新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-9 利用导函数研究极值点偏移问题（含解析）

专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题目录TOC\o"1-1"\h\u专题3-9利用导函数研究极值点偏移问题 1 1题型一：对称化构造 1题型二：比值代换法 13题型三：对数均值不等式法 22 29题型一：对称化构造【典例分析】例题1．（2022·江苏南通·高三期中）已知SKIPIF1<0，其极小值为-4.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不相等的实数根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)3(2)证明见解析【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，没有极值，舍去.当SKIPIF1<0时，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，舍去当SKIPIF1<0时，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以不妨设SKIPIF1<0.下面先证SKIPIF1<0.即证SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0单调递减，只要证SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.下面证SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0；在区间SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【点睛】极值点偏移问题中（极值点为SKIPIF1<0），证明SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的方法：①构造SKIPIF1<0，②确定SKIPIF1<0的单调性，③结合特殊值得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系，④利用SKIPIF1<0的单调性即可得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例题2．（2022·北京市房山区良乡中学高三期中）已知函数SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0单调区间；(2)设函数SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个零点，①求SKIPIF1<0的取值范围；②求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)单调递增区间为SKIPIF1<0；单调递减区间为SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②证明见解析【详解】（1）SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0；单调递减区间为SKIPIF1<0.（2）①若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个不同零点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同交点；由（1）知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图象如下图所示，由图象可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.②不妨设SKIPIF1<0，由①知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的问题的基本步骤如下：①求导确定SKIPIF1<0的单调性，得到SKIPIF1<0的范围；②构造函数SKIPIF1<0，求导后可得SKIPIF1<0恒正或恒负；③得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系后，将SKIPIF1<0置换为SKIPIF1<0；④根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所处的范围，结合SKIPIF1<0的单调性，可得到SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系，由此证得结论.【提分秘籍】主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为SKIPIF1<0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点SKIPIF1<0．(2)构造函数，即对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)对结论SKIPIF1<0型，构造函数SKIPIF1<0，通过研究SKIPIF1<0的单调性获得不等式．(4)判断单调性，即利用导数讨论SKIPIF1<0的单调性．(5)比较大小，即判断函数SKIPIF1<0在某段区间上的正负，并得出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系．(6)转化，即利用函数SKIPIF1<0的单调性，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系转化为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系，进而得到所证或所求．【变式演练】1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知函数SKIPIF1<0(1)若对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)设SKIPIF1<0是两个不相等的实数，且SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不符合题意；

当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．

所以SKIPIF1<0．

由SKIPIF1<0恒成立可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．(2)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，由题意可知，存在不相等的两个实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．

由（1）可知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，在区间SKIPIF1<0上单调递减．不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，

则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上恒成立．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的极值.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)极大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0(2)证明见解析(1)（1）由题意可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.故SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0.(2)证明：由（1）可知SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由（1）可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.3．（2022·河北·开滦第二中学高二期末）设函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0有极值时，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）当SKIPIF1<0时，若在SKIPIF1<0定义域内存在两实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【详解】（1）SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，不合题意，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0；存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.4．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）.(1)若函数SKIPIF1<0的最小值为2，求SKIPIF1<0的值；(2)在（1）的条件下，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不同的实数根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【详解】（1）解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以函数SKIPIF1<0不存在最小值；所以SKIPIF1<0不合题意，故SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0（2）解：方法一：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两个不同的实数根，所以SKIPIF1<0①；SKIPIF1<0②.①－②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，得证.方法二：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为方程SKIPIF1<0的两个不同的实数根，所以SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0有两个不同的实数根SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，得证.题型二：比值代换法【典例分析】例题1．（2022·全国·高二期末）已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性.(2)若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(1)解：函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.(2)证明：因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两个零点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得证.例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)设函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)设函数SKIPIF1<0的两个零点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(3)证明见解析(1)解：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；(2)解：要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，由（1）可知，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0单调递减，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0取等的条件不同，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(3)解：由题知SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0③，②SKIPIF1<0①得SKIPIF1<0④.③SKIPIF1<0④得SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【提分秘籍】比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用SKIPIF1<0表示)表示两个极值点，即SKIPIF1<0，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于SKIPIF1<0的函数问题求解．【变式演练】1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求a的取值范围；（2）求证：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【详解】(1)SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0有两个相异实根．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有两个零点时，实数a的取值范围为SKIPIF1<0．（2）不妨设SKIPIF1<0,由题意得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，要证：SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只需证：SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立.综上所述，SKIPIF1<0成立．2．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；（2）若SKIPIF1<0存在三个极值点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求k的取值范围，并证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，证明见解析.【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的单调减区间为SKIPIF1<0，单调增区间为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0有三个极值点，∴方程SKIPIF1<0有两个不等根，且都不是1，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0至多有一根，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有三个根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，下面证明：SKIPIF1<0，可变形为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，(1)求函数SKIPIF1<0的极值；(2)当SKIPIF1<0时，若方程SKIPIF1<0有两个不等实根SKIPIF1<0．（ⅰ）证明：SKIPIF1<0；（ⅱ）证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)极小值为SKIPIF1<0，没有极大值．(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析（1）由题意可知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0有极小值为SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0没有极大值．（2）（ⅰ）由题意，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（ⅱ）因为当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两个不等实根SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由（ⅰ）得SKIPIF1<0．由重要不等式得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故由（Ⅰ）得SKIPIF1<0题型三：对数均值不等式法【典例分析】例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数）.(1)讨论SKIPIF1<0单调性；(2)设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个极值点，证明：SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析（1）SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减（2）证明：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的两个极值点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两式相减得，SKIPIF1<0欲证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①不妨设SKIPIF1<0，故①变形为SKIPIF1<0②令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0故②式成立，即要证不等式得证例题2．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，求实数SKIPIF1<0的取值范围．(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不相等的实数根，证明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)详见解析【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递减，所以函数SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两个不相等的实数根，即SKIPIF1<0又2个不同实数根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要证明SKIPIF1<0，只需证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0【提分秘籍】两个正数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的对数平均定义：SKIPIF1<0对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：SKIPIF1<0（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（SKIPIF1<0）的大小；（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析．【详解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：SKIPIF1<0，∵函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，∴SKIPIF1<0，即a＝1；（2）当a＝1时，f(x)＝lnx﹣x，∴SKIPIF1<0，当0＜x＜1时，SKIPIF1<0，f(x)单调递增，当x＞1时，SKIPIF1<0，f(x)单调递减．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又∵h（1）＝0，①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即SKIPIF1<0；②当m＝1时，h（m）＝0，即SKIPIF1<0；③当m＞1时，h（m）＜0即SKIPIF1<0；（3）证明：∵函数f(x)有两个零点x1、x2，∴lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，∴lnx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），∴SKIPIF1<0，欲证明SKIPIF1<0，即证lnx1+lnx2＞2，∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），∴即证SKIPIF1<0，∴原命题等价于证明SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0（x1＞x2），令SKIPIF1<0，则t＞1，设SKIPIF1<0（t＞1），SKIPIF1<0，∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，又∵g(1)＝0，∴g（t）＞g(1)＝0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0存在两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的取值范围；（2）证明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.【详解】（1）SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0至多有一个零点，不合题意；②当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，注意此时SKIPIF1<0，（i）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上分别存在一个零点；（ii）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别存在一个零点；综上，若SKIPIF1<0有两个零点，则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0；（2）不妨设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，两式相加得：SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以只需证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，