培优专题26相似三角形的一线三等角模型-解析版

培优专题26相似三角形的一线三等角模型【专题讲解】1.常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型2.模型构造图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度3.构造步骤：找角——通常找“特殊角”。如：30°、45°、60°等；特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是45°等倾斜直线；构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊角的Rt△；例：如右图，当∠ABP=45°时，∵∠ABP在y轴上，∴在y轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE，△PHG，则在y轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB∽△BGP∴4.模型特例——K型图（三垂定理）性质：性质：普通”K型图”可得左右两个△相似，即△1∽△2【当AB=BC时，△1≌△2】中点型”K型图”亦可得三个△两两相似，即当BD=BE时，△1∽△2∽△3以上性质反之亦成立，即也可用于证明中点或角相等或线垂直。应用：当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K型图”解题当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K型图”解题由“K型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算“K型图”常和“A字图”或“8字图”类的平行相似结合在一起求长度“K型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂线。如图：【专题训练】1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，，AB=2BC则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】过C作CE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠ABC=90°，，根据余角的性质得到∠BCE=∠ABO，进而得出△BCE∽△ABO，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB，∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠ABO，∵，∴△BCE∽△ABO，∴，∵∴AB=，∵AB=2BC，∴BC=AB=4，∵，∴CE=2，BE=2∴OE=4+2∴C（4+2，2），故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2．（2020·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝上运动，则m的值为(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-18【答案】A【分析】根据∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出OA与OB的比，设出点B的坐标，再根据相似三角形的性质，求出点A的坐标，可得ab的值，进而求出m的值．【详解】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴tan30°=，∵∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，∴∠OBN=∠AOM，∵∠BNO=∠AMO=90°，∴△BNO∽△OMA，∴，∴设ON=a，BN=b，则AM=，OM=，∴B（-a，b），A（，），∵点A在反比例函数y＝上，则×=3，∴ab=9，∵点B在反比例函数y＝上，∴-a×b=m=-9，故选A.【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键．3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（）A．16 B．8 C．8 D．16【答案】D【分析】先利用等角的余角证明∠ADF＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可..【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∵四边形EDFG为矩形，∴∠EDF＝∠F＝90°，∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADF＝∠EDC，∴△ADF∽△CDE，∴，即，∴DF＝，∴矩形EDFG的面积为：DE•DF＝DE•＝16．故选：D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，根据矩形的性质求面积是解题重要一步．4．（2020·重庆九年级阶段练习）如图，点是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先证明，再根据相似三角形的周长比等于相似比和折叠的性质进行转化即可求解．【详解】解：设AF=x，∵为等边三角形，∴AC=AB=BC=4x,∠A=∠B=∠C=60°,CF=3x∵翻折得到，∴BD=FD,BE=FE,∠B=∠DFE=60°，∴∠AFD+∠DFE=∠C+∠FEC，∴∠AFD=∠CEF，∴，．故选：D【点睛】本题难度较大，根据题意找到“一线三等角”相似模型，理解相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．5．（2020·重庆九年级阶段练习）如图，点是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以为边作等边，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线上运动，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，易证，．由想到构造型相似，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，可证．从而得到相似比为1∶，则面积比为1∶3．由双曲线得△AOE面积为1，得△OCF面积为3，根据反比例函数几何意义可得【详解】解：双曲线关于原点对称，点与点关于原点对称．．连接，如图所示．是等边三角形，，，，，．过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，，，，，，，相似比为1∶，∴．点在双曲线上，∴，∴，双曲线在第二象限，．故选：．【点睛】本题是反比例函数综合题，其中涉及到等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由联想到构造型相似是解答本题的关键．6．（2022·湖北襄阳·一模）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且时，的值为______．【答案】【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，根据S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF，进而可求．【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，∴∠DFE=∠DAE=60°，AD=DF，∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB=120°，∴∠DFB=∠CEF，又∠B=∠C=60°，∴△BDF∽△CFE，∴，即，设CF=x(x>0)，∵BF=4CF，∴BF=4x，∵BD=3，∴，∵，∴，，∵△BDF∽△CFE，∴，∴解得：x=2，∴CF=4，∴BC=5x=10，∵在Rt△ABL中，∠B=60°，∴AL=ABsin60°=10×=5，∴S△ABC=，∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，∴DH=BDsin60°=，∴S△BDF=，∵△BDF∽△CFE，∴，∵S△BDF=，∴S△CEF=，又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，∴S四边形ADFE==S△CEF=-S△ABC-S△CEF=，∴．故答案为:．【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．7．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=____．【答案】2.4【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD:DE=2:3，可得到，即，即可求解．【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，∵∠B=60°，∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，∴∠CDF=∠BED，∴△BDE∽△CFD，∴，即，∵等边△ABC的边长为6，∴，解得：．故答案为：2.4【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________【答案】【分析】根据题意证明，列出比例式即可求得y关于x的函数关系式【详解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．9．（2019·浙江·九年级期末）已知是等边三角形，，点D，E，F点分别在边上，，同时平分和，则的长为_____．【答案】【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：如图，同时平分和，，，在与中，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，设，，，，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画出图形是解题的关键．10．（2021··九年级专题练习）如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是______．【答案】【分析】根据正方形的性质求出，证明得到，即可求出答案.【详解】解：四边形是正方形，，，OA=OB=OC=OD，∵,∴，，，，即，，，，，解得故答案为：.【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知识点是解题的关键.11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作，交射线DC于点E，已知，．设AP的长为x．(1)___________；当时，_________；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．【答案】(1),(2)为定值，(3)或【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题；（2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）；（3）分两种情形讨论求解即可解决问题；（1）解：作于交于．四边形是矩形，，，，．在中，，，，，，，，，，，，，故答案为4，．（2）结论：的值为定值．理由：由，可得．，，，，；（3）①当点在线段上时，连接交于．，所以只能，，，，，垂直平分线段，在中，，，，，．②当点在的延长线上时，设交于．，所以只能．，，，，，，，综上所述，的值为或4．【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．12．（2022·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．【答案】(1)等边三角形(2)(3)4【分析】（1）要证三角形EPF是等边三角形，已知了∠EPF＝60°，主要再证得PE＝PF即可，可通过证三角形PBE和PFC全等来得出结论，再证明全等过程中，可通过证明FP⊥BC和BE＝PC来实现；（2）由（1）不难得出∠CFG＝90°，那么在△CFG中，有∠C的度数，可以根据CF的长求出GC的长，从而求出GB的长，下面的关键就是求GB边上的高，过E作EH⊥BC，那么EH就是所求的高，在直角△BEP中，有BP的长，有∠ABC的度数，可以求出BE、EP的长，再根据三角形面积的不同表示方法求出EH的长，这样有了底和高就能求出△GBE的面积；（3）由相似三角形的判定定理得出△BPE∽△CFP，设BP＝x，则CP＝6﹣x，由相似三角形的对应边成比例可求出x的值，再根据勾股定理求出PE的值即可．(1)∵PE⊥AB，∠B＝60°，因此直角三角形PEB中，，∴∠BPE＝30°，∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，在△BEP和△CPF中，，∴△BEP≌△CPF，∴EP＝PF，∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．(2)过E作EH⊥BC于H，由（1）可知：FP⊥BC，，在三角形FCP中，∠PFC＝90°﹣∠C＝30°，∵∠PFE＝60°，∴∠GFC＝90°，直角三角形FGC中，∠C＝60°，CF＝4，∴GC＝2CF＝8，∴GB＝GC﹣BC＝2，直角三角形BEP中∠EBP＝60°，BP＝4，∴PE＝2，BE＝2，∴EH＝BE•PE÷BP＝，∴S△GBE＝；(3)∵在BPE中，∠B＝60°，∴∠BEP+∠BPE＝120°，∵∠EPF＝60°，∴∠BPE+∠FPC＝120°，∴∠BEP＝∠FPC，又∵∠B＝∠C，∴△BPE∽△CFP，∴，设BP＝x，则CP＝6﹣x．∴＝，解得：x＝2或4．当x＝2时，在△△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝2，过E作EH⊥BC于H，则EH＝BE•sin∠B＝2，BH＝2，∴PH＝0，即P与H重合，与CF≠BP矛盾，故x＝2不合题意，舍去；当x＝4时，在△BEP中，∠B＝60°，BE＝4，BP＝4，则△BEP是等边三角形，∴PE＝4．故PE＝4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和等边三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，注意对全等三角形和等边三角形的应用．13．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．【详解】（1）证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP△BPC，，∴ADBC=APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，，又，，，设，，，，∴ADBC=APBP，（3），，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，,，，，．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．14．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【分析】（1）先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（2）方法和一样，先用等量代换判断出，，得到∽，再判断出∽即可；（3）由的结论得出∽，判断出，求出DE，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：当时，即：，