2.5有理数的加法与减法（九大题型）（解析版）

（苏科版）七年级上册数学《第2章有理数》2.5有理数的加法与减法知识点一知识点一有理数的加法法则◆有理数的加法法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.3.互为相反数的两个数相加得0．4.一个数与0相加，仍得这个数．【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．知识点二知识点二有理数的加法运算律◆1、有理数的加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．即a+b=b+a.◆2、有理数的加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a+b)+c=a+(b+c).知识点三知识点三有理数的减法◆1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.用字母表示为：◆2、方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．知识点四知识点四有理数的加减混合运算◆有理数的加减混合运算引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：a+b+(﹣c)◆2、方法指引：①②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．题型一有理数的加法题型一有理数的加法【例题1】（2023•珠晖区校级模拟）如图，数轴上A、B两点所表示的数之和为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【分析】根据数轴表示数的方法得A点表示的数为﹣3，B点表示的数为1，即可得当点A与B点表示的两数之和．【解答】解：∵A点表示的数为﹣3，B点表示的数为1，∴A、B两点所表示的数之和为﹣3+1＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，数轴：数轴的三要素（正方向、原点和单位长度）；原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．解题技巧提炼有理数加法运算的步骤：1.先判断类型（同号、异号等）；2.再确定和的符号；3.最后进行绝对值的加减运算.【变式1-1】下列运算中正确的是（）A．8+[14+（﹣9）]＝15 B．（﹣2.5）+[5+（﹣2.5）]＝5 C．[312+（﹣312）]+（﹣2）＝﹣2 D．3.14+[（﹣8）【分析】根据有理数的加法运算法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝8+5＝13，故A不符合题意．B、原式＝﹣2.5+2.5＝0，故B不符合题意．C、原式＝0+（﹣2）＝﹣2，故C符合题意．D、原式＝3.14+3.14+（﹣8）＝﹣1.72，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查有理数的加减运算法则，解题的关键是熟练运用有理数的加法运算法则，本题属于基础题型．【变式1-2】（2023•绥江县二模）若a和b互为相反数，则a+b+3的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】运用互为相反数的两数相加为0进行求解．【解答】解：∵a和b互为相反数，∴a+b+3＝0+3＝3，故选：B．【点评】此题考查了运用互为相反数的两数相加为0的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行运算．【变式1-3】（2023•遵化市二模）气温由﹣4℃上升了5℃时的气温是（）A．﹣1℃ B．1℃ C．﹣9℃ D．9℃【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：﹣4+5＝1，则气温由﹣4℃上升了5℃时的气温是1℃．故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，掌握运算法则是关键．【变式1-4】若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a+b0（用“＞”或“＜”填空）．【分析】根据a＞0，b＜0，|a|＞|b|，可得：a＞﹣b，据此判断出a+b与0的关系即可．【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＞|b|，∴a＞﹣b，∴a+b＞0．故答案为：＞．【点评】此题主要考查了有理数的加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，解答此题的关键是判断出：a＞﹣b．【变式1-5】（2022秋•宁津县校级月考）计算：（1）15+（﹣22）；（2）（﹣13）+（﹣8）；（3）（﹣0.9）+1.5；（4）12【分析】（1）（3）（4）根据绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算．