重要几何模型12-2 截长补短【解析版】

第十二章重要几何模型2截长补短模型1截长定义：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段；示例剖析在线段上截取2补短定义：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长，使得。【题型1】基本模型【典题1】如图所示，在正方形ABCD中，E是CD上的任意一点，以AE为一边作∠EAF＝45°，射线AF交BC于F点，连接EF，求证：EF＝DE+BF．证明延长CB到G，使BG＝DF，连接AG．如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABG＝90°＝∠D，∵△ABG和△ADF中，AB=AD∠ABG=∠D∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠1＝∠2，又∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°，∴∠2+∠3＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠GAE＝∠EAF＝45°．在△AEG和△AEF中，AG=AF∠GAE=∠EAF∴△AEG≌△AEF（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝BG+BE，DF＝BG，∴EF＝DF+BF．【巩固练习】1.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．求证：AB+BD＝AC．证明在AC取一点E使AB＝AE，在△ABD和△AED中，AB=AD∠BAD=∠EADAD=AD，∴△ABD≌△∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，∵∠AED是△EDC的外角，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AB+BD＝AE+EC＝AC．2.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：BC＝AB+DC．证明延长BE交CD的延长线于点F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠ABE，∠A＝∠FDA，∴∠F＝∠CBE，∴CF＝BC，∵CE平分∠BCD，易得△CBE≌△CFE（ASA），∴BE＝EF，在△ABE和△DFE中，∠F=∠ABEEB=EF∠AEB=∠DEF，∴△ABE≌△FDE（∴FD＝AB，∵CF＝DF+CD，∴CF＝AB+CD，∴BC＝AB+CD．3.如图在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点．连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．解析BE+CF＝EF．证明如下：如图，把△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG，则∠1＝∠3，∠4＝∠C，DG＝DF，BG＝CF，∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠1+∠2＝120°﹣60°＝60°，∴∠3+∠2＝60°，即∠EDG＝60°，∴∠EDG＝∠EDF，∵∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠4＝180°，∴点E、B、G共线，在△EDG和△EDF中，DG=CF∠EDG=∠EDF∴△EDG≌△EDF（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BE+BG＝BE+CF，∴BE+CF＝EF．4.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．(1)若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；(2)连CE，求证：BE＝AE+CE．证明：(1)∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，∴∠BAD＝90°，∵AB＝AC＝AD，∴△ABD是等腰直角三角形；(2)在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，∵线段AC与AD关于直线AP对称，∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，在△ABF与△ACE中&AC∴△ABF≌△ACE(SAS)，∴AF＝AE，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，又∠CAE＝∠DAE，∴∠AEB∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，∴△AFE是正三角形，∴AF＝FE，∴BE＝BF+FE＝CE+AE．【题型2】模型综合练习【典题1】(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否仍然成立，并说明理由；(3)实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以65海里/小时的速度前进，前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．解：(1)结论：EF＝BE+FD．理由：根据△ABE≌△ADG可得BE＝DG，根据△AEF≌△AGF得EF＝GF，∴EF＝DG+DF＝BE+DF，故答案是：EF＝BE+DF；(2)结论：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中&AB∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝2∠EAF﹣∠EAF＝∠EAF，在△AEF和△AGF中&AE∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；(3)如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C．由题意可知，∠EOF＝70°，OA＝OB…①，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+(90°﹣70°)＝140°，∴∠AOB＝2∠EOF…②，又∵∠A+∠OBC＝(90°﹣30°)+(70°+50°)＝180°…③，∴由①②③可知，符合“探索延伸”中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立，即EF＝AE+FB＝(50+65)×3＝345(海里)．答：此时两舰艇之间的距离为345海里．【巩固练习】1.已知△ABC中，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O．（1）直接写出∠BOC与∠A的数量关系；（2）若∠A＝60°，利用（1）的关系，求出∠BOC的度数；（3）利用（2）的结果，试判断BE，CD，BC的数量关系，并证明．