2022年人教版七年级下册数学第六章实数单元教案及教学反思

第六章实数

6.1平方根

第1课时算术平方根

◊教学目标0

【知识与技能】

L了解算术平方根的概念，懂得使用根号表示正数的算术平方根；

2.会求正数的算术平方根并会用符号表示.

【过程与方法】

1.经历算术平方根概念的形成过程，理解平方与开方根之间互为逆运算；

2.通过引导、启发学生探索、合作交流等数学活动，使学生掌握研究问题的方法.

【情感'态度与价值观】

通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系的.

◊教学重难点◊

【教学重点】

算术平方根的概念.

【教学难点】

根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.

◊教学过程◊

一、情境导入

学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25dn?的正方形画布，画上自己的得意之

作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm?

二'合作探究

探究点1算术平方根的概念

典例19的算术平方根是（）

A.3B.±3C.81D.±81

［解析］根据算术平方根的概念，因为32=9,所以9的算术平方根为3.

［答案］A

归纳总结

一般地，如果一个正数x的平方等于即那么这个正数x叫做。的算术平方根.

变式训练|请你观察思考下列计算过程:因为“2=121,所以g=ll;同样:因为1112=12321,所

以412321=111;…，由此猜想412345678987654321=.

［答案］111111111

探究点2算术平方根的实际应用

典例2某农场有一块长30米，宽20米的场地,要在这块场地上建一个正方形鱼池，使它的面积

为场地面积的一半,问能否建成?若能建成，请你估计鱼池的边长为多少?（精确到0.1米）

［解析］设鱼池的边长为x米，则』=930'20/2=300，尸同U＜20,故能建成.因为

17.32=299.29,17.42=302.76,所以17.3＜百而＜17.4,且与17.3更接近，所以可以估计鱼池的边长为

17.3米.

变式训缴“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远，如图，若观测点的高度为"观测者视

线能达到的最远距离为d,则瓦其中R是地球半径（通常取6400km）.小丽站在海边一块岩

石上,眼睛离海平面的高度h为20m,她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值.

［解析］根据题意，将/?=0.02,7?=6400代入d4②沃，得t/=V256=16（km）.

三'板书设计

算术平方根

1.算术平方根的概念；

2.算术平方根的实际应用.

◊教学反思◊

本节课一开始设置了一个典型的求算术平方根的问题情境，把这个情境抽象成数学问题就

是已知正方形的面积求正方形的边长.为了揭示问题的本质,教科书又设置了几个类似的问题.

算术平方根的概念是针对正数来说的,0的算术平方根是0.这样，就将历中的a由正数扩充为非

负数，份由正数扩充为非负数，为下节课研究平方根做好准备.

第2课时平方根

◊教学目标^

【知识与技能】

1.了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；

2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根.

【过程与方法】

通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维.

【情感'态度与价值观】

通过对实际生活中问题的解决，让学生体验到数学与实际生活是紧密联系的,通过探究活动

培养学生的动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.

◊教学重难点◊

【教学重点】

了解开平方和平方互为逆运算,弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.

【教学难点】

平方根与算术平方根的区别和联系.

◊教学过程◊

一、情境导入

同学们,2020年12月1日，“嫦娥五号”探测器成功在月球正面预选着陆区着陆，为人类和平

使用月球作出了新的贡献你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围吗?

这时它的速度要大于第一宇宙速度以米型）而小于第二宇宙速度以米/秒）.,丫2的大小满足

t^=gR,谚=2gR其中g是物理中的一个常数（重力加速度）,R是地球半径.怎样求vi,V2呢？

二'合作探究

探究点1求一个数的平方根

＞一典例1下列说法是否正确?为什么？

①5是25的平方根.

②25的平方根是5.

［解析］①正确.因为52=25,所以5是25的平方根.

②不正确.因为(±5)2都等于25,所以25的平方根是±5.

归纳总结

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数,0的平方根是0,负数没有平方根.

