苏教版数学选修2-3讲义第3章章末复习课

线性回归直线方程【例1】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20102012201420162018需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2020年的粮食需求量．[思路探究]正确利用求回归直线方程的步骤求解，注意数据计算的准确性．[解](1)由所给数据看出，把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散点图草图(图略)，通过观察知这些点大致分布在一条直线附近，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：年份—2014－4－2024需求量—257－21－1101929对预处理后的数据，容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)＝3.2，由上述计算结果，知所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up8(^))－257＝eq\o(b,\s\up8(^))(x－2012)＋eq\o(a,\s\up8(^))＝6.5(x－2012)＋3.2，即eq\o(y,\s\up8(^))＝6.5(x－2012)＋260.2.(*)(2)利用直线方程(*)，可预测2020年的粮食需求量为6.5×(2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．建立回归模型的基本步骤(1)确定两个变量．(2)画出散点图．(3)进行相关系数检验．(4)确定回归方程类型，求出回归方程．1．某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－)))[解](1)散点图如图．(2)由表中数据得：eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝52.5，eq\o(x,\s\up8(－))＝3.5，eq\o(y,\s\up8(－))＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝54，∴eq\o(b,\s\up8(^))＝0.7，∴eq\o(a,\s\up8(^))＝1.05，∴eq\o(y,\s\up8(^))＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示．(3)将x＝10代入线性回归方程，得eq\o(y,\s\up8(^))＝0.7×10＋1.05＝8.05，故预测加工10个零件约需要8.05小时．回归分析【例2】炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测得炉料熔化完毕时钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)y与x是否具有线性相关关系？(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程．(3)预测当钢水含碳量为160个0.01%时，应冶炼多少分钟？[思路探究]列表求r，进行判断，利用eq\o(x,\s\up8(－))，eq\o(y,\s\up8(－))，求eq\o(a,\s\up8(^))，eq\o(b,\s\up8(^))，写出eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x.[解](1)列出下表：i12345xi104180190177147yi100200210185155xiyi1040036000399003274522785i678910xi134150191204121yi135170205235125xiyi1809025500391554794015125eq\o(x,\s\up8(－))＝159.8，eq\o(y,\s\up8(－))＝172，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝265448，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝312350，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝287640，于是r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\r(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up8(－))2\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－10\o(y,\s\up8(－))2))≈0.9906.根据小概率0.05与n－2＝8在附表中查得r0.05＝0.632，由|r|>r0.05知，有95%的把握认为y与x具有线性相关关系．(2)设所求回归直线方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up8(－))2)≈1.267，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))≈－30.47，即所求线性回归直线方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝1.267x－30.47.(3)当x＝160时，eq\o(y,\s\up8(^))＝1.267×160－30.47＝172.25(min)，即大约冶炼172.25min.求回归直线方程的具体步骤(1)描点，选模：画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数．(2)解模：先对变量进行适当的变换，再利用线性回归模型来解模．(3)比较检验：通过回归分析比较所建模型的优劣．2．测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：父亲身高(x)6062646566儿子身高(y)63.665.26665.566.9父亲身高(x)6768707274儿子身高(y)67.167.468.370.170(1)画出散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．[解](1)(2)从散点图看出，样本点散布在一条直线附近，因此两个变量呈线性相关关系．设回归方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^)).eq\o(x,\s\up8(－))＝66.8，eq\o(y,\s\up8(－))＝67.01，eq\o(x,\s\up8(－))2＝4462.24，eq\o(y,\s\up8(－))2≈4490.34，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝44794，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝44941.93，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝44842.4，由eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up8(－))2)＝eq\f(44842.4－44762.68,44794－44622.4)＝eq\f(79.72,171.6)≈0.4646.eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝67.01－0.4646×66.8≈35.97.故所求的回归方程为eq\o(y,\s\up8(^))＝0.4646x＋35.97.(3)当x＝73时，eq\o(y,\s\up8(^))＝0.4646×73＋35.97≈69.9.所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．独立性检验【例3】为了研究人的性别与患色盲是否有关系，某研究所进行了随机调查，发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为人的性别与患色盲有关系吗？[解]由题意列出2×2列联表：患色盲未患色盲合计男性39441480女性6514520合计459551000由公式得χ2的观测值χ2＝eq\f(1000×39×514－441×62,480×520×45×955)≈28.225.因为P(χ2≥10.828)≈0.001，且28.225>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患色盲与人的性别有关系，男性患色盲的概率要比女性大得多．独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式计算χ2；(3)比较χ2与临界值的大小关系作统计推断．3．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：种子灭菌种子未灭菌合计黑穗病214175389无黑穗病4515971048合计6657721437能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为种子灭菌与小麦黑穗病有关系？[解]提出