专题23.7相似三角形的应用-2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【华师大版】

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题23.7相似三角形的应用姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•海曙区期末）在同一时刻，身高1.8米的小强在阳光下的影长为0.9米，一棵大树的影长为4.6米，则树的高度为（）A．9.8米 B．9.2米 C．8.2米 D．2.3米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．【解析】设树高为x米，∵人的身高人的影长=所以1.80.9=解得：x＝9.2．答：这棵树的高度为9.2米．故选：B．2．（2021•绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．32m D．103【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解析】∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴ABPO=∴AB5=∴AB＝2（m），故选：A．3．（2020•新都区模拟）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（）A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5米【分析】小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．【解析】设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．∵AD∥OP，BC∥OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴ADOP=MAMO则xx+20=∴x＝5；yy+20-14=∴y＝1.5，∴x﹣y＝3.5，故变短了3.5米．故选：D．4．（2020秋•合肥期末）如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（）A．3cm B．22cm C．2.5cm D．3.5cm【分析】根据题意推知△BFG∽△DEC，由该相似三角形的对应边成比例，求得GF的长度即可．【解析】∵∠BAC＝90°，∴∠AGD+∠ADC＝90°，∵四边形GFDE是矩形，∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，∴∠AGD＝∠EDC，∴∠B＝∠EDC，∴△BFG∽△DEC，∴DE：BF＝CE：GF，∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，∴GF：4.5＝2：GF，∴GF＝3cm，故选：A．5．（2021•河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．【解析】如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O作ON⊥AB，垂足为N，∵CD∥AB，∴△CDO∽ABO，即相似比为CDAB，∴CDAB=∵OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，∴CDAB=6AB=AB＝3，故选：C．6．（2021•深圳模拟）龙翔大道旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天质彬突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（）A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米【分析】作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，即可求出GM、BN、MN．利用△GMN与△ABN的对应边成比例即可求解．【解析】作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，如图：∵G是HF中点，HF＝4m．∴CM＝MD＝GF＝2m．∵BC＝5m，HC＝3m，DE＝4m．∴GM＝3m．根据平行投影性质可得：MN＝DE＝4m、BN＝BC+CM+MN＝11m．∵GM∥AB．∴GMAB=MNBN∴AB＝8.25m．故选：C．7．（2021•雁塔区校级模拟）《海岛算经》是我国杰出数学家刘徽留给后世最宝贵的数学遗产．书中的第一问：今有望海岛，立两表，齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合．从后表却行一二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表未参合．问岛高及去表各几何？大致意思是：假设测量海岛，立两根表，高均为3丈，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人的眼睛贴着地面观察海岛，从后表退行127步，人的眼睛贴着地面观察海岛，问海岛高度及两表相距多远？想要解决这一问题，需要利用（）A．全等三角形 B．相似三角形 C．勾股定理 D．垂径定理【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，即可得出结论．【解析】∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，故想要解决这一问题，需要利用相似三角形，故选：B．8．（2021•薛城区一模）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．【解析】设蜡烛火焰的高度是xcm，由相似三角形的性质得到：1015=解得x＝4．即蜡烛火焰的高度是4cm．故选：B．9．（2020秋•温州期末）如图，是一块矩形场地ABCD，宽AB＝8米，长BC＝12米．