2021高中数学第二章 教案北师大版必修第一册

第二章函数

第1节生活中的变量关系教学设计

教材分析

现实世界充满着变量，一些变量之间存在着依赖关系，函数是揭示变量间依赖关系的重

要的数学概念,它是现代数学最基本的概念,在解决实际问题中发挥着重要作用.本节内容主

要学生更好的认识到生活处处有数学，只要做个有心人，我们可以随时随地学习数学

教学目标与核心素养

一.教学目标：

1.通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以

遇到变量间的依赖关系.能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区

别。

2.培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和

比较来提高学生的实践能力.

二.核心素养

1.数学抽象：初中对函数概念的理解

2.逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函数运用

于实际生活中，更能体现数学知识无处不在

3.数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，从而解决实际问题

4.直观想象：通过有些函数图像的画法，了解什么是分段函数。

5.数学建模:利用函数变量的关系，对于生活中，牵扯到有关变量的实际问题，我们都

可以构建数学模型，更好的解决一些问题。

教学重难点

教学重点

在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系

教学难点

依赖关系和函数关系的差别

课前准备

PPT

教学过程

1.知识探究:

例1：图2T是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油

等燃料.储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h,油面宽度w、储汕量/是变量.

思考：V,h,w之间是否具有关系

结论：

储油量/与油面高度h存在着依赖关系,也与油面宽度w存在着依赖关

对于油面高度力的每一个取值，都有唯一的储油量P和它对应,但是，取一个油面宽度w

的值,却对应着两个储汕量V

例2自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展.截至2017

年年底，中国高铁运营里程突破25000km.图2-2表示的是中国高铁年运营里程的变化.

里程/km

25000

25000f

22000

20000-19000

16456

15000-

II028

10000-9356,

6601

5133•

5000-

2699

672

0—1—

2008200920102011201220132014201520162017年份

图2-2

思考：高铁运营里程与年份的关系

观察图2-2,不难看出：

(1)随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；

(2)从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比,2014年增

长得最多

同学回顾初中如何定义函数概念：

有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应，那

么y就是*的函数，其中x是自变量，y是因变量.

函数概念中需注意：

凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y

都有唯一确定的值和它对应”.

同学思考：

例1中，V与h是否具有函数关系；V与w是否具有函数关系

例3弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=kx，其中k为劲度系数.对于变量“伸

长量”的每一个值，变量“弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力y是伸长量x的函数.

例4表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：

表2-1

气压/(IO,Pa)0.51.02.05.010

沸点/°c82100121152180

对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气

压的函数.

例5绿化可以改变小环境气候.某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于

观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图.为了方便比较，将两条曲线画在了

同一直角坐标系中.每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都是对于“时间”的每一个

值，都有唯一确定的“气温”值和它对应.

例6国内某快递公司邮寄普通货物限重30kg,从A城市到B城市的快递资费标准是：

质量1kg及以下收费12元，以后质量每增加1kg收费增加8元，质量不足1kg按1kg计

算.请写出邮件的质量6kg与邮资"元的函数解析式，并画出局部图象.

解依题意知邮件的质量6kg与邮资M元的函数解析式为

20・102.

M=28.2V〃»W3,

244・29V，”W3O.

该函数的局部图象如图2-4.

"/元

44

36

28-----

20o

°I2345m/kg

W2-4

形如上述的函数，一般叫作分段函数.

生活中存在着许许多多的函数关系.正是函数概念中的关键词”每一个”“唯

一”“对应”恰当地反映了事物特征.

1.举出生活中具有函数关系的一些实例

2.找出一个生活实例，说明两个变量之间存在依赖关系，但不是函数关系

教学反思

1.判断量与量之间的关系：是函数关系还是依赖关

系

2.函数关系理解：每一个自变量有惟一确定因变量

的值

第二章函数

2.1函数概念教学设计

教材分析

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依

赖

关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想.

教学目标与核心索养

二.教学目标：

(1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基

础上学习

用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

(2)会求一些简单函数的定义域和值域；

(3)能够正确表示某些函数的定义域；

核心素养

1.数学抽象：借助集合语言，抽象的概述函数的概念

2.逻辑推理：根据初中的函数概念，掌握函数变量之间的基本特性，从而引导学生用高中

集合的语言对函数的概念重新定义。

3.数学运算：求函数的定义域；会判断两个函数是否为同一函数；求函数值

4.直观想象：对于函数的定义域，可以直观理解为是满足函数有意义的所有自变量组成的集

A口o

5.数学建模:通过对函数的重新定义，让学生了解到如何借助集合的语言可以抽象的概述出

函数的定义，这样不仅让学生学会建立数学知识间的关联，也可以将这种数学思想运用于实

践中。

教学重难点

教学重点

理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数

教学难点

符号"y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示

课前准备

PPT

教学过程

1.知识引入

初中学习了三个重要的函数类型:一次函数y=kx+b、一元二次函数y=ax班x+c和

反比例函数y=~,其中为常数，人二0,。H0.对于每一个X的取值，都有唯一

x

确

定的y值和它对应，这是函数的基本特征.

2.函数概念抽象概述：

给定实数集R中的两个非空数A和B,如果存在一个对应关系f使对于4中的每一个数

x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就把对应关系f叫作定义在4上的一

个函数，记作片其中集合A叫作函数的定义域,x叫作自变量，与x值对应的y值叫作

函数值，集合｛/(x)|xeA｝叫作函数的值域.

重点强调

1.函数是建立在数与数之间的对应关系

2.对应关系指对应的结果，而不是对应过程

3.“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”

4.函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值

函数的三要数：定义域，解析式，值域

3.如何判断两个函数是同一函数

方法：1.判断两个函数定义域是否相同；2.判断两个函数解析式是否一样

同时满足以上两个条件，即为同意函数

例1下列各组中的两个函数是否为同一个函数？

(1)/(X)=V?,g(X)=(6)2(2)/(x)=x2,g(x)=(x+l)2

X2-111

(3)/(%)=——-,^(x)=x-l(4)f(x)=x+-,g(t)=t+-

x+1Xt

解(1)因为f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是［0,+8),两个函数的定义域不同，

所以不是同一个函数；

(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；

(3)因为£6)的定义域是{划了0-1},3。)的定义域是R,两个函数的定义域不同，所

不是同一个函数；

(4)f(x)和虱t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以

是同一个函数.

例2求下列函数的定义域：

(1)y-2x+3+—(2)y=y/x-l+—(3y=Jx+3+J-x-3)

x-1X

解(1)为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，所以函数y=2x+3+」一的

X—1

定义域{X|XH1}

(2)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0,即

(x+3>()]

\xxO，所以y=A/7万+—的定义域是{x|xN-3且xwO}

x

(x+3>0

(3)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即(-x-3>0,所以函数

y=Vx+3+7-x-3的定义域{x|x=-3}={3}

【题型归类】

题型一：函数概念考核：

1.下列从集合J/到集合"的对应关系中，其中y是x的函数的是()

A.M={x\xeZ},N={川祚Z},对应关系f：Ly,其中的旦

y2

B.；l/={x|x>0,xeR},A-①昨R},对应关系f:x-y,其中y=+2x

C.J/={x|xeR},A'=3斤R},对应关系f:xfy,其中y=x

D.M={x|xeR},N={y!昨R},对应关系f：x-^y,其中y=—

x

【解析】解：]."中的一些元素，在“中没有元素对应，比如，x=3时，y=-|4N,：.y

不是x的函数；

B."中的任意元素.v,在4中有两个元素±2犬与之对应，不满足对应的唯一性，：.y不是

x的函数；

C.满足在必中的任意元素x,在集合力冲都有唯一元素V与之对应，.)是x的函数；

〃.必中的元素0,通过尸2在川中没有元素对应，.)不是x的函数.

x

故选：C.

题型二：判断函数是否为同一函数

2.下列各组函数是同一函数的是()

2._

①/■(x)=*1与g(x)=^--1②/'(%)=七&)=^/^与③〃x)=/与g(x)=1

@/'(x)=x-2x-l与g(t)=也2M

A.①B.②C.③D.④

【解析】解：①中函数的定义域不相同，故不是同一函数，

②函数的值域不相同，不是同一函数，

③函数的定义域不相同，故不是同一函数

④是同一函数，

故选：。.

