动力学普遍方程及拉格朗日方程

动力学普遍方程和拉格朗日方程※

引言※

动力学普遍方程※拉格朗日方程※拉格朗日方程的初积分※

结论与讨论

经典动力学的两个发展方面

拓宽研究领域矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学牛顿运动定律由单个自由质点

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受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)

欧拉将牛顿运动定律

★

刚体和理想流体

寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学

★

建立分析力学的新体系拉格朗日力学考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有主动力约束力惯性力令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为动力学普遍方程系统的总虚功为利用理想约束条件得到

——动力学普遍方程任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。动力学普遍方程的直角坐标形式动力学普遍方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有定常约束的系统，也适用于具有非定常约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有完整约束的系统，也适用于具有非完整约束的系统。动力学普遍方程既适用于具有有势力的系统，也适用于具有无势力的系统。

动力学普遍方程主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律。

应用动力学普遍方程求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力。

由于动力学普遍方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。

应用动力学普遍方程，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功。动力学普遍方程的应用例题1已知：m

，R,f

，

。求：圆盘纯滚时质心的加速度。

Cmg

aCFIR

MIC

x解：1、分析运动，施加惯性力

2、本系统有一个自由度，令其有一虚位移

x。3、应用动力学普遍方程其中：例题2离心调速器已知：m1－球A、B的质量；m2－重锤C的质量；l－杆件的长度；

－O1y1轴的旋转角速度。求：－

的关系。

BACllll

O1x1y1解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。取广义坐标q

=

1、分析运动、确定惯性力球A、B绕

y轴等速转动；重锤静止不动。球A、B的惯性力为FIBFIAm1gm2gm1g

BACllll

O1x1y1FIBFIAm1gm2gm1g

rC

rB

rA2、令系统有一虚位移

。A、B、C

三处的虚位移分别为

rA、

rB、

rC。3、应用动力学普遍方程根据几何关系，有

BACllll

O1x1y1FIBFIAm1gm2gm1g

rC

rB

rA3、应用动力学普遍方程xOyC2D求：1、三棱柱后退的加速度a1；

2、圆轮质心C2相对于三棱柱加速度ar。C1ACB

例题3质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。解：1、分析运动三棱柱作平动，加速度为a1。圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae=a1；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为

2。a1aear

2xOyC2DC1ACB

a1

2m1gm2gFI1FI2eFI2rMI2aear解：2、施加惯性力解：3、确定虚位移考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度。第一组第二组二自由度系统具有两组虚位移：

x

xOyC2DC1ACB

m1gm2gFI1FI2eFI2rMI2

解：4、应用动力学普遍方程令：xOyC2DC1ACB

m1gm2gFI1FI2eFI2rMI2解：4、应用动力学普遍方程令：

x

解：5、求解联立方程拉格朗日(Lagrange)方程由N个质点所组成的质点系主动力虚位移广义坐标第i个质点的位矢由动力学普遍方程，得

——广义力第一个Lagrange经典关系(消点)对任意一个广义坐标qj

求偏导数如果将位矢对任意一个广义坐标qj

求偏导数，再对时间求导数，则得到＝第二个拉格朗日关系式此即拉格朗日方程，或称为第二类拉格朗日方程。如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力引入拉格朗日函数L＝T－V得到主动力为有势力的拉格朗日方程

对于只具有完整约束、自由度为

N

的系统，可以得到由

N

个拉格朗日方程组成的方程组。应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：

首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。

其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。

按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。

将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。拉格朗日方程的应用OARrM

例题4均质杆OA质量为m1、可以绕O端转动,小齿轮A质量为m2，半径为r

,其上作用力偶M。求：该杆的运动方程。解：1、系统具有一个自由度，取

为其广义坐标。2、计算系统的动能：其中：OARrM

3、计算广义力：4、应用拉格朗日方程例题5已知：m1

,m2,R,f,F

。求：板的加速度。FCR解：1、系统具有二个自由度，取

x、

为其广义坐标。

Oxx2、计算系统的动能：其中：3、计算广义力：(1)令：(2)令：Fs4、应用拉格朗日方程解得：例题6xOxl0质量为m、长度为l

的均质杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动。A端的小圆轮与刚度系数为k

的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为l0。求：系统的运动微分方程AB

kC

解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。

2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x,

),

x

坐标的原点取在弹簧原长的下方。xOxl0AB

kC

解：3、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为AB杆的动能速度vC的确定系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以O点为共同的势能零点：xOxl0AB

kC拉格朗日函数4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程OACk例题7质量为m1、半径为

r的均质圆轮在水平面上纯滚，轮心与刚性系数为k

的弹簧相连。均质杆AB长度为l

，质量为m2

。求：系统的运动微分方程。解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。

2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x,

),

x

坐标的原点取在弹簧原长处。

xxyOACk

xxy3、计算系统的动能：速度vC的确定系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成：OACk

xxy拉格朗日函数4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程O1O2例题8质量为m、半径为

3R的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为m

，半径为R

，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。求：系统的运动微分方程。解：1、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。

2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(

,

)。

O1O2

3、计算系统的动能：由运动学可知：建立随质心O1平动的坐标系O1x1y1x1y1O1O2EvO1vO2rvErO1O2

3、计算系统的动能：O1O2EvO1vO2rvEr系统的势能：O1O2

拉格朗日函数4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程拉格朗日(Lagrange)方程的初积分（1）循环积分（广义动量守恒）（2）能量积分（广义能量守恒）当L

函数不显含某一广义坐标qj

时，qj

___称为循环坐标，此时，有循环积分：系统主动力有势，L函数不显含时间t，约束是定常的，即有机构能守恒：O1O2

由能量积分得：因L

函数不显含

，故

为循环坐标，系统存在循环积分：O1O2

结论与讨论

达朗贝尔原理、虚位移原理与拉格朗日方程

达朗贝尔原理在形式上将质点系动力学问题化为静力学平衡问题。

虚位移原理给出了质点系平衡的充分与必要条件。

通过达朗贝尔原理可以将虚位移原理推广应用于质点系的动力学问题，得到达朗贝尔－拉格朗日方程，即第一类拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程，用于求解具有理想约束的非自由质点系的动力学第二类问题，即已知主动力求运动。

结论与讨论

第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔－拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。达朗贝尔－拉格朗日方程适用于具有理想约束或双面约束的系统。达朗贝尔－拉格朗日方程既适用于具有定常约束的系统