],实数6的取值范围是[2,”).--------------------10分

(3)假设数列｛4｝不是单递增数列，则一定存在正整数女°,使4。24加.-72分

此时，我们用数学归纳法证明：对于任意的正整数〃，当〃2即时都有424川成立.

①“=勺时，显然有42J„+l成立；

②假设〃=机(机2短)时，dm>dm+l,

则当〃=加+1时，由"山<din+i可得dm+2<2dx%,从而有

4"+1一4"+2>4"+1一(24”+1-4“)=dm-dm+l20,所以4n+1>dm+2.

Hl①②知，时任意的〃2%,都有d“2dn+i.16

分

显然…，限这k0个值中一定有一个最大的，不妨记为.于是4Mzd“(〃eN”),从而

d2=瓦,与已知条件#b0(neN")相矛盾•

所以假设不成立，故命题得

证.------------------------------------------------------------18分

【解析】第三问的条件较为抽象，不好着手分析推理，而对于数列的证明问题，还有一种通

用的数学归纳法，论证的过程也许拿不到满分，但还是能拿到关键的步骤分，而不能将题空

着。

3.已知两动圆耳：(％+6)2+;/=/和月：瓮一石)2+,2=(4一功2(o<r<4),把它们的

公共点的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上的相异两点A、B

满足：MAMB=O.

(1)求曲线C的方程；

(2)若A的坐标为(—2,0),求直线A3和y轴的交点N的坐标；

(3)证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标.

【难度】★★★

【答案】(1)设两动圆的公共点为Q,则有：|Q6|+|QR|=4(>］耳目).由椭圆的定义可知Q的

2

轨迹为椭圆，a=2,c=>j3.所以曲线。的方程是：土+/=1.…4分

4

—►—•1

(2)由条件M4・M8=0,知道右/血=—1，•・•M(0,l),A(-2,0)AkMA=-,

kMB=-2,得直线MB.y=—2x+1,................................6分

屋2

解方程组可得5(吧,——),......................8分

c,1717

y=-2x+l

3333

扁8=_正，直线43：,=_历苫一1,所以交点N(0,-《)..................10分

(3)证法一：由题意可知：”(0,1),设A(%，M),B(x2,y2),

当A3的斜率不存在时，易知满足条件而•耐=0的直线AB为：x=0过定点

3

N(0,—?.................12分

当A8的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m,联立方程组:

2

—+y2=]①

<4,把②代入①有：(1+4%~)/+8%如+4根~一4=0.................14分

y—kx+m②

-Skm4m2-4

X+9③，尤]④,

1+4公1+4公

因为M4・M3=0,所以有芭・々+(3-\-rn-l)(Ax2+m-1)=0,

2

(1+%2)芯，x2+^(/n-l)(Xj+x2)+(m-l)=0,把③④代入整理:

(1+)2)4〃厂—4+/〃?一1)^^+(加-1)2=0,(有公因式犷1)继续化简得：

1+4公l+4k-

-3

(m-l)(5/n-3)=0.加=行-或m=1(舍)，

3

综合斜率不存在的情况，直线A3恒过定点N(0,—《)...................16分

证法二：(先猜后证)由题意可知：Al(0,l),设A(x”yJ,3(尤2，%)，

如果直线A5恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y轴上，设为N(0,m)；

取特殊直线MA:y=x+l,则直线MB的方程为y=-x+l,

[■尤2

2

解方程组1—4+•v=1得点A(—不8-’3,同理得点83

y=x+1

3

此时直线A5恒经过y轴上的点N(0,-,)(只要猜出定点的坐标给2分)……12分

下边证明点N(0,-,3满足条件M---A---M--B--=0

当AB的斜率不存在时，直线方程为：x=0，

点A、B的坐标为(0,±1),满足条件而♦砺=0；................................14分

当A5的斜率存在时，设直线A5：y=联立方程组:

~T+=1①24A64

4,把②代入①得：(1+43)/—--%--=0

y=k7x——3G②525

5

—

24人三64八

x,+x=-------丁③，X=-----------④，

1~25(1+4工)1-25(1+4/)

所以MA-MB=再•％+(X-D(%-1)=%%+(玄।一

5

=(1+%2)玉%2-慨(，1+'?)+不

-648k24k64八

=(1+A2)•_H---=016分

25(1+4F)55(1+4公)25

二、正难则反

【例4】设/(x)是定义在。上的函数，若对任何实数ae(O,l)以及。中的任意两数玉、x2,

恒有/(。不+(1—。)马)Wa/(玉)+(1-。)/(々)，则称/(x)为定义在。上的C函数.