若在其对角线AC，BD的延长线上取点E，F，G，H，扩建为新的矩形场地，左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，则x的值为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】由题意得，AD∥EH，AB∥EF，∴△AOD∽△EOH，△AOB∽△EOF，∴ADEH=OAOE∴ADEH=∵左、右各增加了0.6米，上、下各增加了x米，AB＝8米，BC＝12米．∴EH＝12+2×0.6＝13.2，EF＝8+2x，∴1213.2=解得：x＝0.4，故选：C．10．（2021•大渡口区模拟）如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2 B．3 C．83 D．10【分析】依据∠CPN＝∠CNM，∠C＝∠C，即可得到△CPN∽△CNM，再根据相似三角形的性质，即可得到CP＝4，进而得出PN的长．【解析】∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，CPCN=CNCM，即CN2＝CP∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵PNNM=∴PN5=∴PN=103故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•朝阳区校级期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两个端点之间的距离为10cm，AOBO=DOCO=23，则容器的内径是【分析】首先连接AD、BC，然后判定△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得ADCB=【解析】连接AD、BC，∵AOBO=DOCO=2∴△AOD∽△BOC，∴ADCB=∵A，D两个端点之间的距离为10cm，∴BC＝15cm，故答案为：15cm．12．（2020秋•北仑区期末）在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若a1＝1米，a2＝10米，h＝1.8米，则这个学校教学楼的高度为18米．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质进而得出教学楼的高度．【解析】由镜面反射原理可得，∠1＝∠2，∵∠ACB＝∠ADE＝90°,∴△ACB∽△ADE，∴ACAD=∴110=解得：ED＝18（m），即这个学校教学楼的高度为18米．故答案为：18．13．（2020秋•江都区期末）如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体在暗盒中所成的像CD的高度为4cm，那么物体AB的高度应为3m．【分析】正确理解小孔成像的原理，利用相似三角形的判定得出△ABO∽△CDO，结合相似三角形的性质，利用CD的值求出AB．【解析】∵△ABO∽△CDO，∴ABCD=又∵CD＝4cm，∴AB＝3（m）．故答案为：3．14．（2020秋•盐城期末）小明想测量出电线杆AB的高度，于是在阳光明媚的星期天，他在电线杆旁的点D处立一标杆CD，使标杆的影子DE与电线杆的影子BE部分重叠（即点E、C、A在一直线上），量得ED＝3米，DB＝6米，CD＝1.8米，则电线杆AB长＝5.4米．【分析】根据题意求出△ECD∽△EBA，利用相似三角形的对应边成比例即可解答．【解析】∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴ED：EB＝CD：AB，∴3：9＝1.8：AB，∴AB＝5.4米．故答案是：5.4．15．（2021•宝应县一模）《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为四丈五尺．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解析】设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴x15=解得x＝45（尺），45尺＝四丈五尺．故答案为：四丈五尺．16．（2021•闵行区二模）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得FC＝4米，那么塔与树的距离AE为25米．【分析】根据正方形的性质求出FD，BC∥AD，可得△FDE∽△FCB，根据相似三角形的性质可得DE的值，即可得出结论．【解析】∵四边形ABCD是正方形，边长为10米，∴AD＝CD＝BC＝10米，FD＝CD﹣CF＝6米，BC∥AD，∴△FDE∽△FCB，∴DECB=DFCF∴DE＝15，∴AE＝DE+AD＝25米，故答案为：25．17．（2020•文成县二模）文成县珊溪水库素有“温州大水缸”之称，现计划在水库堤坝内侧坡面上建一个水质监测站，监测站平面结构呈等腰三角形（如图△ABC，AB＝AC，底边BC所在直线平行于水平线），且一腰（AC）垂直于坡面直线GC（如图所示），中柱AE过底边BC中点D立于坡面直线GC上点E处，AB及其延长线交坡面直线GC于F，AF为一根支撑柱，另外过AE的中点M和点B做一条自动取样传送带，直达坡面直线上点G处（方便取到不同深度的水样，点M、B、G在一条直线上），测得DE＝1米，DC＝2米，则GF＝1053【分析】由CD是直角△ACE斜边上的高，可得EDDC=DCAD，求出AD＝4，则AE＝5，MD＝1.5．延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，得出△GHB∽△MDB，根据相似三角形对应边成比例得到GHHB=MDBD=1.52=34，则可设GH＝3a，则BH＝4a．证明△CHG∽△CDE，得出GHHC=DEDC=12，求出a＝2，在Rt△GHC中，利用勾股定理求出GC=GH2+HC2=65．连接BE．根据直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质得出∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，计算tan∠BAC【解析】∵AB＝AC，D为BC中点，∴AE⊥BC，又∵AC⊥EC，∴EDDC=DCAD∴AD＝4，AE＝AD+DE＝4+1＝5，∵M为AE中点，∴ME=12AE＝2.5，MD＝ME﹣DE＝1.5如图，延长CB，过点G作GH⊥CB的延长线于H，则△GHB∽△MDB，∴GHHB=设GH＝3a，则BH＝4a．∵GH∥DE，∴△CHG∽△CDE，∴GHHC=DEDC解得a＝2，∴GH＝6，BH＝8，HC＝12，在Rt△GHC中，由勾股定理得GC=GH2+H连接BE．∵点M为Rt△ABE斜边的中点，∴∠BMD＝2∠BAM＝∠BAC，∴tan∠BAC＝tan∠BMD=21.5在Rt△ACF中，AC＝25，∴CF＝AC•tan∠BAC＝25×4∴GF＝GC﹣CF＝65-8故答案为：105318．（2020•泰顺县二模）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB＝1.2厘米，托架斜面长BD＝6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2），手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OB＝OE＝2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为453434厘米；当支架从E档调到F档时，点D离水平面的距离下降了4825【分析】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出DT，BT，AD，GH即可，再求出支架调到F档时DT的长即可解决问题．【解析】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．∵OB＝OE＝2.5cm，BE＝4cm，OK⊥BE，∴BK＝KE＝2（cm），∴OK=OB2-BK∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，∴△BKO∽△BTD，∴BKBT=∴2BT=∴BT＝4.8（cm），DT＝3.6（cm），∴AD=AT2+D∵DT∥GH，∴DTGH=∴3.6GH∴GH=453434（如图3﹣1中，当支架调到F档时，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．∵OB＝OE＝2.5cm，BF＝4.8cm，OK⊥BF，∴BK＝KF＝2.4（cm），∴OK=OB2-BK∵∠OBK＝∠DBT，∠OKB＝∠BTD＝90°，∴△BKO∽△BTD，∴BOBD=∴2.56=∴DT=4225（cm∵3.6-4225=48∴点D离水平面的距离下降了4825cm，故答案为453434，48三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•涟水县期末）新建马路需要在道路两旁安装路灯、种植树苗．如图，某道路一侧路灯AB在两棵同样高度的树苗CE和DF之间，树苗高2m，两棵树苗之间的距离CD为18m，在路灯的照射下，树苗CE的影长CG为1m，树苗DF的影长DH为3m，点G、C、B、D、H在一条直线上．求路灯AB的高度．【分析】设BC的长度为xm，由题意可知CE∥AB∥DF，如图，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】设BC的长度为xm，由题意可知CE∥AB∥DF，如图，∵CE∥AB，DF∥AB，∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA∴GCGB=CEABHDHB=FDAB∴11+x=解得x＝4.5，∴11+6=解得AB＝11．答：路灯AB的高度为11m．20．（2021春•工业园区期末）如图，安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高1.2m（CP＝1.2m）身高1.8m的小明MN站在距离C点15m远的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4m，小明留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．【分析】如图，设AB＝xm，CB＝ym．构建方程组解决问题即可．【解析】如图，设AB＝xm，CB＝ym．∵ABBC=PCEP∴xy=解得x=9y=3，经检验x=9y=3是分式方程的解，∴AB＝9（m），答：灯AB的高度为9m．21．（2020秋•盐城期末）如图，小明想测量河对岸建筑物AB的高度，在地面上C处放置了一块平面镜，然后从C点向后退了2.4米至D处，小明的眼睛E恰好看到了镜中建筑物A的像，在D处做好标记，将平面镜移至D处，小明再次从D点后退2.52米至F处，眼睛G恰好又看到了建筑物顶端A的像，已知小明眼睛距地面的高度ED，GF均为1.6米，求建筑物AB的高度．（注：图中的左侧α，β为入射角，右侧的α，β为反射角）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ABED=BCDC【解析】设AB为xm，BC为ym，根据题意知，△ABC∽△DEC，有xy=1.6△ABD∽△GFD，有xy+2.4=1.6联立①②，得x＝32．答：建筑物AB的高度为32m．22．（2021•海曙区模拟）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？【分析】（1）直接利用同一时刻太阳光下影长与物体高度成比例进而得出答案；（2）直接利用锐角三角函数关系得出∠ABC的取值范围．【解析】（1）由题意可得：AC1=解得：AC＝2（m），答：滑梯的高AC为2m；（2）∵tan∠ABC=ACBC=24∴∠ABC＜30°，∴这架滑梯的倾斜角符合安全要求．23．（2021•渭滨区一模）九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度．测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