（2）根据同号相加，取相同符号，并把绝对值相加计算．【解答】解：（1）15+（﹣22）＝﹣（22﹣15）＝﹣7；（2）（﹣13）+（﹣8）＝﹣（13+8）＝﹣21；（3）（﹣0.9）+1.5＝1.5﹣0.9＝0.6；（4）12+(-23)=-【点评】本题考查了有理数加法．在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．【变式1-6】（2023春•南岗区校级月考）计算：（1）（﹣0.9）+1.5；（2）12（3）1+(-1（4）31【分析】（1）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；（2）利用有理数的加法运算法则直接计算即可得到答案；（3）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案；（4）利用有理数的加法运算律进行简便计算，即可得到答案．【解答】解：（1）（﹣0.9）+1.5＝0.6；（2）12（3）1+(-=(1+1=4=2（4）3=(31＝9+（﹣11）＝﹣2．【点评】本题考查了有理数的加法运算，掌握有理数的加法运算法则是解题关键．题型二有理数的减法题型二有理数的减法【例题2】比0小4的数是，比3小4的数是，比﹣5小﹣2的数是．【分析】根据题意列出算式，计算即可求出值．【解答】解：根据题意得：0﹣4＝﹣4；3﹣4＝﹣1；﹣5﹣（﹣2）＝﹣5+2＝﹣3，故答案为：﹣4；﹣1；﹣3【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解题技巧提炼有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题.【变式2-1】（2022•呼和浩特）计算﹣4﹣2的结果是（）A．﹣2 B．2 C．﹣6 D．6【分析】运用有理数的减法运算法则计算．【解答】解：﹣4﹣2＝﹣6．故选：C．【点评】本题考查有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2-1】下列计算错误的是（）A．﹣2﹣（﹣2）＝0 B．﹣3﹣4﹣5＝﹣12 C．﹣7﹣（﹣3）＝﹣10 D．3﹣15＝﹣12【分析】根据有理数的减法运算法则对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣2﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0正确，故本选项错误；B、﹣3﹣4﹣5＝﹣12正确，故本选项错误；C、﹣7﹣（﹣3）＝﹣7+3＝﹣4，故本选项正确；D、3﹣15＝﹣12正确，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．【变式2-3】（2022秋•焦作期末）矿井下A，B，C三处的高度分别是﹣37m，﹣129m，﹣71.3m，那么最高处比最低处高m．【分析】先确定最高处和最低处，根据有理数的减法，可得两地的相对高度．【解答】解：∵最高处：﹣37米，最低处：﹣129米，最高处比最低处高：﹣37﹣（﹣129）＝92（米），故答案为：92．【点评】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．【变式2-4】（2022秋•建水县校级月考）某矿井下A，B，C三处的海拔高度分别为﹣35.6米，﹣122.7米，﹣67.8米．（1）求A处比C处高多少米？（2）求B处比C处高出多少米？【分析】（1）根据正负数的计算得出结论即可；（2）根据正负数的计算得出结论即可．【解答】解：（1）﹣35.6﹣（﹣67.8）＝32.2（米），答：A处比C处高32.2米；（2）﹣122.7﹣（﹣67.8）＝﹣54.9（米），答：B处比C处高﹣54.9米．【点评】本题主要考查有理数的减法，熟练掌握有理数的减法是解题的关键．【变式2-5】（2022•南京模拟）计算下列各题：（1）(-13)-(+23)；（（3）8.3﹣（﹣2.7）；（4）|-7.5|-|-1（5）(-12)-(-113)；（6）|—1【分析】（1）（2）（3）（5）按照有理数的减法法则计算即可；（4）先化简绝对值，再按照有理数的减法计算即可；（6）先运用有理数的减法法则进行计算，在化简绝对值．【解答】解：（1）(-=-1＝﹣1；（2）0﹣（﹣22）；=0+22=22；（3）8.3﹣（﹣2.7）=8.3+2.7=11；（4）|-7.5|-|-＝7.5-＝7；（5）(-=-12+=5（6）-1=-1=1=11【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握相关计算法则及运算律是解题的关键．题型三题型三有理数的加减混合运算【例题3】（2023•张家口模拟）下面算式与51A．312-(-213C．212+(-21【分析】根据有理数的加减混合运算法则计算即可得出答案．【解答】解：由于5=11=22=31=89对于A选项，31=14=-3=19故A选项不符合；对于B选项，12=2=15=85故B选项不符合；对于C选项，21=10=39=89故C选项符合；对于D选项，41=18=31=97故D选项不符合．故选：C．【点评】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．解题技巧提炼有理数加减混合运算的步骤：（1）将减法转化为加法运算；（2）省略加号和括号；（3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加；（4）按有理数加法法则计算．【变式3-1】（﹣2）+（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣6）写成省略括号的和的形式是；读作或读作．【分析】根据有理数的加减法法则将括号去掉．根据减去一个数等于加上这个数的相反数即可得出答案．【解答】解：（﹣2）+（﹣7）﹣（﹣5）﹣（﹣6）写成省略括号的和的形式是﹣2﹣7+5+6；读作负2减7加5加6，或读作负2、负7、正5、正6的和.故答案为：﹣2﹣7+5+6，负2减7加5加6或读作﹣2、负7、正5、正6的和．【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．【变式3-2】（2022秋•德惠市期中）列式并计算：（1）求423与-（2）求﹣15的绝对值与12的相反数的和．【分析】（1）根据题意列出算式：423（2）根据题意列出算式：|﹣15|+（﹣12），再根据绝对值的定义，加法法则计算便可．【解答】解：（1）42＝42＝5；（2）|﹣15|+（﹣12）＝15﹣12＝3．【点评】本题考查了有理数的加减法，绝对值和相反数的概念，关键是正确列出算式和熟记运算法则．【变式3-3】已知A＝﹣315-217-44（1）计算A，B的值；（2）将A，B两数表示在如图所示的数轴上，并求A，B两点间的距离．【分析】（1）利用有理数加减混合运算法则计算即可；（2）在数轴上表示A、B，用4﹣（﹣5）即可求出AB之间的距离．【解答】解：（1）A=-3=-31＝﹣8+3＝﹣5．B=6＝14﹣10＝4．故A的值为﹣5；B的值为4．（2）如图，将A，B两数表示在数轴上，A，B两点间的距离为4﹣（﹣5）＝9．【点评】本题考查了有理数的计算，数轴，两点之间的距离．解题的关键是正确进行有理数的计算．【变式3-4】计算：（1）|﹣3.2|+|0.5|﹣|1+215（2）0﹣（+2）﹣（﹣1）+（+4）﹣（﹣5）（3）（﹣479）﹣（﹣316）﹣（+229）+（﹣（4）（﹣3.125）+（+4.75）+（﹣978）+（+514）+（﹣4【分析】（1）根据绝对值的定义以及有理数的加减法法则计算即可；（2）（3）（4）根据有理数的加减法法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝3.2+0.5﹣1﹣2.2＝（3.2﹣2.2）﹣1+0.5＝1﹣1+0.5＝0.5；（2）原式＝0﹣2+1+4+5＝8；（3）原式=-(4＝﹣7﹣3＝﹣10；（4）原式=-(3.125+9＝﹣13+10-4=-72【点评】本题主要考查了有理数的加减法混合运算，熟记运算法则是解答本题的关键．【变式3-5】（2022秋•阳谷县月考）计算：（1）（﹣5）+（﹣7）﹣（+13）﹣（﹣19）；（2）7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|；（3）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；（4）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）；（5）﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18；（6）|﹣738+412|+（﹣1814）+|﹣【分析】（1）（3）（4）（5）利用有理数的加减运算法则进行计算即可；（2）先去绝对值再进行加减运算；（6）先计算绝对值里边的，去绝对值后再进行有理数的加减运算．【解答】解：（1）（﹣5）+（﹣7）﹣（+13）﹣（﹣19）＝﹣5﹣7﹣13+19＝﹣25+19＝﹣6；（2）7﹣（﹣3）+（﹣5）﹣|﹣8|＝7+3﹣5﹣8＝10﹣13＝﹣3；（3）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13＝﹣20﹣14﹣13+18＝﹣47+18＝﹣29；（4）4.7﹣（﹣8.9）﹣7.5﹣（+6）＝4.7+8.9﹣7.5﹣6＝13.6﹣13.5＝0.1；（5）﹣30﹣11﹣（﹣10）+（﹣12）+18＝﹣30﹣11﹣12+10+18＝﹣53+28＝﹣25；（6）|﹣738+412|+（﹣1814）+|＝|﹣278|﹣1814+|﹣＝278-182＝278+64＝938-＝﹣878【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，绝对值，做题的关键是掌握有理数的加减运算法则，绝对值的定义．题型四题型四运用加法运算律进行简便计算【例题4】下列各式中，运用加法交换律和加法结合律正确的是（）A．23+（﹣1）+（+13）＝[23B．14+（﹣2）+（-34）＝（14+C．（﹣6）+2+9＝[（﹣9）+2]+6 D．（﹣5）+7+（﹣8）＝[（﹣5）+（﹣8）]+7【分析】根据加法交换律、加法结合律，可得答案．