变式训练|如果一个正数的平方根为2/1和4七,则这个正数为()

A.25B.36

C.49D.64

［答案］C

探究点2与平方根有关的计算

一典例2下列各式正确的是()

A.±J(—8/=8B.J(-8)2=±8

C.后铲=-8D.正时=8

［解析］土历表示一个正数a的平方根，它的结果是互为相反的两个数，所以选项A错误.介表

示一个正数a的算术平方根，它的结果是一个正数，所以选项B,C错误，只有选项D正确.

［答案］D

变式训练|已知正数a的两个平方根分别是b,c.请计算代数式a+b+c+bc的值.

［解析］由平方根的性质:正数有两个平方根，它们互为相反数.可得b+c=0;由平方根的概念和性

质，可得bc=-a,所以a+b+c+bc=a+0-a=0.

三'板书设计

平方根

1.平方根的概念；

2.与平方根有关的计算.

◊教学反思◊

本节课既是前面学习的算术平方根的延续，又是用直接开平方法、公式法解一元二次方程

的基础.平方与开平方互为逆运算，正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有

平方根.教学时，要提醒学生注意从算术平方根与平方根的符号表示，认识算术平方根与平方根

的区别和联系.

6.2立方根

◊教学目标0

【知识与技能】

1.了解立方根和开立方的概念；

2.会用根号表示一个数的立方根,掌握开立方的运算.

【过程与方法】

在探究立方根的概念和有关知识的过程中，体会类比和转化的数学思想.

【情感'态度与价值观】

通过平方根与立方根的比较学习，培养学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨

是非,并做出正确的处理.

◊教学重难点◊

【教学重点】

立方根的概念及求法.

【教学难点】

立方根的性质.

◊教学过程◊

一、情境导入

下图是由27个同样大小的单位立方体组成的魔方，这27个小立方体可以重新排列,组成魔

方表面的各种不同的美丽图案.现在要做一个体积为8cn?的立方体魔方，它的棱要取多长？

用我.

二'合作探究

探究点1求一个数的立方根

\一典例1下列判断正确的是（）

A.27的立方根是±3

B.(-l)2的立方根是-1

C.0.001是0.1的立方根

D.4是64的立方根

［解析］因为(土3>=±27,所以27的立方根是3,选项A错误;因为(-1)2=1,1=1,所以(一ip的立方

根是1,选项B错误;因为0.13=0.001,0.OO13=opoo。。。。。］,所以oooi不是0.1的立方根,0.1是0.001

的立方根，选项C错误;因为43=64,所以4是64的立方根，选项D正确.

［答案］D

【技巧点拨】求一个数的立方根的运算叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样,开立方

与立方也互为逆运算.我们可以根据这种关系求一个数的立方根.

变式训练|求下列各数的立方根：

⑴0;⑵黑;(2)0.008;(4)-8;(5)端.

1ZDO

［解析］(1)因为03=0,所以0的立方根是0.

3

⑵因为电=爸，所以黑的立方根是:

(3)因为0.23=0.008,所以0.008的立方根是0.2.

(4)因为(-2)3=8,所以-8的立方根是-2.

(5)因为-3黑潦,(一丁=需,所以号的立方根是日

探究点2与立方根有关的运算

一典例2下列各式中正确的有()

@V0=0;(2)V64=±4;(3)V—216=-V216=-6;@Vl=±1.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［解析］因为0的算术平方根是0,所以①正确;因为64的立方根是4,所以②错误;由二证可

得G石=-口,因为216的立方根是6,所以③正确;因为1的算术平方根是1,所以④错误.

［答案］B

【技巧点拨】正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,0的立方根是0.

变式训练;求下列各式的值：

⑴顺网2）下短3）一便;（4晔

［解析］（1）而丽=0.7.

（4）底=V64=4.

三、板书设计

立方根

L立方根的概念；

2.与立方根有关的计算.

