第一章矢量分析

.矢量分析1.在球面坐标系中，当与无关时，拉普拉斯方程的通解为：（ ）。精品文档放心下载2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。谢谢阅读3.矢量场 在闭合面 的通量定义为 ，它是一个标量；矢量场的（ ）精品文档放心下载也是一个标量，定义为 。4.矢量场 在闭合路径 的环流定义为 ，它是一个标量；矢量场的旋精品文档放心下载度是一个（ ），它定义为 。5.标量场u（r）中，（ ）的定义为 ，其中n为 变化最快的方向上的单位矢量。6.矢量分析中重要的恒等式有 任一标量的梯度的旋度恒为（精品文档放心下载任一矢量的旋度的散度恒为（ ）

）。。7.算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，

，所以

是个（ ），而 是个（ ）， 是个（

）。.亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。感谢阅读（）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标感谢阅读10.标量：（ ）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S等。感谢阅读11.矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。精品文档放心下载标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。谢谢阅读矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。精品文档放心下载旋度为零的矢量场叫做（）标量函数的梯度是（），如静电场16．无旋场的（ ）不能处处为零散度为零的矢量场叫做（）矢量的旋度是（），如恒定磁场19．无散场的（ ）不能处处为零.20．一般场：既有（），又有（）21．任一标量的梯度的旋度恒为（）22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。23．给定三个矢量和：求：(1)；(2)；(3)；(4)；在上的分量：(6)；(7)；(8)和。24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。(1)判断是否为一直角三角形。(2)求三角形的面积。25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量方向。感谢阅读

及的26．给定两矢量 和 ，求上的分量。

在.27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量，，而，和已知，试求。28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。29．用球坐标表示的场，(1)求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和；(2)求与矢量构成的夹角。30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为提示：，在直角坐标中计算。31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。33．求(1)矢量的散度；(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；.(3)求 对此立方体表面的积分，验证散度定理。34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求 对球谢谢阅读体积的部分。35．求矢量 沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的谢谢阅读线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 对此回路所包围谢谢阅读的表面积分，验证斯托克斯定理。36．求矢量 沿圆周 的线积分，再计算对此圆面积的积分。37．证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。38．一径向矢量场用 ， 表示，如果 ，那么函数 会有什么特点呢？39．给定矢量函数 ，试：（1）沿抛物线 ；（2）沿连接该两点精品文档放心下载的直线分别计算从点 到 的线积分 的值，这个 是保守场谢谢阅读吗？40．求标量函数 的梯度及 再一个指定方向的方向导数。此方向由单谢谢阅读位矢量 定出；求（2，3，1）点的导数值。41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下 的计算式。谢谢阅读.42．方程量。43．现有三个矢量场

给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示？精品文档放心下载（2）求出这些矢量的源分布。44．利用直角坐标证明：45．证明：46．利用直角坐标证明：47．利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 及感谢阅读，试证明之。48．求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。精品文档放心下载49．求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程感谢阅读x2y250．求数量场uz在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。.51．设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即感谢阅读rrx2y2z2，证明：gradrrr.52．求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数谢谢阅读q53．已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为4r，其中精品文档放心下载矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强感谢阅读E。54．已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。谢谢阅读55．在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为感谢阅读qrD4r2r(ryeyzez,rr,rr)求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量q q56．原点处点电荷q产生的电位移矢量D4r2r4r3r，试求电位移矢量D的散度。感谢阅读57．球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 SrdS感谢阅读58．求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量谢谢阅读59．求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及感谢阅读n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。.60．在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为精品文档放心下载qrq(xeyeze)E求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E。4r34r3xyz61．在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中，当距离r>>l时，其空间电精品文档放心下载qlycos位的表达式为(r,,)求其电场强度E(r,θ,φ)。B4r20r＝362．已知一矢量场F=axxy-ayzx,试求：OAx（1）该矢量场的旋度;（2）该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，感谢阅读如图所示，验证斯托克斯定理。63．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量pAXPAXp和P已知，试求X感谢阅读64．点电荷q在离其r处产生的电通量密度为Dr,rxxyyzz,r(xyx)vqvvˆˆˆ2221/2 4 r 求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面的电通量vdv证明（1）(f(r))dff(r)vvvv65．dA(2)gA(f(r))gf(r)vvdfvvdA(3)A(f(r))dff(r).66．证明：标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面精品文档放心下载vvv67．求证：（1）g(A)gAAgvvv(A)AAvvvv68．v2vv（A)()gA(g)A证明：vvv69．(n)AdSAdlSl70.证明: 其中：A为一常矢量现有三个矢量场A,B,C问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示；（2）哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示；精品文档放心下载（3）求出这些矢量的源分布。72.(1)求矢量的散度；（2）求对中心在原点的一个单位立方体的积分；.（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。73.求矢量沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。精品文档放心下载74.给定矢量函数 ，试计算(1)沿抛物线x＝2y2；（2）沿连接该感谢阅读两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值，这个E是保守场吗？谢谢阅读75．已知A、B和C为任意矢量，若ABAC，则是否意味着B总等于C呢？试讨论之；试证明：ABCBCACAB。精品文档放心下载76．给定三个矢量A、B和C如下：Aa2a3aB4aaC5a2axyzyzxz求（1）矢量A的单位矢量aA；（2）矢量A和B的夹角AB；（3）AB和AB（4）ABC和ABC；感谢阅读（5）ABC和ABC。精品文档放心下载77．有一个二维矢量场Fraxyayx，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。精品文档放心下载.78．直角坐标系中的点P13,1,4和P22,2,3，直角坐标系中写出点P1、P2的精品文档放心下载位置矢量r1和r2；求点P1到P2的距离矢量的大小和方向，求矢量r1在r2的投影。精品文档放心下载79．写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。感谢阅读80．求数量场lnx2y2z2通过点P1,2,3的等值面方程。感谢阅读Ea2581． 用球坐标表示的场 rr2，求（1）在直角坐标系中的点3,4,5处的E和Ez；精品文档放心下载（2）E与矢量B2ax2ayaz之间的夹角。精品文档放心下载rdS82．试计算S 的值，式中的闭合曲面S是以原点为顶点的单位立方体，r为精品文档放心下载立方体表面上任一点的位置矢量。83．求标量场x,y,z6x2y3ez在点P2,1,0的梯度。感谢阅读84．在圆柱体x2y29和平面x0、y0、z0及z2所包围的区域，设精品文档放心下载此区域的表面为S，求（1）矢量场A沿闭合曲面S的通量，矢量场A的表达式为感谢阅读Aa3x2a3yza3zx精品文档放心下载x y z（2）验证散度定理。.Adl从P0,0,0到Q1,1,0，其中矢量场A的表达式为85．计算CAa4xa14y2曲线C沿下列路径：xy（1）xt，yt2；（2）沿直线从0,0,0沿x轴到1,0,0，再沿x1到1,1,0；精品文档放心下载（3）此矢量场为保守场吗？86．（1）若矢量场A216r2az，在半径为2和02的半球面上计谢谢阅读AdS算S的值；（2）若矢量场A10cos2a，求穿过xy平面上半径为2的zAdS圆面的通量S。87．求矢量Aaxxayxy2沿圆周x2y2a2的线积分，再求A对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。感谢阅读pecos88．在球坐标系中，已知标量函数4r2，其中p和均为常数，求矢0e0量场E。89．求下列标量场的梯度：（1）uxyzx2；（2）u4x2yy2z4xz；精品文档放心下载（3）u5yzx3。.90．求下列矢量场在给定点的散度：（1）Aaxx3ayy3az3zx在点P1,0,1；谢谢阅读（2）Aaxx2yayyzaz3z2在点P1,1,0。精品文档放心下载91．求下列矢量场的旋度：（1）Aaxx2ayy2az3z2谢谢阅读（2）Aaxyzayxzazxy精品文档放心下载92．现有三个矢量场A、B和C，已知Aasincosacoscosasin精品文档放心下载r Baz2sinaz2cosa2zsin精品文档放心下载 zCa3y22xa3x2a2z精品文档放心下载x y z求（1）哪些矢量场为无旋场、哪些矢