(1)证明函数力(x)=£是定义域上的C函数；

(2)判断函数力(x)=L(x<0)是否为定义域上的C函数，请说明理由；

X

(3)若/*)是定义域为R的函数，且最小正周期为T,试证明/(%)不是R上的。函数.

【难度】★★★

【答案】(1)证明如卜：对任意实数和%及。£(°，1)，

行,f(二百+(1—a)/)_(1_a)/(X?)=(2%+(1—a)/1—axj—(1—a)/-2分

22

=-6Z(l-<z)^+2a(\-a)xxx2=-a[\-a^xx-x2)<0,4分

即f(axx+(l-cif)x2)<a/(x1)+(l-cif)/(x2),5分.二工(可=一是。函数；6分

(2)人(x)=?x<0)不是C函数，7分

说明如下(举反例)：取斗=—3,x2=-l,a=；，则

/(&X]+(l-c)x2)_a/(xj_(l_a)/(x2)=/(_2)_；/(_3)_；/(T)=_g+：+；>0

即/(ax,+(1—a)刍)〉《/(王)+(1-0)/(%2)，；•人(x)=,(x<0)不是C函数；10

(3)假设/(x)是R上的C函数，11分

若存在心〈〃且7%"e[0,T),使得f(m)于/(«)o

⑴若/(〃。</(〃)，

记再=机，x2=m+T,a=1--~,则且〃玉+(1—a)/,

那么/(〃)=/'(分］+(1-£)电)〈讨(％)+(1-a)/(%2)

=«/(w)+(l-a)/(m+T)=/(〃?)，这与/(〃?)</(〃)矛盾;13分

(ii)若/(/〃)>/(〃),

记X]=〃，x2=n-T,a=1--~,同理也可得到矛盾；14分

在[0,T)上是常数函数，15分

又因为/(x)是周期为T的函数，所以/(x)在R上是常数函数，这与“X)的最小正周期为T

矛盾.16分

所以“X)不是R上的C函数。

【解析】如果正面求解比较困难，或者说推翻一个结论性的问题，都可以从反面出发，假设

反证或是举反例寻找矛盾都可以，这样可以简化题型思路。

【例5】对于数列｛%｝,如果存在一个正整数沉，使得对任意的〃(〃wN*)都有乙+,“=尤”成

立，那么就把这样一类数列｛%｝称作周期为〃7的周期数列，用的最小值称作数列｛%｝的最小正

周期，以下简称周期.例如当Z=2时｛%｝是周期为1的周期数列，当笫=sin(]〃)时｛片｝是周

期为4的周期数列.

(1)设数列｛〃“｝满足。“+2=九々“+1-N"),%=a,%=b不同时为0),且

数列｛4“｝是周期为3的周期数列，求常数2的值；

(2)设数列｛4｝的前上项和为S”,且4sli=4+1)2.

①若a„>0,试判断数列｛«„｝是否为周期数列，并说明理由；

②若a“a“+i<0,试判断数列｛4｝是否为周期数列，并说明理由；

(3)设数列｛““｝满足。“+2=-。“+|N*),4=1,4=2,bn=a„+\,数列｛〃,｝的

前”项和为S“，试问是否存在p,q,使对任意的“wN*都有pW&Wq成立，若存在，求出

n

的取值范围；不存在，说明理由.

【难度】★★★

【答案】(1)由数列｛4｝是周期为3的周期数列，

a2=九7“口-a„

4+3=4且｛一_2=(彳+1)(4+2—。“+|)=°，即几=一1,4分

4+3=/可+2一4+1

(2)当〃=1时，S1=q,又4s।=(q+得％=1.................6分

当“22

22

4«„=4S„-4s,i=(«„+-(％+1)na-1产=(a„,1+1),

aa

即n-n-\=2或a“=-an_t(tt>2).................8分

①由为>0有凡一=2(n>2),则｛%｝为等差数列，即。“=2〃一1,

由于对任意的〃都有所以｛%｝不是周期数列......10分

②由a,".<0有4=—%(心2),数列｛a„｝为等比数列,即a„=(-1尸,

即«„+2=4对任意nwN"都成立，

即当44用<0时｛%｝是周期为2的周期数列..............12分

(3)假设存在p,q,满足题设.

