新高考数学二轮复习讲义第二讲常用逻辑用语 （含解析）

第二讲：常用逻辑用语【考点梳理】1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分条件，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要条件SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分条件SKIPIF1<0且SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充要条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的既不充分也不必要条件SKIPIF1<0且SKIPIF1<02．全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等SKIPIF1<0存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等SKIPIF1<0(2)全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对SKIPIF1<0中任意一个SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0成立存在SKIPIF1<0中的一个SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立简记SKIPIF1<0SKIPIF1<0否定SKIPIF1<0SKIPIF1<0【典型题型讲解】考点一：充分条件与必要条件的判断【典例例题】例1．（2022·广东·金山中学高三期末）“SKIPIF1<0”是“点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】将SKIPIF1<0化为标准方程，得SKIPIF1<0当点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外时，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴“SKIPIF1<0”是“点SKIPIF1<0”在圆SKIPIF1<0外”的必要不充分条件.故选：B.【方法技巧与总结】1.要明确题中题意，找出条件SKIPIF1<0和结论SKIPIF1<0.2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.【变式训练】1.已知m，n是两条不重合的直线，SKIPIF1<0是一个平面，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由线面垂直的性质知，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0成立，即充分性成立；根据线面垂直的定义，SKIPIF1<0必须垂直平面SKIPIF1<0内的两条相交直线，才有SKIPIF1<0，即必要性不成立.故选：A.2.已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，“函数SKIPIF1<0为增函数”是“函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】函数SKIPIF1<0为增函数,则SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0,故函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增;当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增时,,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0为增函数.故选:C3.在等比数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】∵公比SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件．故选：A．考点二：充分条件与必要条件的应用【典例例题】例1.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】ASKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立”的充分不必要条件.故选：A【方法技巧与总结】1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.【变式训练】1.若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0成立的一个充分不必要条件，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题意可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：D2.（多选）“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立”的一个必要不充分条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD由题意，关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，对于选项A中，“SKIPIF1<0”是“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立”的充要条件；对于选项B中，“SKIPIF1<0”是“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立”的必要不充分条件；对于选项C中，“SKIPIF1<0”是“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立”的充分不必要条件；对于选项D中，“SKIPIF1<0”是“关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立”必要不充分条件.故选：BD.3.已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分条件，则实数SKIPIF1<0的取值范围为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】函数SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0，开口向上，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，由于“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分条件，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假【典例例题】例1.已知SKIPIF1<0，下列四个命题：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．其中是真命题的有（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【详解】对于①，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，①正确；对于②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，②正确；对于③，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③错误；对于④，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.【变式训练】1．已知命题SKIPIF1<0：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，命题SKIPIF1<0：对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，命题SKIPIF1<0：存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】当SKIPIF1<0时，显然SKIPIF1<0成立；当SKIPIF1<0时，可知SKIPIF1<0不成立；由辅助角得SKIPIF1<0，所以所以SKIPIF1<0的最大值为5，所以SKIPIF1<0为假.故选：B2．已知函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，则使得“SKIPIF1<0”成立的充要条件为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：A选项表述的是SKIPIF1<0的最小值大于SKIPIF1<0的最大值；B选项表述的是SKIPIF1<0的最小值大于SKIPIF1<0的最小值；C选项表述的是SKIPIF1<0的最大值大于SKIPIF1<0的最大值成立的充要条件；D选项是SKIPIF1<0成立的充分不必要条件．故选：C3．下列命题中，真命题为（

）A．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0最小值为4D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0成立的充分不必要条件【答案】D【详解】对于A中，由指数函数SKIPIF1<0的性质，可得SKIPIF1<0恒成立，所以不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以A为假命题；对于B中，如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，设平面SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0，此时满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，但平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，所以C为假命题.对于C中，由SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，显然SKIPIF1<0不成立，所以C为假命题对于D中，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即充分性成立；反之：例如：SKIPIF1<0，此时满足SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不成立，即必要性不成立，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件，所以D为真命题.故选：D4.（多选题）下列命题中的真命题是（