【解答】解：A、23+（﹣1）+（+13）＝[23+（+1B、14+（﹣2）+（-34）＝（14-3C、（﹣6）+2+9＝[（﹣6）+2]+9，故C错误；D、（﹣5）+7+（﹣8）＝[（﹣5）+（﹣8）]+7，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了有理数的加法，利用交换律、结合律是解题关键．解题技巧提炼1.一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加；2.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整；3.有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合.【变式4-1】6﹣2+5﹣8+12＝（6+5+12）+（﹣2﹣8）是应用了（）A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律【分析】根据题目中的算式，可以发现应用了加法的交换律与结合律．【解答】解：6﹣2+5﹣8+12＝（6+5+12）+（﹣2﹣8）是应用了加法的交换律与结合律，故选：D．【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．【变式4-2】计算：1+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（﹣6）+…+（+99）+（﹣100）+（+101）的结果是（）A．0 B．﹣1 C．﹣50 D．51【分析】依据加法的结合律进行计算即可．【解答】解：原式＝[1+（﹣2）]+[（+3）+（﹣4）]+…+[（+99）+（﹣100）]+（+101）＝﹣50+（101）＝51．故选：D．【点评】本题主要考查的是有理数的加法，应用加法的运算律进行简便计算是解题的关键．【变式4-3】数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：计算：-55解：原式=[(-5)+(-=[(-5)+(-9)+(-3)+17]+[(-5＝0+（﹣114＝﹣114上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方式计算：(-20212【分析】根据题目所提供的计算方法，写成几个整数的和以及几个分数的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（-27）]+[（﹣2022）+（-47）＝（﹣2021﹣2022+4044）+（-2＝1+（﹣1）＝0．【点评】本题考查有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法是正确解答的关键．【变式4-4】利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）；（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5．【分析】（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果；（2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果．【解答】解：（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）＝[（﹣248）+（﹣752）]+[（﹣433）+433]＝﹣1000；（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5＝[（﹣0.8）+0.8]+（1.2+3.5）+[（﹣0.7）+（﹣2.1）]＝0+4.7+（﹣2.8）＝1.9．【点评】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．【变式4-5】利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．（1）（+9）+（﹣7）+（+10）+（﹣3）+（﹣9）；（2）45+（-57）【分析】（1）把互为相反数的数结合相加，便可得出结果；（2）把同分母的分数结合相加，便可求得结果．【解答】解：（1）（+9）+（﹣7）+（+10）+（﹣3）+（﹣9）＝[（+9）+（﹣9）]+[（﹣7）+（﹣3）+（+10）]＝0+0＝0；（2）45+（-57）＝[45+（-25）]+[（=25+=-1【点评】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．题型五题型五有理数加减法与数轴的综合【例题5】已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有（填序号）．【分析】根据图示，可得：a＞0，然后根据a+b＜0，逐项判断即可．【解答】解：∵a＞0，a+b＜0，∴b＜0，∴①符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴b＜0，∴a﹣b＞0，∴②不符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b，∴③符合题意；∵a＞0，a+b＜0，∴|a|＜|b|，∴④符合题意，∴结论正确的有①③④．