于是［=。"+3=。"又£=%+1则％+3=2厂

口+3=-4+2-4用

所以｛勿｝是周期为3的周期数列，所以｛b,,｝的前3项分别为2,3,—2,

n(n=3k)

则S〃=卜2+1(〃=3左一2),keN*.....................16分

〃+3(〃=32-1)

q

当〃=3%时，1=1;

n

qIv

当〃=3%-2时，i=l+—=lv

nnn

q3q5

当〃=3攵-1时，^-=1+-=>1<^-<-.

nnn2

q5

综上l<u4一...........................................18分

n2

V5

为使pK或Kq恒成立，只要“N/即可，

n2

综上，假设存在p,q，满足题设，p<\,^>|..............20分

【解析】对于存在性判断的问题，我们一般都是从结果出发，执果索因，而对于某些已知判

断不存在的情况，我们只需要举出反例即可。

【巩固训练】

1.己知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长为4,且点卜，立］在椭圆C上.

I2J

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量2=(2,1)的直线/交椭圆C于4、B两

点，求证：|24|2+|28|2为定值.

【难度】★★

【答案】（1）因为C的焦点在X轴上且长轴为4,

故可设椭圆。的方程为三+二=1<a>b>0）,....................（1分）

4b

因为点在椭圆。上，所以』+3=1,..................（2分）

（2J44〃

解得〃=1,.......（1分）

一

所以，椭圆C的方程为一+y2=i...................................（2分）

4

X—；77

（2）设尸（m，0）（-2<m<2）,由已知，直线/的方程是丁二二万一，……（1分）

1/、

y=-（x-m）,

由<=>2x2—2mx+JTT—4=0（*）................（2分）

X1

—2=i，

I4

设A（再，必），B（X2,y2）,则匹、々是方程（*）的两个根，

727-4

所以有，x2+x2=m,x]x2=---,.........................（1分）

所以，|PA「+|QB「=（七一〃2）2+K+（尤2―，篦厂+y\

=（%1一相）-H（X1—//?）~+（占一777）~H（%一m）’=—[（X|一机）~-171）~]

2222

=—[xj-2m(X1+x2)+2m]=—[(X)+x2)-2m(x)+x2)-2x)x2+2m]

=—[m2—2m2-(in2-4)+2m2]=5(定值).........................(3分)

4

所以，|PA|2+|尸3|2为定值.........................................(1分)

（写到倒数第2行，最后1分可不扣）

【解析】定值可以利用特殊的点去检验，然后通过方程一般性设值去化简，即使运算量有些

学生达不到，扣去合并运算的那一步，还是能拿到大部分的分值。

2.已知数列｛里,｝的各项均不为零，4=1,电=加，且对任意〃£N*,都有。3=%%+2+。・

（1）设c=l,若数列｛%｝是等差数列，求〃?；（5分）

(2)设c=l,当〃22.eN*时，求证：生■土&L是一个常数；(6分)

an

(3)当c=(/n+l)2时,求数列｛4｝的通项公式(7分)

【难度】★★★

【答案】(1)由题意得：4=。2-4=加一11分

an=1+(〃-1*加-1)，％+1=1+”(加一1)，4+2=l+(〃+lX/"T)2分

。"+1=°”“"+2+L

.-.[l+n(/n-l)]2=[1+(n-1)(/n-1)J1+(n+l)(m-1)]+13分

m=25分

(2)计算％=帆2-1,4+°3=加,猜想°"T+许+1=m7分

a2an

欲证明强+&=m恒成立

a„

只需要证明%+3=%恒成立

aa

nn+S

即要证明+《㈤)=+凡+2)恒成立

即要证明用+a“+；=a：+a„an+2恒成立(***)9分

4+1=《,%+2+L；•区,+田,i=区：-l,anan+2=a,/一1京分

222

(***)左边=4+避,一+«„+1=a„-l+a„+1

(***)右边二a/+Q〃+]2-1

所以(***)成立11分

方法二：计算〃3=加2-1，卬+-=m,猜想“七+4剜=m7分

a2an

2121

«；+i=《"“+2+1,%=«„-!«„+!+l

22

aa

,,+i-n=a，M，，+2-a，i%+i

«,ti+%T/+I=%+64+29分

由于4NO,上式两边同除以4a,+1,

得"0=9

册«„+1

a，，+a，，+2_4i+a，，+i__%+%

所以，"用%ii分

所以％L±&L=根是常数11分

a„

(3)计算%=/一1，4±幺=史止£=一2,

a2m

类比猜想"a+"用=—212分

22

«n+i=44+2+c,an=+c

22

/+]_/=anan+2~an-\an+\

22

。+1+。-4*1=。+。,4+2

由于。“#0,上式两边同除以4a用，

得%+|+如=—(〃>2).

a“4+i

可+%+2_*+%__%+4.