）A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2【答案】ACD【详解】对选项A，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对选项B，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B错误；对选项C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，C正确；对选项D，因为SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.故选：ACD考点四：全称量词命题与存在量词命题的否定【典例例题】例1．（2022·广东佛山·高三期末）设命题SKIPIF1<0，则p的否定为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题SKIPIF1<0的否定为SKIPIF1<0.故选：B.【方法技巧与总结】1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.2.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.【变式训练】1.已知命题p：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D2．已知命题SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】D【解析】命题SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的否定是：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：D．3．命题“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的否定是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【解析】由存在量词命题的否定知原命题的否定为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.考点五：根据全称（特称）命题的真假求参数【典例例题】例1.若命题“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为真命题，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B依题意命题“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为真命题，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0开口向下，SKIPIF1<0不恒成立.综上所述，SKIPIF1<0.故选：B例2.命题SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立．若SKIPIF1<0是假命题，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B命题SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立．因为SKIPIF1<0是假命题，则命题SKIPIF1<0的否定为：SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，为真命题．所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：B．【方法技巧与总结】1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.【变式训练】1.若命题“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为真命题，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】依题意命题“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为真命题，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0开口向下，SKIPIF1<0不恒成立.综上所述，SKIPIF1<0.故选：B2．若命题“存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0”是假命题，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵命题“存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0”是假命题，则其否定“任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为真命题,∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.3．若命题“SKIPIF1<0”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C.【详解】解：命题“SKIPIF1<0”为假命题，其否定为真命题，即“SKIPIF1<0”为真命题．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数x的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C4．若“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是真命题，则实数SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】若“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是真命题，则实数SKIPIF1<0小于等于函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的最小值，因为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<05．已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的解集为A.函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：构造函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解集SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时等号成立，在A上仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0在A上的值域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为增函数，所以SKIPIF1<0在A上的值域为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0即实数a的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．若命题“SKIPIF1<0SKIPIF1<0”是假命题，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意得“SKIPIF1<0SKIPIF1<0”为真命题，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<07．若“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为假命题，则实数SKIPIF1<0的最小值为______．【答案】3【详解】“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的否定为“SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0”，因为“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为假命题，所以“SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0”为真命题，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的最小值为3，故答案为：3【巩固练习】一、单选题1．命题“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的否定是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B因为存在量词命题的否定为全称量词命题，结合题意可得命题“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”的否定为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：B.2．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0一定成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分条件；当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不一定成立，所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的非必要条件.所以“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分非必要条件.故选：A3．若命题“SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0”是假命题，则SKIPIF1<0的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B因为“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是假命题，则其否定“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”为真命题则SKIPIF1<0而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故选：B4．“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立”为假命题的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B解：“SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立”为假命题，则“SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立”为真命题，当SKIPIF1<0时成立，当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，综合得SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是SKIPIF1<0的充分不必要条件.故选：B.5．若不等式SKIPIF1<0的一个充分条件为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由不等式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0不合题意）要使得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一个充分条件，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D.6．已知函数SKIPIF1<0，则“函数SKIPIF1<0的图象恒在SKIPIF1<0轴的下方”是“SKIPIF1<0”的（

）A．既不必要又不充分条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件【答案】C因为二次函数SKIPIF1<0的开口方向向下，所以有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，满足函数SKIPIF1<0的图像在SKIPIF1<0轴的下方.又因为SKIPIF1<0，所以“函数SKIPIF1<0的图像在SKIPIF1<0轴的下方”是“SKIPIF1<00”的必要不充分条件.故选：C7．若SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”的一个必要不充分条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B因为SKIPIF1<0，对于A，当SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，明显可见，SKIPIF1<0不成立，故必要性不成立，A错误；对于B，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，必要性成立；当SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0