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了有理数加减法的运算方法，以及数轴的特征和应用，掌握有理数的加减运算法则是解答本题的关键．解题技巧提炼用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值.【变式5-1】有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0 B．b＞1 C．a﹣b＞0 D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可判断a、b的大小关系．【解答】解：由数轴可知：a＜﹣1＜0＜b＜1，∴a＜0，故A不符合题意．b＜1，故B不符合题意．a﹣b＜0，故C不符合题意、|a＞|b|，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查有理数的减法、绝对值的性质以及数轴，本题属于基础题型．【变式5-2】（2022秋•鼓楼区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应点分别为A，B，C，点A，B在数轴上的位置如图所示．若|b|＝5，AC＝2，则a+b﹣c的值为．【分析】由数轴可知，a＞0，c＞0，b＜0，因此b＝﹣5，c﹣a＝2，所以a+b﹣c＝b+（a﹣c）＝b﹣（c﹣a）＝﹣5﹣2＝﹣7．【解答】解：由数轴可知，a＞0，c＞0，b＜0，∵|b|＝5，AC＝2，∴b＝﹣5，c﹣a＝2，∴a+b﹣c＝b+（a﹣c）＝b﹣（c﹣a）＝﹣5﹣2＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了数轴、绝对值与有理数的加减混合运算，正确理解绝对值的意义是解题的关键．【变式5-3】（2022秋•广陵区校级月考）有理数a、b在数轴上如图．（1）在数轴上表示﹣a、﹣b；（2）用＞、＝或＜填空：|a|a，|b|b；（3）化简，||a|﹣|b||．【分析】（1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出﹣a、﹣b；（2）根据绝对值的意义可得结论；（3）先化简绝对值a、b，再判断|a|﹣|b|的正负，最后化简代数式．【解答】解：（1）﹣a与a，﹣b与b都是关于原点对称的，所以﹣a、﹣b在数轴上如图所示：（2）由图可知：|a|＝﹣a＞a，|b|＝b，故答案为：＞，＝；（3）∵a＜0，b＞0，∴||a|﹣|b||．＝|﹣a﹣b|由数轴可知：﹣a﹣b＞0，∴原式＝﹣a﹣b．【点评】本题主要考查了数轴、绝对值的性质，掌握有理数大小比较方法，相反数的意义，数形结合的思想是解决本题的关键．【变式5-4】如图，数轴上的点A，O，B，C，D分别表示﹣3，0，2.5，5，﹣6，回答下列问题．（1）O，B两点间的距离是．（2）A，D两点间的距离是．（3）C，B两点间的距离是．（4）请观察思考，若点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0，那么用含m，n的代数式表示A，B两点间的距离是．（5）若M点表示数x，N表示数y，则M、N两点间的距离为．（若A、B两点在数轴上分别表示a、b，则AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|）【分析】（1）根据绝对值的含义求解即可；（2）、（3）根据两点之间的距离公式求解即可；（4）用正数﹣负数即可求出AB的距离；（5）根据题目中已知的提示求解即可．【解答】解：（1）∵B点对应的数是2.5，∴OB＝2.5，故答案为：2.5．（2）∵A点对应的数是﹣3，D点对应的数是﹣6，∴OA＝3，OD＝6，∴AD＝OD﹣OA＝3．故答案为：3．（3）∵C点对应的数是5，∴OC＝5，∵OB＝2.5，∴BC＝OC﹣OB＝2.5．故答案为：2.5．（4）∵点A表示数m，且m＜0，点B表示数n，且n＞0∴OA＝|m|＝﹣m，OB＝|n|＝n，∴AB＝﹣m+n＝n﹣m．故答案为：n﹣m．（5）根据题意可得，若M点表示数x，N表示数y，则M、N两点间的距离为|x﹣y|或|y﹣x|．故答案为：|x﹣y|或|y﹣x|．【点评】本题主要考查绝对值的几何意义，解题的关键在于能够根据绝对值正确表示线段的长度．题型六题型六有理数加减法与相反数、绝对值的综合【例题6】已知|a﹣1|＝3，|b|＝5，且|a﹣b|＝|a|+|b|，求a+b和a﹣b的值．【分析】利用绝对值的性质进而得出a，b异号，再把a、b的值分别代入计算即可．【解答】解：∵|a﹣1|＝3，∴a＝4或﹣2，∵|b|＝5，∴b＝±5，∵|a﹣b|＝|a|+|b|，∴a，b异号，∴当a＝4，则b＝﹣5，当a＝﹣2，则b＝5，∴a+b＝4﹣5＝﹣1或﹣2+5＝3；a﹣b＝4﹣（﹣5）＝9或﹣2﹣5＝﹣7．故a+b的值为﹣1或3，a﹣b的值为9或﹣7．【点评】此题主要考查了绝对值以及有理数的加减法，根据题意得出a，b的符号关系是解题关键．