解析（1）∠BOC＝90°+12∠理由如下：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝90°+1（2）当∠A＝60°时，∠BOC＝90°+12×60°（3）BE+CD＝BC，证明：在BC上取点G，使得CG＝CD，连接OG，由（2）知：∠BOC＝120°，∴∠BOE＝∠COD＝60°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCO＝∠GCO，在△COD和△COG中CD=CG∠DCO=∠GCO∴△COD≌△COG（SAS）∴∠COG＝∠COD＝60°，∴∠BOG＝120°﹣60°＝60°＝∠BOE，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠GBO，∴在△BOE和△BOG中∠EBO=∠GBOBO=BO∴△BOE≌△BOG（ASA）∴BE＝BG，∵BG+GC＝BC，∴BE+CD＝BC．2.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，有BM+DN＝MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．证明（1）图1中的结论仍然成立，即BM+DN＝MN，理由为：如图2，在MB的延长线上截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∵在△ABE和△ADN中AD=AB∠D=∠ABE∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，∵在△AEM和△ANM中AE=AN∠EAM=∠NAM∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，即DN+BM＝MN；（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN﹣BM＝MN．证明：如图3，在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，∵在△AMN和△AEN中AM=AE∠MAN=∠EAN∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．3.如图，△ABC是等边三角形、△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN．(1)探究线段BM、MN、NC之间的数量关系，并证明；(2)若点M、N分别是AB，CA延长线上的点，其他条件不变，请作出图形，再探究线段BM，MN，NC之间的数量关系．(不要求证明)答案(1)MN＝BM+CN(2)MN＝CN﹣BM解析(1)MN＝BM+CN．证明：如图1，延长NC到E，使CE＝BM，连接DE，∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠MBC+∠DBC＝60°+30°＝90°，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣∠ABD＝90°，在△CDE和△BDM中&CD∴△CDE≌△BDM(SAS)，∴∠CDE＝∠BDM，DE＝DM，∴∠NDE＝∠NDC+∠CDE＝∠NDC+∠BDM＝∠BDC﹣∠MDN＝120°﹣60°＝60°，在△DMN和△DEN中&DM∴△DMN≌△DEN(SAS)，∴MN＝NE＝CE+CN＝BM+CN．(2)MN＝CN﹣BM．证明：如图，在CA上截取CE＝BM，连接DE，在△MBD和△ECD中&MB∴△MBD≌△ECD(SAS)，∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝∠MDB+∠BDN＝∠CDE+∠BDN＝60°，∴∠EDN＝60°＝∠MDN，在△NMD和△NED中&MD∴△NMD≌△NED(SAS)，∴NE＝MN，∴MN＝CN﹣CE＝CN﹣BM．1.如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB＝AC+CD，∠C＝80°，那么∠B的度数是．答案40°解析在AB上截取AE＝AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED＝CD，∠AED＝∠C＝80°，∵AB＝AC+CD，∴EB＝CD＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B=12∠AED＝故答案为40°．2.如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD，求证：CD⊥AC．证明过D作DE⊥AB于E，∵AD＝BDDE⊥AB，∴AE=12AB，∠DEA＝∵2AC＝AB，∴AE＝AC∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△DEA和△DCA中AE=AC∠BAD=∠CAD∴△DEA≌△DCA（SAS），∴∠ACD＝∠AED，∴∠ACD＝90°，∴AC⊥DC．3.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠BCD＝150°，CB＝CD，M，N为AB、AD上的两个动点，且∠MCN＝75°．求证：MN＝BM+DN．证明延长AB至点E，使得BE＝DN，连接CE，∵四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CBE＝∠CDN，在△CBE和△CDN中&CB∴△CBE≌△CDN(SAS)，∴∠BCE＝∠DCN，CN＝CE，∵∠BCD＝150°，∠MCN＝75°，∴∠MCE＝∠MCB+∠BCE＝∠MCB+∠DCN＝75°，∴∠MCN＝∠MCE，在△ECM和△NCM中&MC∴△ECM≌△NCM(SAS)，∴MN＝ME＝BM+BE＝BM+DN．4.如图，已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AD，CE⊥AD，交AD的延长线于E．求证：AB+AC＝2AE．证明延长AE至N，使DE＝EN，连接CN，∵CE⊥AD，DE＝EN，∴CN＝CD，∴∠CDN＝∠DNC，∴∠DNC＝∠ADB，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∴∠B＝∠ANC，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠ACN，∴∠ANC＝∠ACN，∴AN＝AC，∴AB+AC＝AD+AN＝AD+AE+EN＝AD+AE+DE＝2AE，∴2AE＝AB+AC．5.[阅读]在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等．[应用]把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD＝∠CBD＝90°，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，证明：AM+BN＝MN；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长CB到点E，使BE＝AM，连接DE，先证明△DAM≌△DBE，再证明△MDN≌△EDN，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程；(2)当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？(直接写出你的结论，不用证明)(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图③，其余条件不变，则AM、MN、