◊教学反思◊

本节课的主要内容是立方根的概念和求法，通过类似研究平方根的方法类比研究立方根，让

学生知道立方运算与开立方运算是互逆的，并且归纳总结得到“正数的立方根是正数,0的立方根

是0,负数的立方根是负数”

6.3实数

第1课时实数的有关概念

◊教学目标0

【知识与技能】

了解无理数和实数的概念.

【过程与方法】

知道实数与数轴上的点具有一一对应关系，初步体会“数形结合”的数学思想.

【情感'态度与价值观】

通过实数的学习,发展学生的分类意识，体会数系扩充对人类发展的作用，进一步渗透数形

结合思想.

◊教学重难点◊

【教学重点】

知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算，并会进行简单的运算.

【教学难点】

对无理数的认识.

◊教学过程◊

一、情境导入

如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点

O；点。'的坐标是多少?这个数是有理数吗？

。」

O0G1D230,4

二'合作探究

探究点1无理数和实数的概念

J典例1下列说法正确的是（）

A.有理数可分为正数和负数

B.实数可分为有理数、零和无理数

C.整数和小数统称有理数

D.实数可分为负数和非负数

［解析］根据有理数、实数的分类对四个选项进行逐一分析.有理数可分为正有理数、负有理数

和0,故A选项错误;实数分无理数和有理数，故B选项错误;整数和分数统称有理数，故C选项错

误;实数可分为负数和非负数，故D选项正确.

［答案］D

【技巧点拨】根据不同的分类标准，实数既可以分为有理数和无理数，也可以分为正实数、0、负

实数.0在实数中扮演着重要角色,我们通常把正实数和0统称为非负数，把负实数和0统称为非

正数.

变式训练I下列各数中,哪些是有理数，哪些是无理数？

3.141592,Vi石，彷，向0.56,040.1313313331…（两个1之间依次多一个3）.

［解析］有理数是3.141592,716,V27,0.56,0,-1

无理数是，花,0.1313313331…（两个1之间依次多一个3）.

探究点2实数与数轴的关系

--典例2和数轴上的点成一一对应关系的数是（）

A.自然数B.有理数C.无理数D.实数

［解析］因为任何实数都可以用数轴上的点来表示，即数轴上的任何一点都表示一个实数，所以

和数轴上的点成一一对应关系的数是实数.

［答案］D

归纳总结

实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示;反之,数轴上

的每一个点都表示一个实数.数轴上任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.

变式训练|“数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点尸所表示的数是我”,这种说明问

题的方式体现的数学思想方法叫做（）

U01P（72）2

A.代入法B.换元法

C.数形结合D.分类讨论

［答案］C

三'板书设计

实数的有关概念

L无理数的概念；

2.实数的概念；

3.实数与数轴的关系.

◊教学反思◊

本节课先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引入

无理数，揭示出有理数与无理数的联系与区别,有助于学生理解实数的概念.实数包括有理数和

无理数.接着类比用数轴上的点表示有理数，指出实数与数轴上的点的一一对应关系.

第2课时实数的运算

◊教学目标^

【知识与技能】

1.能求实数的相反数与绝对值；

2.会对实数进行简单的运算.

【过程与方法】

通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质,引出实数的相反数、绝对值、运

算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识.

【情感、态度与价值观】

通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩

充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展.

◊教学重难点◊

【教学重点】

实数的相反数和绝对值.

【教学难点】

实数的加减法运算以及实数的近似计算.

◊教学过程◊

一、情境导入

一个圆与一个正方形的面积都是2无cm?,它们中哪一个的周长比较大?你能从中得到什么

启示？

二、合作探究

探究点1实数的相反数与绝对值

典例1已知|此迎=0,则a的值是（）

A.±V2B.-V2

C.V2D.1.414

［解析］因为同-a=0,所以团=&，根据绝对值的定义可知a=±y/2.

［答案］A