解题技巧提炼1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0；2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0.3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值．【变式6-1】若x是最大的负整数，y是最小的正整数，z是绝对值最小的数，w是相反数等于它本身的数，则x﹣z+y﹣w的值是．【分析】先根据题意得，最大的负整数x为﹣1，最小的正整数y为1，绝对值最小的数z为0，相反数等于它本身的数w为0，再进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得：x＝﹣1，y＝1，z＝0，w＝0，则x﹣z+y﹣w＝﹣1﹣0+1﹣0＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了整数的分类和绝对值的知识，掌握绝对值的定义和有理数的加减法计算是关键．【变式6-2】已知a﹣b＝5且a＞4，b＜6，求|a﹣4|+|b﹣6|﹣5的值．【分析】先根据绝对值的定义化简，再根据有理数的加减法法则计算即可．【解答】解：∵a﹣b＝5且a＞4，b＜6，∴|a﹣4|+|b﹣6|﹣5＝a﹣4+6﹣b﹣5＝a﹣b﹣3＝5﹣3＝2．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式6-3】（2022秋•武侯区校级月考）已知|a|＝5，|b|＝7．（1）若a＞0，求|a﹣b|的值；（2）若|a﹣b|＝﹘（a﹣b），求a+b．【分析】（1）利用绝对值的意义求得a，b的值，再代入运算即可得出结论；（2）利用绝对值的意义求得a，b的值，再代入运算即可得出结论．【解答】解：（1）∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7，∵a＞0，∴a＝5．∴当a＝5，b＝7时，|a﹣b|＝|5﹣7|＝2；当a＝5，b＝﹣7时，|a﹣b|＝|5﹣（﹣7）|＝|5+7|＝12，综上，|a﹣b|的值为2或12；（2））∵|a|＝5，|b|＝7，∴a＝±5，b＝±7，∵|a﹣b|＝﹘（a﹣b），∴a﹣b＜0，∴a＜b，∴a＝±5，b＝7．当a＝5，b＝7时，a+b＝5+7|＝12；当a＝﹣5，b＝7时，a+b＝﹣5+7＝2，综上，a+b的值为12或2．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的减法，利用已知条件求得a，b的值是解题的关键．【变式6-4】若a、b、c是有理数，|a|＝3，|b|＝10，|c|＝8，且a，b同号，b，c异号，求a﹣b﹣（﹣c）的值．【分析】根据绝对值的意义，可得到a、b、c取值的可能情况，再根据a，b同号，b，c异号，确定出a，b，c的值，代入原式计算即可得出结果．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝10，|c|＝8，∴a＝±3，b＝±10，c＝±8，∵a，b同号，b，c异号，∴a＝3，b＝10，c＝﹣8或a＝﹣3，b＝﹣10，c＝8，①当a＝3，b＝10，c＝﹣8时，a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝﹣15；②当a＝﹣3，b＝﹣10，c＝8时，a﹣b﹣（﹣c）＝a﹣b+c＝15；综上，a﹣b﹣（﹣c）的值是15或﹣15．【点评】此题考查绝对值、有理数减法的意义及计算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式6-5】（2022秋•沙坪坝区校级月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；|12-（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①|7﹣21|＝；②|717-7（2）当a＞b时，|a﹣b|＝；当a＜b时，|a﹣b|＝；（3）计算：|1【分析】（1）结合有理数加法减法运算法则以及绝对值的意义进行化简；（2）根据绝对值的意义进行化简；（3）根据有理数减法运算法则结合绝对值的意义先化简绝对值，然后根据数字的变化规律进行分析计算．【解答】解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|7故答案为：21﹣7；717（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝b﹣a；故答案为：a﹣b，b﹣a；（3）原式=1-＝1-=2020【点评】本题考查有理数的加减运算，理解绝对值意义，掌握有理数加减运算法则，探索数字变化规律是解题关键．题型七题型七有理数加减混合运算在实际生活中的应用【例题7】（2022秋•高碑店市期末）粮库6天内粮食进、出库的吨数记录如下表（“+”表示进库，“﹣”表示出库）：时间第一天第二天第三天第四天第五天第六天进、出库数量（吨）+25+8﹣12+34﹣3622（1）在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是吨；（2）经过这6天，粮库里的粮食是增多还是减少了？请通过计算说明；（3）经过这6天，仓库管理员结算时发现库里还存有480吨粮食，那么6天前库里存粮多少吨？