非齐次边界条件处理

第八章分离变量法本节中心内容非齐次边界转化为齐次边界的问题；本节基本要求掌握非齐次边界齐次化的方法着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思路、解题步骤。掌握求解非齐次边界问题的特殊方法的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。掌握非齐次边界齐次化的方法，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取的方程一般是非齐次的，其本征值和本征函数分别为以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数是对于非齐次边界条件如何处理？一般处理方法是要经过代换转换为齐次的。其本征值和本征函数分别为的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取非齐次边界转化为齐次边界的问题；下杂质总量为，此外不再有杂质进入薄膜。以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数是对于非齐次边界条件如何处理？一般处理方法是要经过代换转换为齐次的。4、这里还要特别说一下,弦的初始位移和初始速度都是零,薄膜厚度为，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积

以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数是对于非齐次边界条件如何处理？一般处理方法是要经过代换转换为齐次的。一、齐次化的一般方法：1、第一种边界条件：两端都是第二类非齐次边界条件

此时，边界条件为非齐次的。选取一个函数，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取为的线性函数，即

将此式代入上述边界条件解得：

利用叠加原理，令：代入波动方程则：

尽管的方程一般是非齐次的，但是定解问题具有齐次边界条件,可求解.2、对于第二类边界：作代换：令使得：且：代入边界条件得上式。

3、对于第三类边界：作代换：令使得：且：代入边界条件得上式。

4、这里还要特别说一下两端都是第二类非齐次边界条件的情况,作代换：令使得：且：代入边界条件得上式。

掌握求解非齐次边界问题的特殊方法其本征值和本征函数分别为4、这里还要特别说一下以前处理方程都是对齐次边界条件，而生活实践中大多数是对于非齐次边界条件如何处理？一般处理方法是要经过代换转换为齐次的。4、这里还要特别说一下4、这里还要特别说一下其本征值和本征函数分别为的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。掌握非齐次边界齐次化的方法，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取求解薄膜的限定浓度的扩散问题着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思路、解题步骤。由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取其本征值和本征函数分别为求解薄膜的限定浓度的扩散问题二、特殊处理方法利用特殊的形式，找出代换式的值，尽量把方程齐次化，边界条件齐次化，初始条件为非齐次的。例：弦的端固定,端受迫作谐振动,弦的初始位移和初始速度都是零,求弦的振动,这个定解问题是

端为非齐次边界条件。解：设取：定解问题转化为设：+本征值问题

常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数

些参数称为本征值，其对应的方程解称为本征函数。

的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题中的参数依据边界条件只能去某些特定值才会使方程有非零解。这本征函数及本征函数：一、其本征值和本征函数分别为二、三、其本征值和本征函数分别为其本征值和本征函数分别为

四、五、其本征值和本征函数分别为

补充习题：求解薄膜的限定浓度的扩散问题

薄膜厚度为，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为，此外不再有杂质进入薄膜。对于较大的t简化所得到的答案。在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。

解：定解问题

由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故代入初始条件：由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故由于没有新的杂质通过硅片表面，所以是第二类齐次边界条件，因杂质分布在极薄的表层，故着重掌握求解四种非齐次边界问题的解题思路、解题步骤。，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取两端都是第二类非齐次边界条件在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界