新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题3-3 利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）（含解析）

专题3-3利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题）目录TOC\o"1-1"\h\u专题3-3利用导数解决单调性含参讨论问题（解答题） 1 1题型一：导函数有效部分是一次型 1题型二：导函数有效部分可视为一次型 4题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解） 8题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解） 13题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解） 18题型六：借助二阶导函数讨论单调性 20 22导函数有效部分对于SKIPIF1<0进行求导得到SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0初步处理（如通分），提出SKIPIF1<0的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为SKIPIF1<0的有效部分（如：SKIPIF1<0，则记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的有效部分）.题型一：导函数有效部分是一次型【典型例题】例题1．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求函数SKIPIF1<0的单调区间；【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)答案见解析；（1）由题设，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在定义域上递减；当SKIPIF1<0时，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增，综上，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0递减；SKIPIF1<0时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，SKIPIF1<0上递增.例题2．（2022·河北沧州·二模）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间；【答案】(1)答案见解析(1)函数SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，（i）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；（ii）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，无单调递减区间；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0.【提分秘籍】在例题1中，SKIPIF1<0，可提取有效部分为SKIPIF1<0，只要讨论有效部分SKIPIF1<0的正负即可；在例题2中SKIPIF1<0，可提取有效部分为SKIPIF1<0，只要讨论有效部分SKIPIF1<0的正负即可.【变式演练】1．（2022·北京延庆·模拟预测）已知函数SKIPIF1<0.SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)求SKIPIF1<0的极值和单调区间；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析(1)当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程SKIPIF1<0．(2)函数SKIPIF1<0定义域SKIPIF1<0．

求导得SKIPIF1<0.

①当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0无极值.

②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0变化时，SKIPIF1<0变化如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的单调递减区间是SKIPIF1<0，单调递增区间是SKIPIF1<0．