【分析】（1）根据比较绝对值的大小即可得到答案；（2）根据有理数的加法进行计算即可得答案；（3）根据题意列出算式，可得答案．【解答】解：（1）∵|﹣36|＞|+34|＞|+25|＞|22|＞|﹣12|＞|+8|，∴在这6天中，进库或出库的粮食数量最多的是36吨；故答案为：36；（2）25+（+8）+（−12）+（+34）+（−36）+22＝+41（吨），答：库里的粮食是增多了41吨；（3）480﹣41＝439（吨），答：6天前库里有粮439吨．【点评】本题考查了正数和负数，读懂题意，根据有理数的运算法则进行计算是解题关键．解题技巧提炼用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等.【变式7-1】某工厂一周计划每天生产电动车80辆，由于工人实行轮休，每天上班人数不同，实际每天生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数）：日期一二三四五六日增减数/辆+4﹣1+2﹣2+6﹣3﹣5（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少辆电动车？（2）本周总生产量是多少辆？比原计划增加了还是减少了？增加或减少多少辆？【分析】（1）根据有理数的减法，可得答案；（2）根据有理数的加法，可得总产量，根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：（1）生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产6﹣（﹣5）＝6+5＝11辆；（2）总产量4+（﹣1）+2+（﹣2）+6+（﹣3）+（﹣5）+80×7＝561辆，比原计划增加了，增加了561﹣560＝1辆．【点评】本题考查了有理数的减法，利用有理数的加法是解题关键．【变式7-2】（2022秋•成华区校级期中）如表记录的是大沽河一周内的水位变化情况，上周末（上个星期日）的水位已达到15米（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降）．星期一二三四五六日水位变化（米）+0.2+0.8﹣0.4+0.2+0.3﹣0.5﹣0.2（1）本周内，星期的水位最高，星期的水位最低，最高水位比最低水位高米．（2）与上周末相比，本周末河流的水位是上升了还是下降了？变化了多少？（要求写出求解过程）（3）气象局预报，即将迎来大降雨天气，工作人员预测水位将会以每小时0.08米的速度上升，当水位达到16.6米时，就要开闸泄洪，请你计算下，再经过几个小时工作人员就需要开闸泄洪？【分析】（1）把每一天的水位求出来，然后比较大小；（2）根据本周末水位﹣上周末水位来计算；（3）求出水位置差，再求出时间．【解答】解：（1）周一：15+0.2＝15.2（米），周二：15.2+0.8＝16（米），周三：16﹣0.4＝15.6（米），周四：15.6+0.2＝15.8（米），周五：15.8+0.3＝16.1（米），周六：16.1﹣0.5＝15.6（米），周日：15.6﹣0.2＝15.4（米），∵15.2＜15.4＜15.6＝156＜15.8＜16＜16.1，∴周五水位最高，周一水位最低，16.1﹣15.2＝0.9（米），∴最高水位比最低水位高0.9米，故答案为：五，一，0.9；（2）∵15.4＞15，答：与上周末相比，本周末河流的水位是上升，15.4﹣15＝0.4（米），答：与上周末相比，本周末河流的水位上升0.4米；（3）根据题意，得（16.6﹣15.4）÷0.08＝1.2÷0.08＝15（小时），答：再经过15个小时工作人员就需要开闸泄洪．【点评】本题考查有理数加减、正负数，掌握有理数加减法则，根据题意列出算式是解题关键．【变式7-3】出租车司机小田某天营运的路线在锦江大道上东西走向进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天的行程如下（单位：千米）+15，﹣3，﹣11，+10，﹣12，﹣15，+16（1）他将最后一位乘客送到目的地时，小田离出车地点是多少千米？（2）这一天汽车的总行程是多少千米（3）若汽车耗油量为每千米0.3升，这一天汽车共耗油多少升？【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；（2）根据题意列式计算可得答案；（3）根据题意列式计算可得答案．【解答】解：（1）（+15）+（﹣3）+（﹣11）+（+10）+（﹣12）+（﹣15）+（+16）＝0（千米）答：他将最后一位乘客送到目的地时，小田离出车地点是0千米；（2）|+15|+|﹣3|+|﹣11|+|+10|+|﹣12|+|﹣15|+|+16|＝82（千米）答：这一天汽车的总行程是82千米；（3）82×0.3＝24.6（升）答：这一天汽车共耗油24.6升．【点评】本题考查了正数和负数，注意返回出发地，还需加上距出发的距离．【变式7-4】（2022秋•商河县校级期末）．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”，他这天下午行车情况如下：（单位：千米）﹣2，+5，﹣8，﹣3，+6，﹣6．