新高考数学二轮复习讲义第四讲函数的概念及其表示（含解析）

第四讲：函数概念及其表示【考点梳理】1、函数与映射的概念函数映射两个集合A、B设A、B是两个非空数集设A、B是两个非空集合对应关系按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈Af：A→B注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．2、函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3、构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.4、函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.5、函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).(7)y＝tanx的定义域为SKIPIF1<0.【典型题型讲解】考点一：函数的概念【典例例题】例1（多选题）下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】对于A中，集合SKIPIF1<0中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合SKIPIF1<0中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函数；对于B中，集合SKIPIF1<0中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合SKIPIF1<0中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函数；对于C中，集合SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以不能构成从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函数；对于D中，集合SKIPIF1<0中的任一元素，按SKIPIF1<0，在集合SKIPIF1<0有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合SKIPIF1<0到集合SKIPIF1<0的函数.故选：ABD【方法技巧与总结】函数概念：注意两个非空数集，任意与唯一两个关键字对应.【变式训练】1.函数y=f(x)的图象与直线SKIPIF1<0的交点个数（

）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个【答案】B【详解】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线SKIPIF1<0没有交点，若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线SKIPIF1<0有1个交点，故选：B.2.已知函数SKIPIF1<0的定义域和值域都是集合SKIPIF1<0，其定义如表所示，则SKIPIF1<0____________．xSKIPIF1<0012SKIPIF1<0012SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0解：由表可知，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.考点二：具体函数的定义域【典例例题】例1.函数SKIPIF1<0的定义域是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：B例2.函数SKIPIF1<0的定义域为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可知SKIPIF1<0，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此SKIPIF1<0，求解可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【方法技巧与总结】对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子SKIPIF1<0有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成区间的形式.【变式训练】1.已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】函数SKIPIF1<0有意义，必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C2.函数SKIPIF1<0的定义域是_______．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意可得，SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0则函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<03．函数SKIPIF1<0的定义域为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数的定义域为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0考点三：抽象函数定义域【典例例题】例1.已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.【方法技巧与总结】1.抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的解SKIPIF1<0的范围，即为SKIPIF1<0的定义域，口诀：定义域指的是SKIPIF1<0的范围，括号范围相同．已知SKIPIF1<0的定义域，求四则运算型函数的定义域2．若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．【变式训练】1.已知函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.则函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B．3.已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的定义域为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D解：∵函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴函数SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0的定义域为[SKIPIF1<0]．故选：D考四：函数的解析式求法【典例例题】例1.（待定系数法）已知函数SKIPIF1<0是一次函数，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】设SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：AD.例2.（换元法或配凑法（适用于了SKIPIF1<0型））已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因SKIPIF1<0，则设SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C例3.已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】令SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立可解得，SKIPIF1<0．故选：D．【方法技巧与总结】求函数解析式的常用方法如下：（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.（2）当已知表达式为SKIPIF1<0时，可考虑配凑法或换元法，若易将含SKIPIF1<0的式子配成SKIPIF1<0，用配凑法.若易换元后求出SKIPIF1<0，用换元法.（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法.（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求.（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．（6）若已知成对出现SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出SKIPIF1<0．【变式训练】1.设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0等于（

）A．n(2n＋3) B．n(n＋4)C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)【答案】A【详解】由已知，假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0成等比数列，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而解得SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：A．2.已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A.3．已知函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解析式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，故原函数可转化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0.故选：A.考点五：分段函数【典例例题】例1.已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则m的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．9 D．2或9【答案】C【详解】∵函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.例2．（2022·广东东莞·高三期末）(多选)已知函数SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的所有根之和为SKIPIF1<0 D．关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的所有根之积小于SKIPIF1<0【答案】．ACD【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正确；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，

（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的整数）所以B错，SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的根为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所有根的和为：SKIPIF1<0，C正确；由SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0所以所有根之积小于SKIPIF1<0，D正确.故选:ACD.【方法技巧与总结】1.分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值2.函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内.【变式训练】1.已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．0【答案】B【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴必有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0.故选：B.2．己知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】由题意，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B．3．设函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．2 B．6 C．8 D．10【答案】B【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.4．已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________；若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0___________.【答案】

1

SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不符合；当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合；当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0无解，不符合.所以实数SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：1；SKIPIF1<0【巩固练习】一.单选题1．下列函数中，不满足：SKIPIF1<0的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】试题分析：A中SKIPIF1<0，B中SKIPIF1<0，C中SKIPIF1<0，D中SKIPIF1<02．若函数f（x）满足f（1－lnx）＝SKIPIF1<0，则f（2）＝（）A．SKIPIF1<0 B．eC．SKIPIF1<0 D．－1【答案】B【详解】由1－lnx＝2，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即f（2）＝e.故选：B3．设全集SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．（1，2） B．（1，2]C．（2，+∞） D．[2，+∞）【答案】D【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：D.4．已知函数SKIPIF1<0的定义域为(－2,0)，则SKIPIF1<0的定义域为（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题设，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴对于SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，故其定义域为SKIPIF1<0.故选：C5．若函数SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.从而SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，且最小值为SKIPIF1<0.故选：D二、多选题6．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0两式相加得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，A正确，B错误；又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，C正确，D错误；故选：AC7．下列四组函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（

）A．f(x)＝x＋1，g(x)＝SKIPIF1<0 B．f(x)＝SKIPIF1<0·SKIPIF1<0，g(x)＝SKIPIF1<0C．f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1 D．f(x)＝SKIPIF1<0，g(x)＝SKIPIF1<0【答案】BD【详解】对于A，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，故不满足；对于B，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的定义域都为SKIPIF1<0，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数；对于C，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，故不满足；对于D，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的定义域都为SKIPIF1<0，且解析式可化为一样，故表示的是同一函数故选：BD8．关于直线