题型三：求函数定义域

3.函数/1(x)=万/1的定义域为()

x

A.(-«>,1]B.(-0°,0)

C.(-co,0)U(0,1]D.(0,1]

【解析】解：要使函数有意义，则fir〉。,

IxT^O

得,即xWl且WO,

Ix声。

即函数的定义域为(,0)U(0,1],

故选：C.

4.已知函数f[2x-l)的定义域为(0,1),则函数F(L3x)的定义域是()

A.4,1)B.(0,1)C.(-l,l)D.(0,名)

【解析】解:•./(2*1)的定义域为(0,1),

.-.0<x<1,

.-..1<2*1<1,

x)的定义域为(-1,1),

1-3%)需满足」<L3x<1,解得0<x<2,

3

：/(l-3x)的定义域为(0,2).

3

故选：。.

题型四：关于函数值的问题

5.已知函数f(2不4)=^+1,贝ijf(2)的值为()

A.5B.8C.10D.16

【解析】解：：函数/(2H4)=x+\,

:.f(2)=f(2X3.4)=32+l=10.

故选：C.

6.已知函数f(x)二^i^，记f(2)+f(3)+f(4)+•­•+/(10)=m,

X-l

3(⑤+双当+汽力+…+汽去》门网资片()

乙oS£U

A..9B.9C.10D..10

【解析】解：：函数f(x)=&2,

X-l

—+2

2i

■■-f(x)+f(-)=-47—=」，

xx-l1

"(2)+F(3)+f(4)+・“+f(10)=肛f4)+f4)+f4)+-+f(-^-)=n.

CtOSXU

：.m^n=9X(-1)=-9.

故选：心

教学反思

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概

念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。

第二章函数

第2.2节函数的表示法教学设计

教材分析

函数的表示法是“函数及其表示”这一节的主要内容之一.

学习函数表示法，可以加深对函数概念的理解，领悟数形结合，化归等函数思想，函数

的不同表示法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念.

教学目标与核心素养

三.教学目标：

(1)明确函数的三种表示方法；

(2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；a

(3)通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.

二.核心素养

1.数学抽象：函数的表示方法的理解

2.逻辑推理：通过引导学生回答问题，培养学生的自主学习能力；通

过画图像，培养学生的动手操作能力；

3.数学运算：会函数图像，根据图像分析函数的定义域，值域

4.直观想象：通过一些实际生活应用题，让学生感受到学习函数表示的必要性，并体

会数学源于生活用于生活的价值；通过函数的解析式与图像的结合，渗透数形结合

思想方法。

5.数学建模:通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用

于生活，能够解决生活中的实际问题.

教学重难点

教学重点

函数的三种表示方法，分段函数的概念

教学难点

根据题目的已知条件，写出函数的解析式并画出图像

课前准备

PPT

教学过程

1.函数的表示方法

(1)解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表

达式，简称解析式。

如初中：学习的•次函数、一元二次函数、反比例函数的关系式，都是解析法.

(2)列表法：列表法直接通过表格读数，不必通过计算，就表示出了两个变量之间的对应值,

非常直观.但任何一个表格内标出的数都是有限个也就只能表示有限个数值之间的函数关

系.若自变量有无限多个数，则只能给出局部的对应关系.

(3)图象法：用函数图象表示两个变量之间的关系。例如：气象台应用自动记录器，描

绘温度随时间变化的曲线就是用图象法表示函数关系的。(见课本P53页图

2-2我国人口出生变化曲线)比如心电图：

但不是所有函数都可以用图像表示：如狄利克雷函数:

/1,尤为有理数

/(%)=(0,尤为无理数

2.函数表示的三种方法对比：

函数表示方法优点缺点

1、简明、全面地概括了变量间的关系；

解析法不够直观形象

2、通过解析式求出任意一个自变量的值对应的函

数值。

不需要计算就可以直接看出只适用于自变量数目

列表法

与自变量相对应的函数值少的函数

图像法直观形象反映变化趋势不精确

重点强调

所以：为了清楚地表示一个函数关系，需要有针对性地选择适当的表示方法，有时需

要多种方法综合运用.在实际问题中，还常常需要把函数的某种表示方法转化为另一种表示

方法.

例3画出函数f(x)=|x|的图象.

解：由绝对值的意义，可知

其图象为第一、二象限的角平分线，如图2-6.

例4：画出取整函数片［工)的局部图象.

解依题意知函数y=[x]的定义域为R,值域是Z.

它的局部图象如图：2-7

题型一：1.下列图象中不能表示函数的图象的是（）

2.对于集合力={x|0W后2},8={y|0Wj<3},则由下列图形给出的对应f中，能构成从

4到6的函数的是（）

题型二：求函数解析式的方法：

（1）代入法

例.已知函数f(x)=3x+2,贝IIf(x+1)=3x+5.

【解答】解：：函数F(x)=3x+2,

将上式中的“x”用“x+1”代入

f(x+1)=3(x+1)+2=3A+5.

故答案为：3户5.

(2)换元法

例：.若f(2x+l)=6x+5,则f(x)的解析式是()

A.f(x)=3x+2B./(x)=3x+lC.f(x)=3x-lD.f(x)=3x+4

【解答】解：令2A+1=tx=t~~L;

x2

r)=3(M)+5=31+2;

:.f(x)=3x+2.

故选”

(3)配凑法

例已知函数f(心2)=%+4A/^-5,则/■(x)的解析式为()

A.f(x)=f+1B.F(x)=V+1(x22)

C.f(x)=xD./"(x)=/(x22)

【解答】解：f(4+2)=x+4F+5=(y+2)2+l；

：.f(x)=x+l(*22).

故选：8.

(4)待定系数法

例.已知f(x)是一次函数，且f(不1)=3不5,贝ijf(x)的解析式为()

A.f(x)=3x+2B.F(*)=3#2C.f(*)=2x+3D.f(x)=2x-3

【解答】解：设F(x)=kx+b,(aWO)

."(xA)=k(xA)+6=3*5,即kx-k+b=3x3、

比较得：k=3、b=2、

:.f(Ar)=3x2,

故选:B.

(5)方程组法

例1:若函数f(X)对于任意实数才恒有4X)-2F(-X)=3不1,则4X)等于(

A.x+1B.x-1C.2户1D.3x+3

【解答】解：函数f(x)对于任意实数x恒有f(x).2F(.x)=3^-1,

令x=,贝I」：/(-^)-2/(x)=3(-^)-1.

贝ij.ff(x)-2f(-x)=3x-l

If(-x)-2f(x)=3(-x)-l

解方程组得：f(x)=x+l.

故选：儿

例2.已知函数f(x)满足f(x)-2f(L)=2XT,x卢0，贝If(x)的解析式

【解答】解：在f(x)-2/'(I)=2不1①中令x=L,

XX

得f(L)一2/'(x)=21②，

XX

由①②联立消去f(L)得/•(X)=2不上-+1,

x33x

故答案为：f(x)=-lx-L+l.

33x

题型三：函数图像表示

例.如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下

列结论正确的是()

‘日平均温度/七

A.连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天

B.这15天日平均温度的极差为15℃

C.由折线图能预测16日温度要低于19℃

D.由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数

【解答】解：］选项，日平均温度的方差的大小取决于日平均温度的波动的大小，7,8,

9三日的日平均温度的波动最大，故日平均温度的方差最大，正确；

6选项，这15天日平均温度的极差为18℃,4错；

。选项，由折线图无法预测16日温度要是否低于19℃,故。错误；

〃选项，由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数，故

，错误.

故选：小

教学反思

本章节主要让学生掌握函数的表示方法，列表发，图像法，解析法，同时，必需让学

生掌握5种求解析式的方法。

第二章函数

第2.3节函数的单调性教学设计

教材分析

本小节是函数性质之一单调性，揭示了函数图像的趋势，表示了自变量和因变量之间的

关系，是数形结合数学思想的基础，与函数的奇偶性呈并列的关系，他俩从不同侧面研究函

数性质。在函数性质中具有举足轻重的地位。本节利用图像观察推导单调性判断方法，该方

法再次体现了数形结合的主要思想。

教学目标与核心素养

四.教学目标

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；

2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。

二.核心素养

1.数学抽象：函数在区间上单调性概念的概述

2.逻辑推理:本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象；通过生活实

例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

3.数学运算：判断函数的单调性及证明

4.直观想象：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的数学思想方法，培养学生的

观察、归纳、抽象思维能力。

5.数学建模:本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯；通

过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，

锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心。

教学重难点

教学重点

函数单调性的概念、判断及证明

教学难点

归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性

课前准备

PPT

教学过程

1.知识引入

函数是刻画变量关系的.研究函数y=f(x)时最关心的问题是：当自变量x变化时，函

数值f(x)随之怎样变化.我们知道，一次函数y=kx+b,当k<0时，在R上y值随x值的增

大而减小；当k>0时，在R上y值随x值的增大而增大.一元二次函数和反比例函数也有类

似的性质.可见，用增大或减小来刻画函数在一个区间的变化是非常重要的.

如下图分析：

图2-9是函数f(x)(xe[-6,9])的图象，直观上可以看出，对于区间「6,

-5],[-2,1],[3,4.5],[7,8],每个区间上函数值f(x)都随x值的增大而增大对于区间[-5,

-2],[1,3],[4.5,7],[8,9],每个区间上函数值F⑨都随x值的增大而减小.

思考：图2-9中，怎样用数学的符号语言表达函数值f(x)在区间[-6,-5]上随x值

的增大而增大呢？

2.函数的单调性定义概述

一般地?在函数y=f(x)定义域内的一个区间A上,如果对于任意的e力，当xKxz

时，都有f(xj<f(xj,那么就称函数y=f(x)在区间A上是增函数或递增的;如果对于任意的

%,，入2GA,当xKxz时，都有f(Xi)>f(x2),那么就称函数y=f(X)在区间A上是减函数或递减

的.

如果函数y=f(x)在区间A上是增函数或减函数,那么就称函数y=f(x)在区间A上是单

调函数，或称函数y=f(x)在区间A上具有单调性.此时，区间A为函数y=f(x)的单调区间.

备注：1.概念中应该注意问题：任意的(不能写成“存在王,weA”)

2.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

知识扩充：

在函数y=f(x)定义域内的一个区间A上,如果对于任意的玉,毛eA且玉

(1)若［RxiAKx9KxrxJX)或>0,则函数称函数y=f(x)在区间A上是

增函数或递增

(2)若［f(x>f(x冰x「xJ<0或/㈤二<0,则函数称函数尸f(x)在区间A上

是减函数或递减

例1设/(x)='(X<0),画出f(x+3)(x<-3)的图像，并通过图像直观判断

它的单调性。

解：依题意知〃x+3)=—1—(%<-3),其图像可由/(无)=,意<0)的图像向左

x+3x

平移3个单位长度得到(图2-10)。该函数在区间(-8,-3)上是减函数

图2-10

例2根据函数图像直观判断y=|x-l|

解：函数y=|x-l|可以表示为丁二

画出该函数的图像(如2T1),由图象可知该函数在区间(-00,-1］上是减函数，

在区间［1,+00)上是增函数

例3判断函数f(x)=-3x+2的单调性,并给出证明.

解画出函数f(x)=-3x+2的图象(如图2T2).由图象可以看出，函数f(x)=-3x+2在

定义域R上可能是减函数.下面用定义证明这一单调性.

任取％1，工2GR,且X1<X2,则X|-X2<0,

所以：f(Xj)-f(x2)=(-3x1+2)-(-3x2+2)=-3(xi-x2)>0

即：f(X|)>f(x2)

函数f(x)=-3x+2在定义域R上是减函数.

例4判断函数/(x)=Q的单调性,并给出证明.

解画出函数/(x)=«的图象(如图2T3).由图象可以看出，函数/(x)=«在定

义域［0,+QO)上可能是增函数.

在定义域［0,+00)上任取Xi,X2,且X1<X2,则

X1一苍

XLX2<0,/(项)-f(x)=喜-=

2yfx^+yfx^

由4'+J'＞0,可知f（xi）-f（x2）＜0,BPf（xi）＜f（x2）.

由定义可知，函数./'（》）=«在定义域［0,+8）上是增函数.

例5

试用定义证明：函数/（x）=x+，在区间（0,1］上是减函数,在区间口,+0。）上是增函

X

数

证明在区间（0,1］上任取©,q,且为＜0.

/（©）-/（&）/+1）卡+［

此一&

一©一&-------

1便2

=（©一及）（1一十）

=（©-12）（©1211）

因为00］＜＞2＜1，所以11112＜。，。＜©12＜1，

（©一—1）:0

即/（©）—/（0）〉0.

这表明函数/（Z）=r+：在区间（0,1］上是减函数.

同理可证,函教/（工）=工+」在区间□.+8）上是增函数.

1

知识扩充：

证明函数在一个区间上的单调性证明方法:

1.取；2作差；3.定号；4下结论

2.若函数f(x)与g(x)在区间A上都为增函数(或减函数)，则f(x)+g(x)在区间

A上也为增函数(或减函数)

3.若函数f(x)在区间A上都为增函数g(x)在区间A上都为减函数则f(x)-g(x)

在区间A上也为增函数

4.若函数f(x)在区间A上都为减函数g(x)在区间A上都为增函数则f(x)-g(x)

在区间A上也为减函数

五.易错点：1.若函数f(x)在区间A,B都为增函数(或减函数)，则可以写成函数f(x)

在区间A和B上为增函数或减函数)(不能写成f(x)在区间AuB上为增函数(或减函数))

2.函数/(x)=-在整个定义域上是减函数？【答案：否，因为定义域不连续】

x

【题型归类】

1.根据函数图像，直观分析函数的单调性

1.如图是函数y=f(x)的图象，则函数/■(x)的单调递减区间是()

C.(-l,O)U(l,+oo)D.(-1,0),(1,+o0)

答案：D

【解析】解：若函数单调递减，则对应图象为下降的，

由图象知，函数在(-1,0),(1,+°°)上分别下降，

则对应的单调递减区间为(-1,0),(1,),

故选："

3-x2,x€[-1,2]

2.已知函数f(x)=.

x-3,x€(2,5]

(I)画出/•(x)的图象；

(n)写出/'(X)的单调递增区间.

3-X2Jx€[-1>2]

【解析】解：(I)函数/"(X)=,

x-3,x€(2,5]

的图象如右：

(II)f(x)的单调递增区间为［」，0］,［2,5］.

2.证明：函数在定义域的单调性及区间最值

例:已知函数£6)=区+工，

X

(I)证明/'(X)在［1,+8)上是增函数；

(II)求/■(x)在［1,4］上的最大值及最小值.

【解答】(/)证明：在［1,+8)上任取.看,以且为＜怂

f(xt)-f(X2)=x--(x2+^-)

X1x2

_,、xlx2-1

_kx1-x9J•-----------

12X1X2

,：x\<x->：.x\-xi<0

...££口，+8),%2e［l,+8)「.X］於1>0

小)-/(X2)<0BPf(x\)</(x2)

故F(x)在［1,+8)上是增函数

(77)解：由(/)知：

F(x)在［1,4］上是增函数

.二当.¥=1时，有最小值2;

当了=4时，有最大值TL

3.根据函数单调性，求参数取值范围

例.已知函数f(x)=/+a*+2，若f(x)在(1,+8)上是增函数，贝I」a的取值范围为a2

-2.

解：根据题意，函数f(*)=f+a户2,其对称轴为x=9，

若f(x)在(1,+8)上是增函数，则有3W1,

2

解可得a2-2,即a的取值范围为a2.2;

故：a2-2.

教学反思

本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用(1)图象法；(2)定

义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的

思维方法来研究问题。

第二章函数

第4.1节函数的奇偶性

教材分析

函数奇偶性是研究函数的一个重要策略，因此成为函数的重要性质之一，它的研

究也为今后幕函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用；

奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，因

此本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现。

教学目标与核心素养

六.教学目标：

1.理解函数的奇偶性及其几何意义；

2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3.学会判断函数的奇偶性；

二.核心素养

1.数学抽象：奇函数，偶函数的概念理解

2.逻辑推理：通部分函数图像的特性，让学生总结它们的共同特点，所具有的共性，从

而引出奇函数，偶函数的概念，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培

养学生善于探索的思维品质.

3.数学运算：判断函数的奇偶性

4.直观想象：通过奇偶函数的性质，可以直观想象函数的图像的大体画法；同学们也

可以通过某函数图像，也可以直观的分析函数的奇偶性

5.数学建模:本节内容主要讲了奇偶函数，最主要体现的函数图像的对称性，体验数学

研究严谨性，感受数学对称美

教学重难点

教学重点

函数的奇偶性及其几何意义

教学难点

判断函数的奇偶性的方法与格式

课前准备

PPT

教学过程

1.知识引入

例1画出函数f(x)=x，的图象，并观察它的对称性.

解先列表(如表2-2),然后描点、连线，得到函数f(x)=x，的图象(如图2-14).

(如表2-2)

X-2-1-1/201/212...

3

f(x)=x-8-1-1/801/818•••

因为对任意的x,都有，(-x)3=-x\即f(-x)=-f(x)

所以函数f(x)=x，的图象关于原点对称.

我们还知道，

对任意的X,都有(-X)2=x2.

因此,对函数=V来说，总有g(-X)=g(x),

所以函数g(x)=x?的图象关于y轴对称(如图2-15)

2.奇函数，偶函数的概念概述：

奇函数：一般地，设函数f的定义域是4如果当xeA时，有—xeA,且

f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)奇函数.奇函数的图象关于原点对称。

偶函数：设函数f(x)的定义域是4如果当xeA时，有—xeA,且f(-x)=f(x),那么

称函数f(x)偶函数.偶函数的图象关于y轴对称

重点强调

1.当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性.奇函数和偶函数的定义域

均关于原点对称，如(-a,a)或[-a,a]

2在研究函数时，如果知道它是奇函数或偶函数，就可以先研究它在非负区间上的性

质，然后再利用对称性便可知它在非正区间上的性质，从而减少工作量.

3.具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称：奇函数的图象关于原点对称.

例2根据定义，判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)=-2x，(2)g(x)=x'+2；

(3)〃(x)=」；(4)m(x)=-—.

x~x+2

解(1)依题意知函数=2/的定义域为R,且对任意的xeR,有

f(-x)=-2(-X)5=2X3,—f(x)=-(-2x")=2x"

f(-x)=-f(x).

所以函数f(x)=-2x，是奇函数.

(2)依题意知函数g&)=x"+2的定义域为R,且对任意的XWR,有

g(-x)=(-X)"十2=x'十2,

g(-x)=g&).

所以函数g(x)=x-Y2是偶函数.

(3)依题意知函数力(幻=±•的定义域为{x|x#O},且对任意的xe{x|xHO},有

h(-x)=h(x)

所以函数〃(x)=下是偶函数.

(4)根据定义知如果一个函数是奇函数或偶函数它的定义域是关于原点对称的.

而函数加(幻=」一的定义域为-2},它不关于原点对称，所以函数加(x)=」一

x+2x+2

既不是奇函数，也不是偶函数.

点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;

②确定了(-X)与/(X)的关系；

题型一：奇偶性的判断

1.判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、/(x)=x3+2x⑵、f(x)=2x4+3x2

J?-Y2

⑶、f(x)-:---:—⑷、f(x)=x2xG[-1,2]

x-1

⑸、/(x)=Jx—2+J2—尤⑹、/(X)=Vx2-1+71-X2

解：⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数

⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数

/(X>0)

2:判断函数/(幻=《「一’的奇偶性。

-X2(x<0)

^:/(0)=02=-/(%)

当x〉0,即-x<00寸=-(一%)2--x2--/(%)

当x<0,即一x〉00寸,=(-x)2=-(-x)2=-/(%)

总有/(-X)=/(幻,故/■(》)为奇函数

题型二：利用定义解题

1.已知函数/(x)=a-g.,若/(x)为奇函数，则。=2

2.若函数f(x)=x2+(m-l)x在区间［2nT,n］为偶函数，则m+n=_4/3_

型三：利用奇偶性求函数值

1.已知/(x)=V+af+bx-8且/(-2)=10，那么/(2)=-26

2,已知g(x)=6"+"-—6且g(3)=27那么g(-3)=27

题型四：利用图像解题

1.设奇函数f(x)的定义域为15,5］.若当xw设,5函寸,f(x)的图象如

右图，则不等式尸G)<0的解是(-2,0)D(2,5)

2.若函数/'(x)是定义在"上的偶函数，在(一*0］上是减函数，且f(2)=0,

则使得f(x)<0的x