（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若出租车每公里耗油0.3升，求小王回到出发地共耗油多少升？（3）若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米（不足1千米按1千米计算）还需收4元钱，小王今天是收入是多少元？【分析】（1）根据有理数的加法进行计算即可得到答案；（2）将这些数的绝对值相加，求出总路程，再根据出租车每公里耗油0.3升，可得答案；（3）根据行车记录和收费方法列出算式，计算即可得解．【解答】解：（1）﹣2+5﹣8﹣3+6﹣6＝﹣8（千米），∴小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的北方，距下午出车的出发地8千米．（2）|﹣2|+|5|+|﹣8|+|﹣3|+|6|+|﹣6|+|﹣8|＝38（千米），38×0.3＝11.4（升），∴小王回到出发地共耗油11.4升．（3）根据出租车收费标准，可知小王今天的收入是10+[10+（5﹣3）×4]+[10+（8﹣3）×4]+10+[10+（6﹣3）×4]+[10+（6﹣3）×4]＝112（元），∴小王今天的收入是112元．【点评】本题考查有理数的加法运算，有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则．题型八题型八有理数加减法的程序计算题【例题8】按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】将﹣1输入计算出结果，然后与2比较，如果大于2就输出，如果小于2，再将结果重新代入程序计算，直到结果大于2为止．【解答】解：当输入﹣1时，﹣1+4+（﹣3）+1＝1＜2，1+4+（﹣3）+1＝3＞2，∴输出结果为3，故选：B．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出相应的结果．解题技巧提炼利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可．【变式8-1】按图中计算程序计算，若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是．【分析】把﹣2代入计算程序中计算即可求出输出结果．【解答】解：把﹣2代入计算程序得：（﹣2）+5＝3＜9，把3代入计算程序得：3+5＝8＜9，把8代入计算程序得：8+5＝13＞9，则最后输出的结果为13．故答案为：13．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清计算程序的运算是解本题的关键．【变式8-2】按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2【分析】把各选项中的数值代入按运算规则运算即可．【解答】解：A．依题意有﹣1+4﹣（﹣3）﹣5＝1＜2，1+4﹣（﹣3）﹣5＝3＞2，输出；B．依题意有﹣2+4﹣（﹣3）﹣5＝0＜2，0+4﹣（﹣3）﹣5＝2；2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出；C．依题意有0+4﹣（﹣3）﹣5＝2，2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出；D.2+4﹣（﹣3）﹣5＝4＞2，输出；故选：A．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握图中程序运算是解本题的关键．【变式8-3】（2022秋•洪泽区校级月考）在图中输入﹣1，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），并写出输出的结果（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据题意知，该程序计算是先加上4，再减去﹣3，然后再减去5，接着判断这个值是否大于2，若大于2，则输出这个值；若不大于2，则重新利用该程序计算，直到满足条件为止．【解答】解：输入﹣1，∴﹣1+4＝3，3﹣（﹣3）＝6，6﹣5＝1，∵1＜2，∴重新输入1，∴1+4＝5，5﹣（﹣3）＝8，8﹣5＝3，∵3＞2，∴输出，输出的结果为3．故选：C．【点评】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，解题关键是弄清题意，根据题意把输入值代入，按程序一步一步计算．【变式8-4】根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和﹣4，则输出的值分别为．【分析】先计算出|x|﹣4的值，判断是否为正，再进一步计算即可．【解答】解：输入x的值为6时，|6|﹣4＝6﹣4＝2＞0，输出的值为2+2＝4；输入x的值为﹣4时，|﹣4|﹣4＝4﹣4＝0，输出的值为0+5＝5；所以输出的值分别为4和5，故答案为：4和5．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．题型九题型九有理数加减法的新定义运算问题【例题9】（2022秋•房县期中）我们定义一种新运算，规定：图表示a﹣b