所以，“向生

所以川=—2是常数13分

%

所以4土%L=—214分

(%+4)=_(/+1+4)

•“，用+《，=(一1)“‘(m+1)

TI

/.q=l,a,=m,a3=-(2/+1),4=G瓶+2)

猜想=(-1)”[(“-1即+(“-2)]15分

用数学归纳法证明：

显然〃=1时，成立，

假设”=%时，4=(_1)7化_1即+仅一2)械立，

则〃=4+1时，％+]=(-1)1(〃2+1)—%

二(一1)"1(m+1)—(一1>[(4一1)m+(左一2)]

-l

ak+l=(-[(H2+1)+(k-\)m+(k-2)]

1

ak+i=(-1/[km+(k-1)]=(-1)，“k加+(k-1)]

所以对一切〃wN时，a”=(一1)"[(〃-1)，”+("-2)]成立,

三、大胆猜测

22O

【例6】已知椭圆。:x下+%=1（。〉〃〉（））的右焦点为/（1,0）,且点P（l,9在椭圆C上.

（1）求椭圆C的标准方程；

Yv24

（2）过椭圆a：=+—三=1上异于其顶点的任意一点。作圆。：丁+9=2的两条切线,

/2

切点分别为M,N（M,N不在坐标轴上），若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为〃4%证

明：—■为定值；

X23y2

（3）若6，心是椭圆。2：三+号-=1上不同的两点，轴，圆E过耳，8,且椭圆G上

任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆。2是否存在过左焦点

耳的内切圆？若存在，求出圆心E的坐标；若不存在，请说明理由.

【难度】★★★

【答案】（1）由题意得，c=l.所以/=从+1,

31Q

又点P（l,±）在椭圆C上，所以二+三=1,解得"=412=3,

2a2小

2y2

所以椭圆C的标准方程为X二+L=l.-3

43

x23V2

（2）由⑴知,。|：7+半=1，设点。（占，％），〃*2，%），%（%，为），

则直线。”的方程为wx+y2y=三4，①直线QN的方程为wx+y3y=：4，②

4

元2%+%%=£4

把点Q的坐标代入①②得，二,所以直线MN的方程为％x+yy=；,

44

令y=0,得机=——，令x=0,得n=,

3%3yl

44

所以玉=3，x=上,又点。在椭圆&上，

3m3n

AA11Q

所以(二-)2+3(上)2=4,即一、+与=工为定值.・一9分

3m3n3m2n24

(3)由椭圆的对称性，不妨设《(孙由题意知，点E在x轴上，

设点E(f,O),则圆E的方程为(xT『+y2=(根—.)2+〃2.--11分

由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E的距离的最小值是忸目，

设点M(x,y)是椭圆C2上任意一点，则=(x-t)2+y2=^x2-2tx+r+1,

当x=〃z时，「最小，所以加=-?■=《■・①

2

假设椭圆。2存在过左焦点£的内切圆，则(-6-)2=(根-y+〃2.②

又点片在椭圆。2上，所以〃2=1-勺.③一T4分

由①②③得"-且或"-百，

2

当1=一有时，加=生=3叵<一2,不合题意，舍去，且经验证，f=—走符合题意。

332

综上，椭圆G存在过左焦点尸的内切圆，圆心E的坐标是(-三,0).---------16分

【解析】在解析几何的位置、距离、特殊点、特殊值的判断中，不妨转换个角度，现根据现

有条件猜测和利用数值求出一个可行的答案，再反向论证即可。

【例7】已知数列｛a,,｝,S“为其前〃项的和，满足3="辿.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)设数列｛」"｝的前"项和为7；,数列",｝的前”项和为R“，求证：当〃22,〃eN*时

%

&-H；

(3)已知当〃eN*,且〃26时有(1一一七)"<(5"，其中机=1,2,…求满足

3"+4"+…+(〃+2)"=(a„+3户的所有n的值.

【难度】★★★

/?(7?+1)(/?1)H

【答案】(1)当〃22时，«„=Sn-Sni=-~=n

"〃"।22

又,.・4=S|=1,所以........................5分

(2)、〈法一〉.-.7；

ann2n

；•R『i=i+(i+；)+(i+g+；)+-+(i+g+・・・+^p

=(H-1)-1+(n-2)•—+(n-3)•—H-----Fl----

23n-\

=w(l+—+—H1-----1+—)=n(l+—+—H-----1—--F——1)=n(T—1)(72>2)…6分

23n-\n23n-\n

〈法二〉：数学归纳法

①〃=2时，/?,=7；=—=1,2(7；-1)=2(—+—-1)=1..............................1分

qa}a2

②假设几=k(k22,k£N*)时有Ry=卜夏卜T)...............................1分

当〃=左+1时，Rk=Rkf+Tk^k(Tk-1)+7；.=(A+1)4_Z=(A+D(7；M--匚)-k

aM