此时函数SKIPIF1<0的极小值是SKIPIF1<0，无极大值．2．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)答案见解析；【详解】（1）由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．题型二：导函数有效部分可视为一次型【典型例题】例题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为自然对数的底数．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减．（1）SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减．例题2．（2022·全国·模拟预测（文））设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调区间；【答案】(1)答案见解析；(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0.【提分秘籍】在例题1中，SKIPIF1<0，可提取有效部分为SKIPIF1<0，可以看作一次型，类似一次型讨论方式讨论SKIPIF1<0的正负；在例题2中SKIPIF1<0，可提取有效部分为SKIPIF1<0，可以看作一次型，只要讨论有效部分SKIPIF1<0的正负即可.【变式演练】1．（2022·浙江·镇海中学高二期中）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；【详解】（1）SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，综上，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.2．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)讨论函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)见解析（1）SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（2）由题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；③当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；综上，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；题型三：导函数有效部分是二次型（可因式分解）【典型例题】例题1．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)答案不唯一，具体见解析；【详解】（1）函数SKIPIF1<0定义域R，求导得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增；若SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，所以当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的递减区间是SKIPIF1<0，递增区间是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的递减区间是SKIPIF1<0，递增区间是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.例题2．（2022·湖北武汉·高二期末）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若曲线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0在它们的交点SKIPIF1<0处具有公共切线，求SKIPIF1<0的值；(2)当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调区间．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)答案见解析(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在交点SKIPIF1<0处具有公共切线，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.(2)当SKIPIF1<0时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，无单调递增区间；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；单调递增区间为SKIPIF1<0；综上所述：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，单调递增区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，无单调递增区间；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；单调递增区间为SKIPIF1<0.【提分秘籍】讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例题1：SKIPIF1<0，在讨论正负的过程中，遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.如例题1中从SKIPIF1<0开始讨论。例题2中求导后SKIPIF1<0，记有效部分为SKIPIF1<0，由于最高项系数含参数SKIPIF1<0，讨论时从SKIPIF1<0开始讨论，当SKIPIF1<0时，从SKIPIF1<0开始讨论.【变式演练】1．（2022·陕西西安·模拟预测（文））已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极值；(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性．【答案】(1)极小值为SKIPIF1<0，无极大值(2)答案见解析【详解】（1）易知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴函数SKIPIF1<0的极小值为SKIPIF1<0，无极大值．（2）SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0．得SKIPIF1<0．③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．④当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．综上，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，减区间为SKIPIF1<0．2．（2022·湖南·高三开学考试）已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)若直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线，求负数SKIPIF1<0的值；(2)设SKIPIF1<0.（i）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)（i）答案见解析；（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由直线SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0的切线可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则切点坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.（2）（i）SKIPIF1<0.①若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；②若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减③若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；④若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减.综上所述：若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减.题型四：导函数有效部分是可视为二次型（可因式分解）【典型例题】例题1．（2022·重庆·高三阶段练习）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；综上可知：SKIPIF1<0时，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；例题2．（2022·天津市宝坻区第一中学二模）已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的最小值；(2)若SKIPIF1<0，讨论SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的单调性；【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分类讨论，答案见解析.(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减．SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，∴SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时．SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0单调递增，综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．【提分秘籍】讨论含参函数单调性问题时，求完导函数后，如果导函数是二次型，优先考虑是否可以因式分解，如例题1：SKIPIF1<0，在讨论正负的过程中，SKIPIF1<0的正负，可以看做SKIPIF1<0的正负等同，故为可视为二次函数型.解题时，依然遵循三个原则：准则1：最高项系数含参，从参数为0开始讨论；准则2：两根大小不确定，从两根相等开始讨论；准则3：判断两根是否在定义域内.【变式演练】1．（2022·广东·潮州市绵德中学高二阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值；(2)讨论函数SKIPIF1<0的单调性．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；单调递减区间为SKIPIF1<0.(1)SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；∴SKIPIF1<0在在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.②当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；③当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；④当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在定义域上恒成立，SKIPIF1<0单调递增；⑤当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；综上所述：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；单调递减区间为SKIPIF1<02．（2022·河北·高二期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)讨论SKIPIF1<0的单调性．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0恒成立，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递增．若SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数单调递增；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数单调递减．当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在R上恒成立，函数单调递增．当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数单调递增；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数单调递减．综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在R上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0．题型五：导函数有效部分是二次型（不可因式分解）【典型例题】例题1．（2022·天津河西·一模）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的极值．(2)讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)极大值为SKIPIF1<0，无极小值(2)答案见解析(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<02SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0-SKIPIF1<0单调递增SKIPIF1<0单调递减所以SKIPIF1<0的极大值为SKIPIF1<0，无极小值．(2)SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对于二次方程SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减．当SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0有两根SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增．【提分秘籍】如本例，求导后SKIPIF1<0，记导函数有效部分为SKIPIF1<0，判断为不可因式分解的二次型，此类题型的方法主要采用SKIPIF1<0法；分两类：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，利用求根公式求出方程SKIPIF1<0的两个根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，然后再讨论SKIPIF1<0的正负，进而讨论单调性，同时也要注意定义域.【变式演练】1．（2022·内蒙古包头·一模（文））已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)答案见解析（1）由题意可知SKIPIF1<0的定义域为R，SKIPIF1<0，对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①当SKIPIF1<0，即-3≤a≤3时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在R上单调递增；②当SKIPIF1<0，即a<-3或a>3时，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.综上，当-3≤a≤3时，SKIPIF1<0在R上单调递增；当a<-3或a>3时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.题型六：借助二阶导函数讨论单调性【典型例题】例题1．（2022·全国·高三专题练习）设函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0单调性；【答案】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增；（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，又SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增.综上，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间；【答案】(1)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增(1)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，注意到SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增【提分秘籍】当一阶导函数中含有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而一阶导的正负难以确定时，可以通过求二阶导，从而判断一阶导的单调性，进而判断一阶导的正负来讨论单调性.【变式演练】1．（2022·河南南阳·高二期中（理））已知函数SKIPIF1<0．(1)判断函数SKIPIF1<0的单调性．【答案】(1)SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0．因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减．1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0．【详解】（1）SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0．综上：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的增区间是SKIPIF1<0，减区间是SKIPIF1<0．2．（2022·江苏徐州·高三期中）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的导函数.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调减；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增.综上所述，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增；当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调减，在SKIPIF1<0上单调增3．（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为自然对数的底数，SKIPIF1<0）．(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；【答案】(1)分类讨论，答案见解析.(1)函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时函数SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，无增区间；②当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIP